Función de demanda marshalliana

En microeconomía , la función de demanda marshalliana de un consumidor (llamada así por Alfred Marshall ) es la cantidad que demanda de un bien en particular en función de su precio, su ingreso y los precios de otros bienes, una exposición más técnica de la función de demanda estándar . Es una solución al problema de maximización de la utilidad de cómo el consumidor puede maximizar su utilidad para un ingreso y precios dados. Un término sinónimo es función de demanda no compensada , porque cuando el precio aumenta, el consumidor no es compensado con un ingreso nominal más alto por la caída de su ingreso real, a diferencia de la función de demanda hicksiana . Por lo tanto, el cambio en la cantidad demandada es una combinación de un efecto de sustitución y un efecto de riqueza . Aunque la demanda marshalliana se encuentra en el contexto de la teoría del equilibrio parcial, a veces se la llama demanda walrasiana como se usa en la teoría del equilibrio general (llamada así por Léon Walras ).

Según el problema de maximización de la utilidad, existen bienes con un vector de precio y un vector de cantidad seleccionable . El consumidor tiene ingresos y, por lo tanto, un conjunto de paquetes asequibles en su presupuesto.${\estilo de visualización L}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle B(p,I)=\{x:p\cdot x\leq I\},}$

donde es el producto escalar de los vectores de precio y cantidad. El consumidor tiene una función de utilidad${\displaystyle p\cdot x=\suma _{i}^{L}p_{i}x_{i}}$

${\displaystyle u:\mathbb {R}_{+}^{L}\rightarrow \mathbb {R}.}$

La correspondencia de demanda marshalliana del consumidor se define como

${\displaystyle x^{*}(p,I)=\operatorname {argmax} _{x\in B(p,I)}u(x)}$

La teoría de Marshall sugiere que la búsqueda de utilidad es un factor motivador para el consumidor que puede lograrse mediante el consumo de bienes o servicios. La cantidad de utilidad del consumidor depende del nivel de consumo de un determinado bien, que está sujeto a la tendencia fundamental de la naturaleza humana y se describe como la ley de la utilidad marginal decreciente .

Como el máximo de utilidad siempre existe, la correspondencia de demanda marshalliana no debe estar vacía en ningún valor que corresponda con el conjunto presupuestario estándar.

${\displaystyle x^{*}(p,I)}$Se denomina correspondencia porque, en general, puede tener un valor fijo: puede haber varias cestas diferentes que logren la misma utilidad máxima. En algunos casos, existe una cesta única que maximiza la utilidad para cada situación de precio e ingreso; entonces, es una función y se denomina función de demanda marshalliana . ${\displaystyle x^{*}(p,I)}$

Si el consumidor tiene preferencias estrictamente convexas y los precios de todos los bienes son estrictamente positivos, entonces existe una única combinación que maximiza la utilidad. ^{[1] : 156} Para demostrarlo, supongamos, por contradicción, que hay dos combinaciones diferentes, y , que maximizan la utilidad. Entonces y son igualmente preferidos. Por definición de convexidad estricta, la combinación mixta es estrictamente mejor que . Pero esto contradice la optimalidad de . $estilo de visualización x_{1}}$$estilo de visualización x_{2}}$$estilo de visualización x_{1}}$$estilo de visualización x_{2}}$$Estilo de visualización 0,5x_{1}+0,5x_{2}}$$Estilo de visualización x_{1},x_{2}$$Estilo de visualización x_{1},x_{2}$

El teorema del máximo implica que si:

• La función de utilidad es continua con respecto a ,${\displaystyle u(x)}$${\estilo de visualización x}$
• La correspondencia no es vacía, tiene un valor compacto y es continua con respecto a ,${\displaystyle B(p,I)}$${\estilo de visualización p,I}$

entonces es una correspondencia semicontinua superior . Además, si es única, entonces es una función continua de y . ^{[1] : 156, 506}${\displaystyle x^{*}(p,I)}$${\displaystyle x^{*}(p,I)}$${\estilo de visualización p}$${\displaystyle I}$

Combinando con el apartado anterior, si el consumidor tiene preferencias estrictamente convexas, entonces la demanda marshalliana es única y continua. Por el contrario, si las preferencias no son convexas, entonces la demanda marshalliana puede ser no única y no continua.

La correspondencia de demanda marshalliana óptima de una función de utilidad continua es una función homogénea de grado cero. Esto significa que para cada constante${\displaystyle a>0,}$

${\displaystyle x^{*}(a\cdot p,a\cdot I)=x^{*}(p,I).}$

Esto es intuitivamente claro. Supongamos que y se miden en dólares. Cuando , y son exactamente las mismas cantidades medidas en centavos. Cuando los precios y la riqueza aumentan en un factor a, el patrón de compra de un agente económico permanece constante. Obviamente, expresar en diferentes unidades de medida los precios y el ingreso no debería afectar la demanda. ${\estilo de visualización p}$${\displaystyle I}$${\displaystyle a=100}$${\estilo de visualización ap}$${\displaystyle aI}$

La teoría de Marshall se basa en el hecho de que la curva de demanda representa los valores marginales decrecientes de los bienes por parte de cada individuo. La teoría insiste en que la decisión de compra del consumidor depende de la utilidad que puede obtener de un bien o servicio en comparación con el precio, ya que la utilidad adicional que obtiene el consumidor debe ser al menos tan grande como el precio. La siguiente sugerencia propone que el precio demandado es igual al precio máximo que el consumidor pagaría por una unidad adicional de bien o servicio. Por lo tanto, la utilidad se mantiene constante a lo largo de la curva de demanda. Cuando la utilidad marginal del ingreso es constante, o su valor es el mismo para todos los individuos dentro de una curva de demanda de mercado, es posible generar beneficios netos de las unidades compradas, o excedente del consumidor, mediante la suma de los precios de demanda.

En los siguientes ejemplos, hay dos productos, 1 y 2.

1. La función de utilidad tiene la forma Cobb-Douglas :

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{\alpha }x_{2}^{\beta }.}$

La optimización restringida conduce a la función de demanda marshalliana:

${\displaystyle x^{*}(p_{1},p_{2},I)=\left({\frac {\alpha I}{(\alpha +\beta )p_{1}}},{\frac {\beta I}{(\alpha +\beta )p_{2}}}\right).}$

2. La función de utilidad es una función de utilidad CES :

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=\left[{\frac {x_{1}^{\delta }}{\delta }}+{\frac {x_{2}^{\delta }}{\delta }}\right]^{\frac {1}{\delta }}.}$

Entonces ${\displaystyle x^{*}(p_{1},p_{2},I)=\left({\frac {Ip_{1}^{\epsilon -1}}{p_{1}^{\epsilon }+p_{2}^{\epsilon }}},{\frac {Ip_{2}^{\epsilon -1}}{p_{1}^{\epsilon }+p_{2}^{\epsilon }}}\right),\quad {\text{con}}\quad \epsilon ={\frac {\delta }{\delta -1}}.}$

En ambos casos, las preferencias son estrictamente convexas, la demanda es única y la función de demanda es continua.

3. La función de utilidad tiene la forma lineal :

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}+x_{2}.}$

La función de utilidad es sólo débilmente convexa y, de hecho, la demanda no es única: cuando , el consumidor puede dividir su ingreso en proporciones arbitrarias entre los tipos de productos 1 y 2 y obtener la misma utilidad. $estilo de visualización p_{1}=p_{2}}$

4. La función de utilidad exhibe una tasa marginal de sustitución no decreciente:

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=(x_{1}^{\alpha }+x_{2}^{\alpha }),\quad {\text{con}}\quad \alpha >1.}$

La función de utilidad no es convexa y, de hecho, la demanda no es continua: cuando , el consumidor demanda sólo el producto 1, y cuando , el consumidor demanda sólo el producto 2 (cuando la correspondencia de demanda contiene dos paquetes distintos: o bien comprar sólo el producto 1 o bien comprar sólo el producto 2). $estilo de visualización p_{1}<p_{2}}$$estilo de visualización p_{2}<p_{1}}$$estilo de visualización p_{1}=p_{2}}$

• Función de demanda hicksiana
• Problema de maximización de utilidad
• Ecuación de Slutsky
• Leyes de demanda derivada de Hicks-Marshall

• Mas-Colell, Andreu ; Whinston, Michael y Green, Jerry (1995). Teoría microeconómica . Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-507340-1.
• Nicholson, Walter (1978). Teoría microeconómica (segunda edición). Hinsdale: Dryden Press. Págs. 90-93. ISBN. 0-03-020831-9.
• Silberberg, E. (2008). Demandas hicksianas y marshallianas . Londres: Palgrave Macmillan, Londres. ISBN 978-1-349-95121-5.
• Levin, Jonathan; Milgrom, Paul (octubre de 2004). "Consumer Theory" (PDF) . Consultado el 22 de abril de 2021 .
• Wong, Stanley (2006). Fundamentos de la teoría de la preferencia revelada de Paul Samuelson (PDF) (Ed. revisada). Routledge. ISBN 0-203-34983-0. Recuperado el 19 de abril de 2021 .