Ecuación de Slutsky

En microeconomía , la ecuación de Slutsky (o identidad de Slutsky ), llamada así en honor a Eugen Slutsky , relaciona los cambios en la demanda marshalliana (no compensada) con los cambios en la demanda hicksiana (compensada) , que se conoce como tal porque compensa para mantener un nivel fijo de utilidad.

La ecuación de Slutsky tiene dos partes: el efecto sustitución y el efecto renta . En general, el efecto sustitución puede ser negativo para los consumidores, ya que puede limitar las opciones. Slutsky diseñó esta fórmula para explorar la respuesta de un consumidor cuando cambia el precio. Cuando el precio aumenta, el conjunto presupuestario se mueve hacia dentro, lo que también hace que la cantidad demandada disminuya. Por el contrario, cuando el precio disminuye, el conjunto presupuestario se mueve hacia fuera, lo que lleva a un aumento en la cantidad demandada. El efecto sustitución se debe al efecto del cambio de precio relativo, mientras que el efecto renta se debe al efecto de la liberación de renta. La ecuación demuestra que el cambio en la demanda de un bien, causado por un cambio de precio, es el resultado de dos efectos:

• un efecto sustitución : cuando el precio de un bien cambia, ya que se vuelve relativamente más barato, si hipotéticamente el consumo del consumidor permanece igual, se liberaría ingreso que podría gastarse en una combinación de cada uno o más de los bienes.
• un efecto ingreso : el poder adquisitivo de un consumidor aumenta como resultado de una disminución de precio, por lo que el consumidor ahora puede permitirse mejores productos o más de los mismos productos, dependiendo de si el producto en sí es un bien normal o un bien inferior .

La ecuación de Slutsky descompone el cambio en la demanda del bien i en respuesta a un cambio en el precio del bien j :

${\displaystyle {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w) \sobre \partial p_{j}}={\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u) \sobre \partial p_{j}}-{\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w) \sobre \partial w}x_{j}(\mathbf {p} ,w),\,}$

donde es la demanda hicksiana y es la demanda marshalliana, en el vector de niveles de precios , nivel de riqueza (o, alternativamente, nivel de ingresos) , y nivel de utilidad fijo dado al maximizar la utilidad al precio y el ingreso originales, dado formalmente por la función de utilidad indirecta . El lado derecho de la ecuación es igual al cambio en la demanda del bien i manteniendo la utilidad fija en u menos la cantidad demandada del bien j , multiplicada por el cambio en la demanda del bien i cuando cambia la riqueza. ${\displaystyle h(\mathbf {p},u)}$${\displaystyle x(\mathbf {p},w)}$${\displaystyle \mathbf {p}}$${\estilo de visualización w}$${\estilo de visualización u}$ ${\displaystyle v(\mathbf {p},w)}$

El primer término del lado derecho representa el efecto de la sustitución y el segundo término representa el efecto del ingreso. ^[1] Nótese que, dado que la utilidad no es observable, el efecto de la sustitución no es directamente observable, pero se puede calcular haciendo referencia a los otros dos términos de la ecuación de Slutsky, que sí lo son. Este proceso a veces se conoce como la descomposición de Hicks de un cambio de demanda. ^[2]

La ecuación se puede reescribir en términos de elasticidad :

${\displaystyle \varepsilon _ {p,ij}=\varepsilon _ {p,ij}^{h}-\varepsilon _ {w,i}b_ {j}}$

donde ε _p es la elasticidad precio (no compensada) , ε _p ^h es la elasticidad precio compensada, ε _w,i la elasticidad ingreso del bien i , y b _j la parte presupuestaria del bien j .

En general, en palabras simples, la ecuación de Slutsky establece que el cambio total en la demanda consiste en un efecto ingreso y un efecto sustitución y ambos efectos colectivamente deben ser iguales al cambio total en la demanda.

${\displaystyle \Delta x_{1}=\Delta x_{1}^{s}+\Delta x_{1}^{l}}$

La ecuación anterior es útil porque representa la fluctuación de la demanda, que es indicativa de diferentes tipos de bienes. El efecto de sustitución siempre resultará negativo, ya que las curvas de indiferencia siempre tienen pendiente negativa. Sin embargo, no ocurre lo mismo con el efecto ingreso , ya que depende de cómo cambia el consumo de un bien con el ingreso.

El efecto renta de un bien normal es negativo, y si el precio baja, el poder adquisitivo o la renta aumentan. Lo contrario sucede cuando el precio aumenta y el poder adquisitivo o la renta disminuyen, y como consecuencia de ello, también lo hace la demanda.

En general, no todos los bienes son "normales". Si bien en un sentido económico algunos son inferiores, eso no significa que sean de mala calidad, sino que establece un perfil de ingresos negativo: a medida que aumenta el ingreso, el consumo del bien por parte de los consumidores disminuye.

Por ejemplo, los consumidores que tienen poco dinero para comprar comida compran fideos instantáneos, pero el producto no suele considerarse algo que la gente consumiría a diario. Esto se debe a las limitaciones en términos de dinero: a medida que aumenta la riqueza, el consumo disminuye. En este caso, el efecto de la sustitución es negativo, pero el efecto del ingreso también lo es.

En cualquier caso el efecto sustitución o efecto renta son positivos o negativos cuando los precios aumentan dependiendo del tipo de bien:

Sin embargo, es imposible saber si el efecto total será siempre negativo si se mencionan bienes complementarios inferiores. Por ejemplo, el efecto sustitución y el efecto ingreso actúan en direcciones opuestas. El efecto total dependerá de cuál de los dos efectos sea en última instancia más fuerte.

Si bien existen varias formas de derivar la ecuación de Slutsky, el siguiente método es probablemente el más simple. Comience por notar la identidad donde es la función de gasto y u es la utilidad obtenida al maximizar la utilidad dadas p y w . La diferenciación total con respecto a p _j da como resultado lo siguiente: ${\displaystyle h_{i}(\mathbf {p} ,u)=x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u))}$${\displaystyle e(\mathbf {p},u)}$

${\displaystyle {\frac {\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}={\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p} , e(\mathbf {p} ,u))}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u))}{\partial e(\mathbf {p} ,u)}}\cdot {\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}} }}$.

Aprovechando el hecho de que por el lema de Shephard y que en el óptimo, ${\displaystyle {\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}=h_{j}(\mathbf {p} ,u)}$

${\displaystyle h_{j}(\mathbf {p} ,u)=h_{j}(\mathbf {p} ,v(\mathbf {p} ,w))=x_{j}(\mathbf {p} ,w),}$¿Dónde está la función de utilidad indirecta ?${\displaystyle v(\mathbf {p},w)}$

Se puede sustituir y reescribir la derivación anterior como la ecuación de Slutsky.

La ecuación de Slutsky se puede reescribir en forma matricial:

${\displaystyle \mathbf {D_{p}x} (\mathbf {p} ,w)=\mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p} ,u)-\mathbf {D_{w}x} (\mathbf {p} ,w)\mathbf {x} (\mathbf {p} ,w)^{\top },\,}$

donde D _p es el operador derivado con respecto a los precios y D _w es el operador derivado con respecto a la riqueza.

La matriz se conoce como matriz de sustitución hicksiana y se define formalmente como: ${\displaystyle \mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p},u)}$

${\displaystyle \sigma (\mathbf {p} ,u):=\mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p} ,u)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial h_{i) }(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}\end{bmatrix}}}$

La matriz de Slutsky está dada por:

${\displaystyle S(\mathbf {p} ,w)=\left({\begin{array}{ccc}{\frac {\partial x_{1}(\mathbf {p} ,w)}{\partial p_{1}}}+x_{1}(\mathbf {p} ,w){\frac {\partial x_{1}(\mathbf {p} ,w)}{\partial w}}&\cdots &{\frac {\partial x_{1}(\mathbf {p} ,w)}{\partial p_{n}}}+x_{n}(\mathbf {p} ,w){\frac {\partial x_{1}(\mathbf {p} ,w)}{\partial w}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial x_{n}(\mathbf {p} ,w)}{\partial p_{1}}}+x_{1}(\mathbf {p} ,w){\frac {\partial x_{n}(\mathbf {p} ,w)}{\partial w}}&\cdots &{\frac {\partial x_{n}(\mathbf {p} ,w)}{\partial p_{n}}}+x_{n}(\mathbf {p} ,w){\frac {\partial x_{n}(\mathbf {p} ,w)}{\partial w}}\end{array}}\right)}$

Cuando es la utilidad máxima que el consumidor obtiene a precios e ingresos , es decir, , la ecuación de Slutsky implica que cada elemento de la matriz de Slutsky es exactamente igual al elemento correspondiente de la matriz de sustitución de Hicks . La matriz de Slutsky es simétrica y, dado que la función de gasto es cóncava, la matriz de Slutsky también es semidefinida negativa . ${\estilo de visualización u}$${\displaystyle \mathbf {p}}$${\estilo de visualización w}$${\displaystyle u=v(\mathbf {p},w)}$${\displaystyle S(\mathbf {p} ,w)}$${\displaystyle \sigma (\mathbf {p} ,u)}$ ${\displaystyle e(\mathbf {p} ,u)}$

Una función de utilidad Cobb-Douglas (ver función de producción Cobb-Douglas ) con dos bienes e ingresos genera una demanda marshalliana de los bienes 1 y 2 de y Reordenar la ecuación de Slutsky para poner la derivada hicksiana en el lado izquierdo produce el efecto sustitución: ${\displaystyle w}$${\displaystyle x_{1}=.7w/p_{1}}$${\displaystyle x_{2}=.3w/p_{2}.}$

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}={\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}}+{\frac {\partial x_{1}}{\partial w_{1}}}x_{1}=-{\frac {.7w}{p_{1}^{2}}}+{\frac {.7}{p_{1}}}{\frac {.7w}{p_{1}}}=-{\frac {.21w}{p_{1}^{2}}}}$

Volviendo a la ecuación original de Slutsky, se ve cómo los efectos sustitución e ingreso se suman para dar el efecto total del aumento de precio sobre la cantidad demandada:

${\displaystyle {\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}}={\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}-{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}=-{\frac {.21w}{p_{1}^{2}}}-{\frac {.49w}{p_{1}^{2}}}}$

Por lo tanto, de la disminución total de la cantidad demandada cuando aumenta, 21/70 se debe al efecto sustitución y 49/70 al efecto renta. El bien 1 es el bien en el que este consumidor gasta la mayor parte de su renta ( ), por lo que el efecto renta es tan grande. ${\displaystyle .7w/p_{1}^{2}}$${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{1}q_{1}=.7w}$

Se puede comprobar que la respuesta de la ecuación de Slutsky es la misma que la de la diferenciación directa de la función de demanda de Hicks, que aquí es ^[3].

${\displaystyle h_{1}(p_{1},p_{2},u)=.7p_{1}^{-.3}p_{2}^{.3}u,}$

donde es la utilidad. La derivada es ${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}=-.21p_{1}^{-1.3}p_{2}^{.3}u,}$

Entonces, dado que la función de utilidad indirecta Cobb-Douglas es y cuando el consumidor utiliza las funciones de demanda especificadas, la derivada es: ${\displaystyle v=wp_{1}^{-.7}p_{2}^{-.3},}$${\displaystyle u=v}$

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}=-.21p_{1}^{-1.3}p_{2}^{.3}(wp_{1}^{-.7}p_{2}^{-.3})=-.21wp_{1}^{-2}p_{2}^{0}=-{\frac {.21w}{p_{1}^{2}}},}$

que es de hecho la respuesta de la ecuación de Slutsky.

La ecuación de Slutsky también se puede aplicar para calcular el efecto de sustitución cruzada de precios. Se podría pensar que aquí es cero porque cuando aumenta, la cantidad demandada marshalliana del bien 1 no se ve afectada ( ), pero eso es incorrecto. Nuevamente, reordenando la ecuación de Slutsky, el efecto de sustitución cruzada de precios es: ${\displaystyle p_{2}}$${\displaystyle x_{1}(p_{1},p_{2},w),}$${\displaystyle \partial x_{1}/\partial p_{2}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}={\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{2}}}+{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{2}=0+{\frac {.7}{p_{1}}}{\frac {.3w}{p_{2}}}=-{\frac {.21w}{p_{1}p_{2}}}}$

Esto indica que cuando aumenta, hay un efecto de sustitución de hacia el bien 1. Al mismo tiempo, el aumento de tiene un efecto de ingreso negativo sobre la demanda del bien 1, un efecto opuesto de exactamente el mismo tamaño que el efecto de sustitución, por lo que el efecto neto es cero. Esta es una propiedad especial de la función Cobb-Douglas. ${\displaystyle p_{2}}$${\displaystyle -.21w/(p_{1}p_{2})}$${\displaystyle p_{2}}$

Cuando hay dos bienes, la ecuación de Slutsky en forma matricial es: ^[4]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{2}}}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial p_{2}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}\\{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{2}}}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{2}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{2}\\\end{bmatrix}}}$

Aunque, en sentido estricto, la ecuación de Slutsky sólo se aplica a cambios infinitesimales en los precios, se utiliza de manera estándar como aproximación lineal para cambios finitos. Si los precios de los dos bienes cambian en y , el efecto sobre la demanda de los dos bienes es: ${\displaystyle \Delta p_{1}}$${\displaystyle \Delta p_{2}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Delta x_{1}\\\Delta x_{2}\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}\\{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{2}}}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Delta p_{1}\\\Delta p_{2}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{2}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{2}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Delta p_{1}\\\Delta p_{2}\end{bmatrix}}}$

Multiplicando las matrices, el efecto sobre el bien 1, por ejemplo, sería

${\displaystyle \Delta x_{1}\approx \left({\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}\Delta p_{1}+{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}\Delta p_{2}\right)-\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}\right)\left(x_{1}\Delta p_{1}+x_{2}\Delta p_{2}\right)}$

El primer término es el efecto sustitución. El segundo término es el efecto ingreso, compuesto por la respuesta del consumidor a la pérdida de ingresos multiplicada por el tamaño de la pérdida de ingresos por cada aumento de precio.

Un bien Giffen es un producto que tiene mayor demanda cuando aumenta el precio, lo que también es un caso especial de bienes inferiores. ^[5] En el caso extremo de inferioridad de ingresos, el tamaño del efecto ingreso supera al tamaño del efecto sustitución, lo que lleva a un cambio general positivo en la demanda en respuesta a un aumento del precio. La descomposición de Slutsky del cambio en la demanda en un efecto sustitución puro y un efecto ingreso explica por qué la ley de la demanda no se cumple para los bienes Giffen.

• La elección del consumidor
• Lema de Hotelling
• Función de demanda hicksiana
• Función de demanda marshalliana
• Función de producción Cobb-Douglas
• Productos Giffen
• Poder adquisitivo
• Normal bueno
• Bienes sustitutos
• Bienes de calidad inferior
• Bienes complementarios

Varian, HR (2020). Microeconomía intermedia: un enfoque moderno (novena edición). WW Norton & Company.