Función de producción Cobb-Douglas

En economía y econometría , la función de producción Cobb-Douglas es una forma funcional particular de la función de producción , ampliamente utilizada para representar la relación entre las cantidades de dos o más insumos (en particular, trabajo físico y capital) y la cantidad de producción que se puede obtener con esos insumos. La forma Cobb-Douglas fue desarrollada y contrastada con evidencia estadística por Charles Cobb y Paul Douglas entre 1927 y 1947; ^{[ 1 ]} según Douglas, la forma funcional en sí fue desarrollada previamente por Philip Wicksteed . ^{[ 2 ]}

La versión más común de la función viene dada por:

${\displaystyle Y(L,K)=AL^{\alpha }K^{\beta }}$

dónde:

• Y es la producción total
• L es el insumo de trabajo.
• K es el insumo de capital.
• A es la productividad total de los factores
• ${\displaystyle 0<\alpha <1}$es la elasticidad del trabajo de la producción
• ${\displaystyle 0<\beta <1}$es la elasticidad capital de la producción

Paul Douglas explicó que su primera formulación de la función de producción Cobb-Douglas se desarrolló en 1927; cuando buscaba una forma funcional para relacionar las estimaciones que había calculado para trabajadores y capital, habló con el matemático y colega Charles Cobb , quien le sugirió una función de la forma${\displaystyle Y=AL^{\alpha }K^{1-\alpha }}$, previamente utilizada por Knut Wicksell , Philip Wicksteed y Léon Walras , aunque Douglas solo reconoce las contribuciones de Wicksteed y Walras. ^{[ 3 ]} Poco después de la muerte de Knut Wicksell en 1926, Paul Douglas y Charles Cobb implementaron la función Cobb-Douglas en su trabajo que abarcaba por primera vez el modo de la teoría del productor. ^{[ 4 ]} Al estimar esto usando mínimos cuadrados , obtuvo un resultado para el exponente del trabajo de 0,75, que posteriormente fue confirmado por la Oficina Nacional de Investigación Económica como 0,741. Trabajos posteriores en la década de 1940 los impulsaron a permitir los exponentes en${\displaystyle L}$y${\displaystyle K}$variar, lo que dio como resultado estimaciones que posteriormente demostraron ser muy cercanas a la medida mejorada de productividad desarrollada en ese momento. ^{[ 5 ]}

Una crítica importante en ese momento fue que las estimaciones de la función de producción, aunque aparentemente precisas, se basaban en datos tan escasos que era difícil darles mucha credibilidad. Douglas comentó: "Debo admitir que me desanimé por esta crítica y pensé en abandonar el esfuerzo, pero había algo que me decía que debía perseverar". ^{[ 5 ]} El avance se produjo al utilizar datos del censo de EE. UU. , que eran transversales y proporcionaban un gran número de observaciones. Douglas presentó los resultados de estos hallazgos, junto con los de otros países, en su discurso de 1947 como presidente de la Asociación Económica Estadounidense . Poco después, Douglas entró en política y fue afectado por una mala salud, lo que resultó en poco desarrollo posterior por su parte. Sin embargo, dos décadas más tarde, su función de producción fue ampliamente utilizada, siendo adoptada por economistas como Paul Samuelson y Robert Solow . ^{[ 5 ]} La función de producción Cobb-Douglas es especialmente notable por ser la primera vez que una función de producción agregada o de toda la economía se había desarrollado, estimado y luego presentado a la profesión para su análisis; Marcó un cambio trascendental en la forma en que los economistas abordaban la macroeconomía desde una perspectiva microeconómica. ^{[ 6 ]}

La elasticidad de la producción con respecto a un factor de producción es el cambio porcentual en la producción que resulta de un cambio del 1% en ese factor de producción, manteniendo constantes todos los demás factores de producción , así como la productividad total de los factores.

En la función de producción Cobb-Douglas, la elasticidad del trabajo de la producción es${\displaystyle \alpha }$, mientras que la elasticidad capital de la producción es${\displaystyle \beta }$.

${\displaystyle {\dfrac {\partial Y/Y}{\partial {L}/L}}=\alpha }$

${\displaystyle {\dfrac {\partial Y/Y}{\partial {K}/K}}=\beta }$

El producto marginal del trabajo es${\displaystyle MPL={\frac {\partial Y}{\partial L}}=\alpha {\frac {Y}{L}}>0}$.

El producto marginal del capital es${\displaystyle MPK={\frac {\partial Y}{\partial K}}=\beta {\frac {Y}{K}}>0}$.

Es decir, aumentar el trabajo siempre conlleva un aumento de la producción, aumentar el capital siempre conlleva un aumento de la producción y aumentar la productividad total de los factores.${\displaystyle A}$aumenta tanto el producto marginal del trabajo como el producto marginal del capital.

La función de producción Cobb-Douglas satisface la ley de rendimientos decrecientes ; es decir, el producto marginal de un factor de producción, si bien siempre es positivo, tiende a disminuir. A medida que se incrementa la cantidad de trabajo o capital, manteniendo constantes los demás factores de producción y la productividad total de los factores, la tasa de crecimiento de la producción disminuye.

Esto se puede describir mediante las siguientes fórmulas:

${\displaystyle {\frac {\partial MPL}{\partial L}}={\frac {\partial ^{2}Y}{\partial L^{2}}}<0}$

${\displaystyle {\frac {\partial MPK}{\partial K}}={\frac {\partial ^{2}Y}{\partial K^{2}}}<0}$

La tasa marginal de sustitución técnica indica la cantidad en que debe variar el insumo de un factor de producción para que la producción total se mantenga constante tras una variación en otro factor de producción. En otras palabras, es el valor absoluto de la pendiente de la isocuanta para la producción total actual.

${\displaystyle MRTS(L,K)={\dfrac {MPL}{MPK}}={\dfrac {\alpha }{\beta }}{\dfrac {K}{L}}}$

La elasticidad de sustitución es constante e igual a 1.

Un aumento en la cantidad de trabajo incrementa el producto marginal del capital, mientras que un aumento en la cantidad de capital incrementa el producto marginal del trabajo.

En fórmulas:${\displaystyle {\dfrac {\partial MPK}{\partial L}}>0}$;${\displaystyle {\dfrac {\partial MPL}{\partial K}}>0}$.

Si${\displaystyle \alpha +\beta =1}$, entonces los rendimientos a escala son constantes, lo que significa que un aumento del trabajo y del capital en un factor${\displaystyle x}$conducirá a un aumento en la producción del mismo factor.${\displaystyle x}$, eso es${\displaystyle Y(xL,xK)=xY(L,K)}$. ^{[ 7 ]}

Si${\displaystyle \alpha +\beta <1}$, entonces los rendimientos a escala son decrecientes, lo que significa que un aumento del trabajo y del capital en un factor${\displaystyle x}$conducirá a un aumento de la producción por un factor menor que el de${\displaystyle x}$, eso es${\displaystyle Y(xL,xK)<xY(L,K)}$. ^{[ 7 ]}

Si${\displaystyle \alpha +\beta >1}$, entonces los rendimientos a escala son crecientes, lo que significa que un aumento en el trabajo y el capital por un factor${\displaystyle x}$conducirá a un aumento de la producción por un factor mayor que el de${\displaystyle x}$, eso es,${\displaystyle Y(xL,xK)>xY(L,K)}$. ^{[ 7 ]}

Bajo rendimientos constantes a escala,${\displaystyle \beta =1-\alpha }$y${\displaystyle Y=L\cdot MPL+K\cdot MPK}$.

En competencia perfecta , el producto marginal de un factor de producción es igual a su precio. Por lo tanto,${\displaystyle MPL=w}$y${\displaystyle MPK=r}$dónde${\displaystyle w}$es la tasa salarial y${\displaystyle r}$es el precio del capital, la tasa de interés real .

La producción total se puede expresar de la siguiente manera:${\displaystyle Y=L\cdot w+K\cdot r}$.

Es decir, el valor de la producción se divide entre la remuneración del trabajo y la remuneración del capital.

En su forma generalizada, la función Cobb-Douglas modela más de dos bienes. La función Cobb-Douglas se puede escribir como ^{[ 8 ].}

${\displaystyle f(x)=A\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\lambda _{i}},\qquad x=(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$

dónde

• A es un parámetro de eficiencia
• n es el número total de variables de entrada (bienes).
• x ₁ , ..., x _n son las cantidades (no negativas) de bien consumido, producido, etc.
• ${\displaystyle \lambda _{i}}$es un parámetro de elasticidad para el bien i

La función ha sido criticada por su falta de fundamento. Cobb y Douglas se vieron influenciados por evidencia estadística que parecía mostrar que las participaciones del trabajo y el capital en la producción total eran constantes a lo largo del tiempo en los países desarrollados ; explicaron esto mediante el ajuste estadístico de la regresión de mínimos cuadrados de su función de producción. Ahora se acepta ampliamente que la participación del trabajo está disminuyendo en las economías industrializadas. ^{[ 9 ] [ 10 ]} La función de producción contiene un supuesto principal que puede no proporcionar siempre la representación más precisa de las capacidades productivas y las eficiencias del lado de la oferta de un país. Este supuesto es una "participación constante del trabajo en la producción", que puede no ser efectiva cuando se aplica a casos de países cuyos mercados laborales están creciendo a tasas significativas. ^{[ 11 ]} Otro problema dentro de la composición fundamental de la función de producción Cobb-Douglas es la presencia de sesgo de ecuaciones simultáneas. Cuando se presume la competencia, el sesgo de ecuaciones simultáneas tiene un impacto en todos los tipos de funciones que involucran decisiones de la empresa, incluida la función Cobb-Douglas. En algunos casos, este sesgo de ecuaciones simultáneas no aparece. Sin embargo, es evidente cuando se utilizan aproximaciones asintóticas de mínimos cuadrados. ^{[ 12 ]}

Sin embargo, muchos autores modernos han desarrollado modelos que proporcionan funciones de producción Cobb-Douglas basadas en la microeconomía , incluyendo muchos modelos neokeynesianos . ^{[ 13 ]} No obstante, es un error matemático suponer que, solo porque la función Cobb-Douglas se aplica a nivel microeconómico, también se aplica siempre a nivel macroeconómico . De igual modo, no es necesariamente cierto que una función Cobb-Douglas macroeconómica se aplique a nivel desagregado. Houthakker derivó una primera microfundación de la tecnología Cobb-Douglas agregada basada en actividades lineales en un artículo publicado en 1955. ^{[ 14 ]} La función de producción Cobb-Douglas es inconsistente con las estimaciones empíricas modernas de la elasticidad de sustitución entre capital y trabajo, que sugieren que capital y trabajo son complementos brutos. Un metaanálisis de 2021 de 3186 estimaciones concluye que "el peso de la evidencia acumulada en la literatura empírica rechaza enfáticamente la especificación Cobb-Douglas". ^{[ 15 ]}

En un artículo de 1974, ^{[ 16 ]} el economista Anwar Shaikh demuestra que cualquier dato económico, junto con el supuesto de una participación constante en la producción entre capital y trabajo y respetando el supuesto de rendimientos constantes a escala, puede expresarse en forma de una función de producción Cobb-Douglas; muestra que la función Cobb-Douglas se rige, de hecho, por relaciones algebraicas relativas a la distribución del valor añadido entre capital y trabajo, y que, por lo tanto, la función de producción no depende en última instancia de ningún supuesto genuino sobre la producción en sí misma. Para demostrar esto, Anwar Shaikh construye una función Cobb-Douglas basada en datos ficticios (datos que rastrean la palabra "Humbug"), que está fuertemente correlacionada con la función de producción ficticia subyacente (R² = 0,993). En el mismo artículo, también muestra que el artículo de Robert Solow , "Cambio técnico y la función de producción agregada" ^{[ 17 ],} allanó el camino para el enfoque neoclásico en el análisis económico del crecimiento, comete el mismo error.

La función Cobb-Douglas se utiliza a menudo como función de utilidad . ^{[ 18 ] [ 8 ]} Utilidad${\displaystyle {\tilde {u}}}$es una función de las cantidades${\displaystyle x_{i}}$del${\displaystyle n}$bienes consumidos:

${\displaystyle {\tilde {u}}(x)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\lambda _{i}}}$

Las funciones de utilidad representan preferencias ordinales y no tienen unidades naturales, a diferencia de las funciones de producción. Como resultado, una transformación monótona de una función de utilidad representa las mismas preferencias. A diferencia de una función de producción Cobb-Douglas, donde la suma de los exponentes determina el grado de economías de escala , la suma se puede normalizar a uno para una función de utilidad porque la normalización es una transformación monótona de la función de utilidad original. Por lo tanto, definamos${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}}$y${\displaystyle \alpha _{i}={\frac {\lambda _{i}}{\lambda }}}$, entonces${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1}$y escribe la función de utilidad como:

${\displaystyle u(x)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha _{i}}}$

El consumidor maximiza la utilidad sujeto a la restricción presupuestaria de que el costo de los bienes sea menor que su riqueza.${\displaystyle w}$Alquiler${\displaystyle p_{i}}$denota los precios de los productos, ella resuelve:

${\displaystyle \max _{x_{i}}\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha _{i}}\quad {\text{ subject to the constraint }}\quad \sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}=w}$

La tasa marginal de sustitución entre cada par de bienes es

${\displaystyle MRS_{i,j}={\frac {\alpha _{i}}{\alpha _{j}}}{x_{j} \over x_{i}}={p_{i} \over p_{j}}\Rightarrow p_{j}x_{j}={p_{i}\alpha _{j} \over \alpha _{i}}x_{i}}$

Al insertar en la restricción presupuestaria obtenemos

${\displaystyle p_{i}x_{i}+\textstyle \sum _{j\neq i}^{n}\displaystyle p_{i}x_{i}{\frac {\alpha _{j}}{\alpha _{i}}}=w}$

${\displaystyle \Rightarrow p_{i}x_{i}(1+\sum _{j\neq i}^{n}{\frac {\alpha _{j}}{\alpha _{i}}})=w\Rightarrow p_{i}x_{i}{\frac {(\alpha _{i}+\sum _{j\neq i}^{n}\alpha _{j})}{\alpha _{i}}}=w\Rightarrow p_{i}x_{i}{\frac {1}{\alpha _{i}}}=w}$

${\displaystyle \Rightarrow x_{i}^{*}={\frac {\alpha _{i}w}{p_{i}}}\forall i}$

Tenga en cuenta que ${\displaystyle p_{i}x_{i}^{*}=\alpha _{i}w}$, el consumidor gasta fracción${\displaystyle \alpha _{i}}$de su riqueza en buena i .

Cabe destacar que cada bien se ve afectado únicamente por su precio. Es decir, dos bienes cualesquiera no son sustitutos ni complementarios . Su elasticidad cruzada es igual a cero y la función de demanda cruzada de cualquier bien se representa mediante una línea vertical.

Finalmente, observe que cuando el ingreso aumenta en un cierto porcentaje, la demanda del bien aumenta en el mismo porcentaje. Es decir, la elasticidad de la demanda con respecto al ingreso es igual a 1 y, por lo tanto, la curva de Engel es una línea recta que parte del origen .

Tenga en cuenta que esta es la solución para ambos${\displaystyle u(x)}$o${\displaystyle {\tilde {u}}(x),}$ya que las mismas preferencias generan la misma demanda.

La función de utilidad indirecta se puede calcular sustituyendo las demandas.${\displaystyle x_{i}}$en la función de utilidad. Defina la constante${\displaystyle K=\prod _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\alpha _{i}}}$y obtenemos:

${\displaystyle v(p,w)=\prod _{i=1}^{n}\left({\frac {w\alpha _{i}}{p_{i}}}\right)^{\alpha _{i}}={\frac {\prod _{i=1}^{n}w^{\alpha _{i}}\cdot \prod _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\alpha _{i}}}{\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}}}=K\left({\frac {w}{\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}}}\right)}$

que es un caso especial de la forma polar de Gorman . La función de gasto es la inversa de la función de utilidad indirecta: ^{[ 19 ] : 112}

${\displaystyle e(p,u)=(1/K)\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}u}$

La función de demanda marshalliana

La forma de la función Cobb-Douglas se puede estimar como una relación lineal utilizando la siguiente expresión:

${\displaystyle \ln(Y)=a_{0}+\sum _{i}a_{i}\ln(I_{i})}$

dónde

• ${\displaystyle Y={\text{output}}}$
• ${\displaystyle I_{i}={\text{inputs}}}$
• ${\displaystyle a_{i}={\text{model coefficients}}}$

El modelo también se puede escribir como

${\displaystyle Y=e^{a_{0}}(I_{1})^{a_{1}}\cdot (I_{2})^{a_{2}}\cdots }$

Como se ha señalado, la función Cobb-Douglas común utilizada en la modelización económica es

${\displaystyle Y=AL^{\alpha }K^{\beta }}$

dónde${\displaystyle L}$es trabajo,${\displaystyle K}$es capital y${\displaystyle A}$es una constante que expresa la productividad total de los factores. Cuando la suma de los exponentes del modelo es igual a uno, la función de producción es homogénea de primer orden , lo que implica rendimientos constantes a escala; es decir, si todos los insumos se escalan por un factor común mayor que cero, la producción se escalará por el mismo factor.

La función de producción de elasticidad de sustitución constante (CES) (en el caso de dos factores) es

${\displaystyle Y=A\left(\alpha L^{\gamma }+(1-\alpha )K^{\gamma }\right)^{1/\gamma },}$

en el que el caso límite γ = 0 corresponde a una función Cobb-Douglas,${\displaystyle Y=AL^{\alpha }K^{1-\alpha },}$con rendimientos constantes a escala. ^{[ 20 ]}

Para ver esto, consulte el registro de la función CES:

${\displaystyle \ln(Y)=\ln(A)+{\frac {1}{\gamma }}\ln \left(\alpha L^{\gamma }+(1-\alpha )K^{\gamma }\right)}$

puede llevarse al límite aplicando la regla de L'Hôpital :

${\displaystyle \lim _{\gamma \to 0}\ln(Y)=\ln(A)+\alpha \ln(L)+(1-\alpha )\ln(K).}$

Por lo tanto,${\displaystyle Y=AL^{\alpha }K^{1-\alpha }}$.

• función de producción de Leontief
• frontera de posibilidades de producción
• teoría de la producción

• Renshaw, Geoff (2005). Matemáticas para la economía . Nueva York: Oxford University Press. págs. 516–526 . ISBN  0-19-926746-4.

• Anatomía de las funciones de producción de tipo Cobb-Douglas en 3D
• Análisis de la función Cobb-Douglas como función de utilidad. Archivado el 3 de octubre de 2014 en Wayback Machine.
• Solución analítica para una empresa con una función de producción de N insumos.