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Articulo de referencia

Matriz definida

En matemáticas , una matriz simétrica con entradas reales es definida positiva si el número real es positivo para cada vector columna real distinto de cero, donde es la transpue...

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En matemáticas , una matriz simétrica con entradas reales es definida positiva si el número real es positivo para cada vector columna real distinto de cero, donde es la transpuesta del vector fila de [ 1 ]. De manera más general, una matriz hermitiana (es decir, una matriz compleja igual a su transpuesta conjugada ) es definida positiva si el número real es positivo para cada vector columna complejo distinto de cero, donde denota la transpuesta conjugada deMETRO{\displaystyle M}incógnitaTMETROincógnita{\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} }incógnita,{\displaystyle \mathbf {x} ,}incógnitaT{\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}}incógnita.{\displaystyle \mathbf {x} .}z∗METROz{\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }z,{\displaystyle \mathbf {z} ,}z∗{\displaystyle \mathbf {z} ^{*}}z.{\displaystyle \mathbf {z} .}

Las matrices semidefinidas positivas se definen de forma similar, excepto que los escalares y deben ser positivos o cero (es decir, no negativos). Las matrices definidas negativas y semidefinidas negativas se definen de forma análoga. Una matriz que no es ni semidefinida positiva ni semidefinida negativa se denomina a veces indefinida .incógnitaTMETROincógnita{\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} }z∗METROz{\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }

Algunos autores emplean definiciones más generales de definición, permitiendo que las matrices sean asimétricas o no hermíticas. Las propiedades de estas matrices definidas generalizadas se exploran en la sección «  Extensión para matrices cuadradas no hermíticas» , más adelante, pero no constituyen el objetivo principal de este artículo.

Definiciones

En las siguientes definiciones, es la transpuesta de , es la transpuesta conjugada de y denota el vector cero n - dimensional .incógnitaT{\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}}incógnita,{\displaystyle \mathbf {x} ,}z∗{\displaystyle \mathbf {z} ^{*}}z,{\displaystyle \mathbf {z} ,}0{\displaystyle \mathbf {0} }

Definiciones para matrices reales

Se dice que una matriz real simétrica es definida positiva si para todo elemento distinto de cero en Formalmente, norte×norte{\displaystyle n\times n}METRO{\displaystyle M}incógnitaTMETROincógnita>0{\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} >0}incógnita{\displaystyle \mathbf {x} }Rnorte.{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}METRO definido positivo⟺incógnitaTMETROincógnita>0 a pesar de incógnita∈Rnorte∖{0}{\displaystyle M{\text{positivo-definido}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} >0{\text{para todo }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}

Se dice que una matriz real simétrica es semidefinida positiva o definida no negativa si para todo en Formalmente, norte×norte{\displaystyle n\times n}METRO{\displaystyle M}incógnitaTMETROincógnita≥0{\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \geq 0}incógnita{\displaystyle \mathbf {x} }Rnorte.{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}METRO semidefinido positivo⟺incógnitaTMETROincógnita≥0 a pesar de incógnita∈Rnorte{\displaystyle M{\text{ semidefinida positiva}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \geq 0{\text{ para todo }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}

Se dice que una matriz real simétrica es definida negativa si para todo distinto de cero en Formalmente, norte×norte{\displaystyle n\times n}METRO{\displaystyle M}incógnitaTMETROincógnita<0{\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} <0}incógnita{\displaystyle \mathbf {x} }Rnorte.{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}METRO definido negativo⟺incógnitaTMETROincógnita<0 a pesar de incógnita∈Rnorte∖{0}{\displaystyle M{\text{ negativo-definido}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} <0{\text{ para todo }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}

Se dice que una matriz real simétrica es semidefinida negativa o no definida positiva si para todo en Formalmente, norte×norte{\displaystyle n\times n}METRO{\displaystyle M}incógnitaTMETROincógnita≤0{\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \leq 0}incógnita{\displaystyle \mathbf {x} }Rnorte.{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}METRO semidefinido negativo⟺incógnitaTMETROincógnita≤0 a pesar de incógnita∈Rnorte{\displaystyle M{\text{ semidefinida negativa}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \leq 0{\text{ para todo }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}

Una matriz real simétrica que no es ni semidefinida positiva ni semidefinida negativa se denomina indefinida .norte×norte{\displaystyle n\times n}

Definiciones de matrices complejas

Las siguientes definiciones involucran el término Nótese que este siempre es un número real para cualquier matriz cuadrada hermitianaz∗METROz.{\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} .}METRO.{\displaystyle M.}

Se dice que una matriz compleja hermitiana es definida positiva si para todo distinto de cero en Formalmente,norte×norte{\displaystyle n\times n}METRO{\displaystyle M}z∗METROz>0{\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0}z{\displaystyle \mathbf {z} }donorte.{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}

M positive-definite⟺z∗Mz>0 for all z∈Cn∖{0}{\displaystyle M{\text{ positive-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}

Se dice que una matriz compleja hermitiana es semidefinida positiva o definida no negativa si para todo en Formalmente,n×n{\displaystyle n\times n}M{\displaystyle M}z∗Mz≥0{\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \geq 0}z{\displaystyle \mathbf {z} }Cn.{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}

M positive semi-definite⟺z∗Mz≥0 for all z∈Cn{\displaystyle M{\text{ positive semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \geq 0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}

Se dice que una matriz compleja hermitiana es definida negativa si para todo distinto de cero en Formalmente,n×n{\displaystyle n\times n}M{\displaystyle M}z∗Mz<0{\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} <0}z{\displaystyle \mathbf {z} }Cn.{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}

M negative-definite⟺z∗Mz<0 for all z∈Cn∖{0}{\displaystyle M{\text{ negative-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} <0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}

Se dice que una matriz compleja hermitiana es semidefinida negativa o no definida positiva si para todo en Formalmente,n×n{\displaystyle n\times n}M{\displaystyle M}z∗Mz≤0{\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \leq 0}z{\displaystyle \mathbf {z} }Cn.{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}

M negative semi-definite⟺z∗Mz≤0 for all z∈Cn{\displaystyle M{\text{ negative semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \leq 0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}

Una matriz compleja hermitiana que no es ni semidefinida positiva ni semidefinida negativa se denomina indefinida .n×n{\displaystyle n\times n}

Coherencia entre definiciones reales y complejas

Dado que toda matriz real es también una matriz compleja, las definiciones de "definición" para ambas clases deben coincidir.

Para matrices complejas, la definición más común dice que es definida positiva si y solo si es real y positiva para cada vector columna complejo distinto de cero. Esta condición implica que es hermitiana (es decir, su transpuesta es igual a su conjugada), ya que al ser real, es igual a su transpuesta conjugada para cada lo que implicaM{\displaystyle M}z∗Mz{\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }z.{\displaystyle \mathbf {z} .}M{\displaystyle M}z∗Mz{\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }z∗M∗z{\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M^{*}\mathbf {z} }z,{\displaystyle \mathbf {z} ,}M=M∗.{\displaystyle M=M^{*}.}

Según esta definición, una matriz real definida positiva es hermitiana, por lo tanto simétrica; y es positiva para todos los vectores columna reales distintos de cero. Sin embargo, la última condición por sí sola no es suficiente para que sea definida positiva. Por ejemplo, si M{\displaystyle M}zTMz{\displaystyle \mathbf {z} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {z} }z.{\displaystyle \mathbf {z} .}M{\displaystyle M}M=[11−11],{\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}},}

Entonces , para cualquier vector real con entradas y tenemos que siempre es positivo si no es cero. Sin embargo, si es el vector complejo con entradas 1 y , se obtienez{\displaystyle \mathbf {z} }a{\displaystyle a}b{\displaystyle b}zTMz=(a+b)a+(−a+b)b=a2+b2,{\displaystyle \mathbf {z} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {z} =\left(a+b\right)a+\left(-a+b\right)b=a^{2}+b^{2},}z{\displaystyle \mathbf {z} }z{\displaystyle \mathbf {z} }i{\displaystyle i}

z∗Mz=[1−i]M[1i]=[1+i1−i][1i]=2+2i.{\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} ={\begin{bmatrix}1&-i\end{bmatrix}}M{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+i&1-i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}=2+2i.}

lo cual no es real. Por lo tanto, no es definido positivo.M{\displaystyle M}

Por otro lado, para una matriz real simétrica , la condición " para todos los vectores reales distintos de cero " implica que es definida positiva en el sentido complejo.M,{\displaystyle M,}zTMz>0{\displaystyle \mathbf {z} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {z} >0}z{\displaystyle \mathbf {z} }M{\displaystyle M}

Notación

Si una matriz hermitiana es semidefinida positiva, a veces se escribe y si es definida positiva se escribe Para denotar que es semidefinida negativa se escribe y para denotar que es definida negativa se escribeM{\displaystyle M}M⪰0{\displaystyle M\succeq 0}M{\displaystyle M}M≻0.{\displaystyle M\succ 0.}M{\displaystyle M}M⪯0{\displaystyle M\preceq 0}M{\displaystyle M}M≺0.{\displaystyle M\prec 0.}

La notación proviene del análisis funcional donde las matrices semidefinidas positivas definen operadores positivos . Si dos matrices y satisfacen podemos definir un orden parcial no estricto que es reflexivo , antisimétrico y transitivo ; sin embargo, no es un orden total , ya que en general puede ser indefinido. También observe que y no satisfacen la correspondencia usual de relaciones de orden parcial no estricto y estricto , porque no implica .A{\displaystyle A}B{\displaystyle B}B−A⪰0,{\displaystyle B-A\succeq 0,}B⪰A{\displaystyle B\succeq A}B−A,{\displaystyle B-A,}⪰{\displaystyle \succeq }≻{\displaystyle \succ }B⪰A∧B≠A{\displaystyle B\succeq A\land B\neq A}B≻A{\displaystyle B\succ A}

Una notación alternativa común es y para matrices semidefinidas positivas y definidas positivas, semidefinidas negativas y definidas negativas, respectivamente. Esto puede resultar confuso, ya que a veces las matrices no negativas (o matrices no positivas) también se denotan de esta manera.M≥0,{\displaystyle M\geq 0,}M>0,{\displaystyle M>0,}M≤0,{\displaystyle M\leq 0,}M<0{\displaystyle M<0}

Ramificaciones

De las definiciones anteriores se deduce que una matriz hermitiana es definida positiva si y solo si es la matriz de una forma cuadrática definida positiva o una forma hermitiana . En otras palabras, una matriz hermitiana es definida positiva si y solo si define un producto interno .

Las matrices definidas positivas y semidefinidas positivas pueden caracterizarse de muchas maneras, lo que puede explicar la importancia del concepto en diversas áreas de las matemáticas. Una matriz hermitiana M es definida positiva si y solo si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes.

  • M{\displaystyle M}es congruente con una matriz diagonal con entradas reales positivas.
  • M{\displaystyle M}es hermitiana, y todos sus valores propios son reales y positivos.
  • M{\displaystyle M}es hermitiana, y todos sus principales menores son positivos.
  • Existe una matriz invertible con transpuesta conjugada tal queB{\displaystyle B}B∗{\displaystyle B^{*}}M=B∗B.{\displaystyle M=B^{*}B.}

Una matriz es semidefinida positiva si satisface condiciones equivalentes similares donde "positiva" se reemplaza por "no negativa", "matriz invertible" se reemplaza por "matriz" y se elimina la palabra "principal".

Las matrices reales definidas positivas y semidefinidas positivas son la base de la optimización convexa , ya que, dada una función de varias variables reales que es dos veces diferenciable , si su matriz hessiana (matriz de sus segundas derivadas parciales) es definida positiva en un punto, entonces la función es convexa cerca de p , y, recíprocamente, si la función es convexa cerca de p, entonces la matriz hessiana es semidefinida positiva en p.p,{\displaystyle p,}p,{\displaystyle p,}p.{\displaystyle p.}

El conjunto de matrices definidas positivas es un cono convexo abierto , mientras que el conjunto de matrices semidefinidas positivas es un cono convexo cerrado . [ 2 ]

Ejemplos

  • La matriz identidad es definida positiva (y como tal también semidefinida positiva). Es una matriz simétrica real y, para cualquier vector columna no nulo z con entradas reales a y b , se tiene Como matriz compleja, para cualquier vector columna no nulo z con entradas complejas a y b se tiene De cualquier manera, el resultado es positivo ya que no es el vector cero (es decir, al menos uno de y no es cero).I=[1001]{\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}zTIz=[ab][1001][ab]=a2+b2.{\displaystyle \mathbf {z} ^{\mathsf {T}}I\mathbf {z} ={\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a^{2}+b^{2}.}z∗Iz=[a¯b¯][1001][ab]=a¯a+b¯b=|a|2+|b|2.{\displaystyle \mathbf {z} ^{*}I\mathbf {z} ={\begin{bmatrix}{\overline {a}}&{\overline {b}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}={\overline {a}}a+{\overline {b}}b=|a|^{2}+|b|^{2}.}z{\displaystyle \mathbf {z} }a{\displaystyle a}b{\displaystyle b}
  • La matriz simétrica real es definida positiva ya que para cualquier vector columna no nulo z con entradas a , b y c , tenemos Este resultado es una suma de cuadrados y, por lo tanto, no negativo; y es cero solo si es decir, cuando es el vector cero.M=[2−10−12−10−12]{\displaystyle M={\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}}}zTMz=(zTM)z=[(2a−b)(−a+2b−c)(−b+2c)][abc]=(2a−b)a+(−a+2b−c)b+(−b+2c)c=2a2−ba−ab+2b2−cb−bc+2c2=2a2−2ab+2b2−2bc+2c2=a2+a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+c2=a2+(a−b)2+(b−c)2+c2{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {z} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {z} =\left(\mathbf {z} ^{\mathsf {T}}M\right)\mathbf {z} &={\begin{bmatrix}(2a-b)&(-a+2b-c)&(-b+2c)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\\&=(2a-b)a+(-a+2b-c)b+(-b+2c)c\\&=2a^{2}-ba-ab+2b^{2}-cb-bc+2c^{2}\\&=2a^{2}-2ab+2b^{2}-2bc+2c^{2}\\&=a^{2}+a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}-2bc+c^{2}+c^{2}\\&=a^{2}+(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+c^{2}\end{aligned}}}a=b=c=0,{\displaystyle a=b=c=0,}z{\displaystyle \mathbf {z} }
  • Para cualquier matriz real invertible, el producto es una matriz definida positiva (si las medias de las columnas de A son 0, entonces también se la llama matriz de covarianza ). Una prueba simple es que para cualquier vector no nulo, la condición, ya que la invertibilidad de la matriz significa queA,{\displaystyle A,}ATA{\displaystyle A^{\mathsf {T}}A}z,{\displaystyle \mathbf {z} ,}zTATAz=(Az)T(Az)=‖Az‖2>0,{\displaystyle \mathbf {z} ^{\mathsf {T}}A^{\mathsf {T}}A\mathbf {z} =(A\mathbf {z} )^{\mathsf {T}}(A\mathbf {z} )=\|A\mathbf {z} \|^{2}>0,}A{\displaystyle A}Az≠0.{\displaystyle A\mathbf {z} \neq 0.}
  • El ejemplo anterior muestra que una matriz en la que algunos elementos son negativos aún puede ser definida positiva. Por el contrario, una matriz cuyas entradas son todas positivas no es necesariamente definida positiva, como por ejemplo para la cualM{\displaystyle M}N=[1221],{\displaystyle N={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}},}[−11]N[−11]T=−2<0.{\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&1\end{bmatrix}}N{\begin{bmatrix}-1&1\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}=-2<0.}

valores propios

Sea una matriz hermitiana (esto incluye matrices simétricas reales ). Todos los valores propios de son reales, y sus signos caracterizan su definición:M{\displaystyle M}n×n{\displaystyle n\times n}M{\displaystyle M}

  • M{\displaystyle M}es definida positiva si y solo si todos sus valores propios son positivos.
  • M{\displaystyle M}es semidefinida positiva si y solo si todos sus valores propios son no negativos.
  • M{\displaystyle M}es definida negativa si y solo si todos sus valores propios son negativos.
  • M{\displaystyle M}es semidefinida negativa si y solo si todos sus valores propios son no positivos.
  • M{\displaystyle M}es indefinido si y solo si tiene valores propios tanto positivos como negativos.

Sea una descomposición en valores propios de donde es una matriz compleja unitaria cuyas columnas comprenden una base ortonormal de vectores propios de y es una matriz diagonal real cuya diagonal principal contiene los valores propios correspondientes . La matriz puede considerarse como una matriz diagonal que ha sido reexpresada en coordenadas de la base (de vectores propios). Dicho de otro modo, aplicar a algún vector dando es lo mismo que cambiar la base al sistema de coordenadas de vectores propios usando dando aplicando la transformación de estiramiento al resultado, dando y luego cambiando la base de nuevo usando dandoPDP−1{\displaystyle PDP^{-1}}M,{\displaystyle M,}P{\displaystyle P}M,{\displaystyle M,}D{\displaystyle D}M{\displaystyle M}D{\displaystyle D}P.{\displaystyle P.}M{\displaystyle M}z,{\displaystyle \mathbf {z} ,}Mz,{\displaystyle M\mathbf {z} ,}P−1,{\displaystyle P^{-1},}P−1z,{\displaystyle P^{-1}\mathbf {z} ,}D{\displaystyle D}DP−1z,{\displaystyle DP^{-1}\mathbf {z} ,}P,{\displaystyle P,}PDP−1z.{\displaystyle PDP^{-1}\mathbf {z} .}

Teniendo esto en cuenta, el cambio de variable biyectivo muestra que es real y positivo para cualquier vector complejo si y solo si es real y positivo para cualquier ; en otras palabras, si es definida positiva. Para una matriz diagonal, esto es cierto solo si cada elemento de la diagonal principal —es decir, cada autovalor de— es positivo. Dado que el teorema espectral garantiza que todos los autovalores de una matriz hermitiana son reales, la positividad de los autovalores se puede comprobar utilizando la regla de Descartes de los signos alternados cuando se dispone del polinomio característico de una matriz real y simétrica .y=Pz{\displaystyle \mathbf {y} =P\mathbf {z} }z∗Mz{\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }z{\displaystyle \mathbf {z} }y∗Dy{\displaystyle \mathbf {y} ^{*}D\mathbf {y} }y;{\displaystyle y;}D{\displaystyle D}M{\displaystyle M}M{\displaystyle M}

Descomposición

Sea una matriz hermitiana . es semidefinida positiva si y solo si puede descomponerse como producto de una matriz con su transpuesta conjugada .M{\displaystyle M}n×n{\displaystyle n\times n}M{\displaystyle M}M=B∗B{\displaystyle M=B^{*}B}B{\displaystyle B}

Cuando es real, también puede ser real y la descomposición se puede escribir comoM{\displaystyle M}B{\displaystyle B}M=BTB.{\displaystyle M=B^{\mathsf {T}}B.}

M{\displaystyle M}es definida positiva si y solo si existe tal descomposición con invertible . Más generalmente, es semidefinida positiva con rango si y solo si existe una descomposición con una matriz de rango de fila completo (es decir, de rango ). Además, para cualquier descomposición [ 3 ]B{\displaystyle B}M{\displaystyle M}k{\displaystyle k}k×n{\displaystyle k\times n}B{\displaystyle B}k{\displaystyle k}M=B∗B,{\displaystyle M=B^{*}B,}rank⁡(M)=rank⁡(B).{\displaystyle \operatorname {rank} (M)=\operatorname {rank} (B).}

Prueba

Si entonces es semidefinida positiva. Si además es invertible, entonces la desigualdad es estricta, por lo que es definida positiva. Si es de rango entoncesM=B∗B,{\displaystyle M=B^{*}B,}x∗Mx=(x∗B∗)(Bx)=‖Bx‖2≥0,{\displaystyle x^{*}Mx=(x^{*}B^{*})(Bx)=\|Bx\|^{2}\geq 0,}M{\displaystyle M}B{\displaystyle B}x≠0,{\displaystyle x\neq 0,}M{\displaystyle M}B{\displaystyle B}k×n{\displaystyle k\times n}k,{\displaystyle k,}rank⁡(M)=rank⁡(B∗)=k.{\displaystyle \operatorname {rank} (M)=\operatorname {rank} (B^{*})=k.}

En la otra dirección, supongamos que es semidefinida positiva. Como es hermitiana, tiene una descomposición en valores propios donde es unitaria y es una matriz diagonal cuyas entradas son los valores propios de Como es semidefinida positiva, los valores propios son números reales no negativos, por lo que se puede definir como la matriz diagonal cuyas entradas son raíces cuadradas no negativas de los valores propios. Entonces, para Si además es definida positiva, entonces los valores propios son (estrictamente) positivos, por lo que es invertible, y por lo tanto también es invertible. Si tiene rango , entonces tiene exactamente valores propios positivos y los demás son cero, por lo tanto, en todas las filas excepto están todas a cero. Cortar las filas de cero da una matriz tal queM{\displaystyle M}M{\displaystyle M}M=Q−1DQ{\displaystyle M=Q^{-1}DQ}Q{\displaystyle Q}D{\displaystyle D}M{\displaystyle M}M{\displaystyle M}D12{\displaystyle D^{\frac {1}{2}}}M=Q−1DQ=Q∗DQ=Q∗D12D12Q=Q∗D12∗D12Q=B∗B{\displaystyle M=Q^{-1}DQ=Q^{*}DQ=Q^{*}D^{\frac {1}{2}}D^{\frac {1}{2}}Q=Q^{*}D^{{\frac {1}{2}}*}D^{\frac {1}{2}}Q=B^{*}B}B=D12Q.{\displaystyle B=D^{\frac {1}{2}}Q.}M{\displaystyle M}D12{\displaystyle D^{\frac {1}{2}}}B=D12Q{\displaystyle B=D^{\frac {1}{2}}Q}M{\displaystyle M}k,{\displaystyle k,}k{\displaystyle k}B=D12Q{\displaystyle B=D^{\frac {1}{2}}Q}k{\displaystyle k}k×n{\displaystyle k\times n}B′{\displaystyle B'}B′∗B′=B∗B=M.{\displaystyle B'^{*}B'=B^{*}B=M.}

Las columnas de pueden verse como vectores en el espacio vectorial complejo o real, respectivamente. Entonces, las entradas de son productos escalares (es decir, productos escalares , en el caso real) de estos vectores. En otras palabras, una matriz hermitiana es semidefinida positiva si y solo si es la matriz de Gram de algunos vectores. Es definida positiva si y solo si es la matriz de Gram de algunos vectores linealmente independientes . En general, el rango de la matriz de Gram de vectores es igual a la dimensión del espacio generado por estos vectores. [ 4 ]b1,…,bn{\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}B{\displaystyle B}Rk,{\displaystyle \mathbb {R} ^{k},}M{\displaystyle M}Mij=⟨bi,bj⟩.{\displaystyle M_{ij}=\langle b_{i},b_{j}\rangle .}M{\displaystyle M}b1,…,bn.{\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}.}b1,…,bn{\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}

Unicidad hasta transformaciones unitarias

La descomposición no es única: si para alguna matriz y si es cualquier matriz unitaria (es decir ), entonces paraM=B∗B{\displaystyle M=B^{*}B}k×n{\displaystyle k\times n}B{\displaystyle B}Q{\displaystyle Q}k×k{\displaystyle k\times k}Q∗Q=QQ∗=I{\displaystyle Q^{*}Q=QQ^{*}=I}M=B∗B=B∗Q∗QB=A∗A{\displaystyle M=B^{*}B=B^{*}Q^{*}QB=A^{*}A}A=QB.{\displaystyle A=QB.}

Sin embargo, esta es la única forma en que dos descomposiciones pueden diferir: La descomposición es única salvo transformaciones unitarias . Más formalmente, si es una matriz y es una matriz tal que entonces existe una matriz con columnas ortonormales (es decir ) tal que [ 5 ] Cuando esto significa que es unitaria .A{\displaystyle A}k×n{\displaystyle k\times n}B{\displaystyle B}ℓ×n{\displaystyle \ell \times n}A∗A=B∗B,{\displaystyle A^{*}A=B^{*}B,}ℓ×k{\displaystyle \ell \times k}Q{\displaystyle Q}Q∗Q=Ik×k{\displaystyle Q^{*}Q=I_{k\times k}}B=QA.{\displaystyle B=QA.}ℓ=k{\displaystyle \ell =k}Q{\displaystyle Q}

Esta afirmación tiene una interpretación geométrica intuitiva en el caso real: sean las columnas de y los vectores y en Una matriz unitaria real es una matriz ortogonal , que describe una transformación rígida (una isometría del espacio euclidiano ) que preserva el punto 0 (es decir, rotaciones y reflexiones , sin traslaciones). Por lo tanto, los productos escalares y son iguales si y solo si alguna transformación rígida de transforma los vectores en (y 0 en 0).A{\displaystyle A}B{\displaystyle B}a1,…,an{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}b1,…,bn{\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}Rk.{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}.}Rk{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}ai⋅aj{\displaystyle a_{i}\cdot a_{j}}bi⋅bj{\displaystyle b_{i}\cdot b_{j}}Rk{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}a1,…,an{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}b1,…,bn{\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}

Raíz cuadrada

Una matriz hermitiana es semidefinida positiva si y solo si existe una matriz semidefinida positiva (en particular, es hermitiana, por lo que ) que satisface Esta matriz es única, [ 6 ] se llama la raíz cuadrada no negativa de y se denota con Cuando es definida positiva, también lo es, por lo tanto, también se llama la raíz cuadrada positiva deM{\displaystyle M}B{\displaystyle B}B{\displaystyle B}B∗=B{\displaystyle B^{*}=B}M=BB.{\displaystyle M=BB.}B{\displaystyle B}M,{\displaystyle M,}B=M12.{\displaystyle B=M^{\frac {1}{2}}.}M{\displaystyle M}M12,{\displaystyle M^{\frac {1}{2}},}M.{\displaystyle M.}

La raíz cuadrada no negativa no debe confundirse con otras descomposiciones Algunos autores usan el nombre raíz cuadrada y para cualquier descomposición de este tipo, o específicamente para la descomposición de Cholesky , o cualquier descomposición de la forma otros solo lo usan para la raíz cuadrada no negativa.M=B∗B.{\displaystyle M=B^{*}B.}M12{\displaystyle M^{\frac {1}{2}}}M=BB;{\displaystyle M=BB;}

Si entoncesM≻N≻0{\displaystyle M\succ N\succ 0}M12≻N12≻0.{\displaystyle M^{\frac {1}{2}}\succ N^{\frac {1}{2}}\succ 0.}

descomposición colérica

Una matriz hermitiana semidefinida positiva se puede escribir como donde es triangular inferior con diagonal no negativa (equivalentemente donde es triangular superior); esta es la descomposición de Cholesky . Si es definida positiva, entonces la diagonal de es positiva y la descomposición de Cholesky es única. Recíprocamente, si es triangular inferior con diagonal no negativa, entonces es semidefinida positiva. La descomposición de Cholesky es especialmente útil para cálculos numéricos eficientes. Una descomposición estrechamente relacionada es la descomposición LDL , donde es diagonal y es unitarigular inferior .M{\displaystyle M}M=LL∗,{\displaystyle M=LL^{*},}L{\displaystyle L}M=B∗B{\displaystyle M=B^{*}B}B=L∗{\displaystyle B=L^{*}}M{\displaystyle M}L{\displaystyle L}L{\displaystyle L}LL∗{\displaystyle LL^{*}}M=LDL∗,{\displaystyle M=LDL^{*},}D{\displaystyle D}L{\displaystyle L}

Teorema de Williamson

Cualquier matriz real hermitiana definida positiva puede diagonalizarse mediante matrices simplécticas (reales). Más precisamente, el teorema de Williamson garantiza la existencia de matrices reales positivas simplécticas y diagonales tales que .2n×2n{\displaystyle 2n\times 2n}M{\displaystyle M}S∈Sp(2n,R){\displaystyle S\in \mathbf {Sp} (2n,\mathbb {R} )}D∈Rn×n{\displaystyle D\in \mathbb {R} ^{n\times n}}SMST=D⊕D{\displaystyle SMS^{T}=D\oplus D}

Otras caracterizaciones

Sea una matriz simétrica real , y sea la "bola unitaria" definida por Entonces tenemos lo siguienteM{\displaystyle M}n×n{\displaystyle n\times n}B1(M)≡{x∈Rn:xTMx≤1}{\displaystyle B_{1}(M)\equiv \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \leq 1\}}M.{\displaystyle M.}

  • B1(vvT){\displaystyle B_{1}(\mathbf {v} \mathbf {v} ^{\mathsf {T}})}es una losa sólida intercalada entre±{w:⟨w,v⟩=1}.{\displaystyle \pm \{\mathbf {w} :\langle \mathbf {w} ,\mathbf {v} \rangle =1\}.}
  • M⪰0{\displaystyle M\succeq 0}si y solo si es un elipsoide o un cilindro elipsoidal.B1(M){\displaystyle B_{1}(M)}
  • M≻0{\displaystyle M\succ 0}si y solo si está acotada, es decir, es un elipsoide.B1(M){\displaystyle B_{1}(M)}
  • Si entonces si y solo si si y solo siN≻0,{\displaystyle N\succ 0,}M⪰N{\displaystyle M\succeq N}B1(M)⊆B1(N);{\displaystyle B_{1}(M)\subseteq B_{1}(N);}M≻N{\displaystyle M\succ N}B1(M)⊆int⁡(B1(N)).{\displaystyle B_{1}(M)\subseteq \operatorname {int} {\bigl (}B_{1}(N){\bigr )}.}
  • Si entonces para todo si y solo si Entonces, dado que el dual polar de un elipsoide es también un elipsoide con los mismos ejes principales, con longitudes inversas, tenemos Es decir, si es definida positiva, entonces para todo si y solo siN≻0,{\displaystyle N\succ 0,}M⪰vvTvTNv{\displaystyle M\succeq {\frac {\mathbf {v} \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}}{\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}N\mathbf {v} }}}v≠0{\displaystyle v\neq 0}B1(M)⊂⋂vTNv=1B1(vvT).{\textstyle B_{1}(M)\subset \bigcap _{\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}N\mathbf {v} =1}B_{1}(\mathbf {v} \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}).}B1(N−1)=⋂vTNv=1B1(vvT)=⋂vTNv=1{w:|⟨w,v⟩|≤1}.{\displaystyle B_{1}(N^{-1})=\bigcap _{\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}N\mathbf {v} =1}B_{1}(\mathbf {v} \mathbf {v} ^{\mathsf {T}})=\bigcap _{\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}N\mathbf {v} =1}\{\mathbf {w} :|\langle \mathbf {w} ,\mathbf {v} \rangle |\leq 1\}.} N{\displaystyle N}M⪰vvTvTNv{\displaystyle M\succeq {\frac {\mathbf {v} \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}}{\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}N\mathbf {v} }}}v≠0{\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }M⪰N−1.{\displaystyle M\succeq N^{-1}.}

Sea una matriz hermitiana . Las siguientes propiedades son equivalentes a ser definida positiva:M{\displaystyle M}n×n{\displaystyle n\times n}M{\displaystyle M}

La forma sesquilineal asociada es un producto interno.
La forma sesquilineal definida por es la función de a tal que para todo y en donde es la transpuesta conjugada de Para cualquier matriz compleja esta forma es lineal en y semilineal en Por lo tanto, la forma es un producto interno en si y solo si es real y positivo para todo distinto de cero, es decir, si y solo si es definida positiva. (De hecho, todo producto interno en surge de esta manera a partir de una matriz hermitiana definida positiva).M{\displaystyle M}⟨⋅,⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }Cn×Cn{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}}Cn{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}⟨x,y⟩≡y∗Mx{\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle \equiv \mathbf {y} ^{*}M\mathbf {x} }x{\displaystyle \mathbf {x} }y{\displaystyle \mathbf {y} }Cn,{\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}y∗{\displaystyle \mathbf {y} ^{*}}y.{\displaystyle \mathbf {y} .}M,{\displaystyle M,}x{\displaystyle x}y.{\displaystyle \mathbf {y} .}Cn{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}⟨z,z⟩{\displaystyle \langle \mathbf {z} ,\mathbf {z} \rangle }z;{\displaystyle \mathbf {z} ;} M{\displaystyle M}Cn{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
Sus principales menores son todos positivos
El k -ésimo menor principal de una matriz es el determinante de su submatriz superior izquierda . Resulta que una matriz es definida positiva si y solo si todos estos determinantes son positivos. Esta condición se conoce como el criterio de Sylvester y proporciona una prueba eficiente de la definición positiva de una matriz real simétrica. Es decir, la matriz se reduce a una matriz triangular superior mediante operaciones elementales de fila , como en la primera parte del método de eliminación gaussiana , teniendo cuidado de preservar el signo de su determinante durante el proceso de pivoteo . Dado que el k -ésimo menor principal de una matriz triangular es el producto de sus elementos diagonales hasta la fila, el criterio de Sylvester es equivalente a comprobar si todos sus elementos diagonales son positivos. Esta condición se puede comprobar cada vez que se obtiene una nueva fila de la matriz triangular.M{\displaystyle M}k×k{\displaystyle k\times k}k,{\displaystyle k,}k{\displaystyle k}

Una matriz semidefinida positiva es definida positiva si y solo si es invertible . [ 7 ] Una matriz es (semi)definida negativa si y solo si es (semi)definida positiva.M{\displaystyle M}−M{\displaystyle -M}

Formas cuadráticas

La forma (puramente) cuadrática asociada a una matriz real es la función tal que para todo se puede asumir simétrica reemplazándola por ya que cualquier parte asimétrica se anulará en el producto de doble cara.n×n{\displaystyle n\times n}M{\displaystyle M}Q:Rn→R{\displaystyle Q:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }Q(x)=xTMx{\displaystyle Q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} }x.{\displaystyle \mathbf {x} .}M{\displaystyle M}12(M+MT),{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(M+M^{\mathsf {T}}\right),}

Una matriz simétrica es definida positiva si y solo si su forma cuadrática es una función estrictamente convexa .M{\displaystyle M}

De forma más general, cualquier función cuadrática de a se puede escribir como donde es una matriz simétrica , es un vector real de dimensión n y es una constante real. En el caso, se trata de una parábola, y al igual que en el caso, tenemosRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}R{\displaystyle \mathbb {R} }xTMx+bTx+c{\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} +\mathbf {b} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} +c}M{\displaystyle M}n×n{\displaystyle n\times n}b{\displaystyle \mathbf {b} } c{\displaystyle c}n=1{\displaystyle n=1}n=1{\displaystyle n=1}

Teorema: Esta función cuadrática es estrictamente convexa y, por lo tanto, tiene un único mínimo global finito, si y solo si es definida positiva.M{\displaystyle M}

Demostración: Si es definida positiva, entonces la función es estrictamente convexa. Su gradiente es cero en el único punto de , que debe ser el mínimo global, ya que la función es estrictamente convexa. Si no es definida positiva, entonces existe algún vector tal que , por lo que la función es una línea o una parábola descendente, por lo que no es estrictamente convexa y no tiene un mínimo global.M{\displaystyle M}M−1b,{\displaystyle M^{-1}\mathbf {b} ,}M{\displaystyle M}v{\displaystyle \mathbf {v} }vTMv≤0,{\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {v} \leq 0,}f(t)≡(tv)TM(tv)+bT(tv)+c{\displaystyle f(t)\equiv (t\mathbf {v} )^{\mathsf {T}}M(t\mathbf {v} )+b^{\mathsf {T}}(t\mathbf {v} )+c}

Por este motivo, las matrices definidas positivas desempeñan un papel importante en los problemas de optimización .

Diagonalización simultánea

Una matriz simétrica y otra matriz que sea a la vez simétrica y definida positiva pueden diagonalizarse simultáneamente . Esto es así aunque la diagonalización simultánea no se realice necesariamente con una transformación de semejanza . Este resultado no se extiende al caso de tres o más matrices. En esta sección, escribimos para el caso real. La extensión al caso complejo es inmediata.

Sea una matriz simétrica y una matriz simétrica y definida positiva. Escribimos la ecuación generalizada de valores propios como donde imponemos que sea normalizada, es decir Ahora usamos la descomposición de Cholesky para escribir la inversa de como Multiplicando por y haciendo obtenemos que se puede reescribir como donde La manipulación ahora produce donde es una matriz que tiene como columnas los vectores propios generalizados y es una matriz diagonal de los valores propios generalizados. Ahora la premultiplicación con da el resultado final: y pero observe que esto ya no es una diagonalización ortogonal con respecto al producto interno donde De hecho, diagonalizamos con respecto al producto interno inducido por [ 8 ]M{\displaystyle M}N{\displaystyle N}(M−λN)x=0{\displaystyle \left(M-\lambda N\right)\mathbf {x} =0}x{\displaystyle \mathbf {x} }xTNx=1.{\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}N\mathbf {x} =1.}N{\displaystyle N}QTQ.{\displaystyle Q^{\mathsf {T}}Q.}Q{\displaystyle Q}x=QTy,{\displaystyle \mathbf {x} =Q^{\mathsf {T}}\mathbf {y} ,}Q(M−λN)QTy=0,{\displaystyle Q\left(M-\lambda N\right)Q^{\mathsf {T}}\mathbf {y} =0,}(QMQT)y=λy{\displaystyle \left(QMQ^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {y} =\lambda \mathbf {y} }yTy=1.{\displaystyle \mathbf {y} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} =1.}MX=NXΛ{\displaystyle MX=NX\Lambda }X{\displaystyle X}Λ{\displaystyle \Lambda }XT{\displaystyle X^{\mathsf {T}}}XTMX=Λ{\displaystyle X^{\mathsf {T}}MX=\Lambda }XTNX=I,{\displaystyle X^{\mathsf {T}}NX=I,}yTy=1.{\displaystyle \mathbf {y} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} =1.}M{\displaystyle M}N.{\displaystyle N.}

Cabe destacar que este resultado no contradice lo expuesto sobre la diagonalización simultánea en el artículo «Matriz diagonalizable» , que se refiere a la diagonalización simultánea mediante una transformación de similitud. Nuestro resultado se asemeja más a la diagonalización simultánea de dos formas cuadráticas y resulta útil para la optimización de una de ellas bajo ciertas condiciones en la otra.

Propiedades

Ordenamiento parcial inducido

Para matrices cuadradas arbitrarias escribimos si es decir, es semidefinida positiva. Esto define un orden parcial en el conjunto de todas las matrices cuadradas. De manera similar, se puede definir un orden parcial estricto. Este orden se denomina orden de Loewner .M,{\displaystyle M,}N{\displaystyle N}M≥N{\displaystyle M\geq N}M−N≥0{\displaystyle M-N\geq 0}M−N{\displaystyle M-N}M>N.{\displaystyle M>N.}

Inversa de una matriz definida positiva

Toda matriz definida positiva es invertible y su inversa también es definida positiva. [ 9 ] Si entonces [ 10 ] Además, por el teorema min-max , el k -ésimo autovalor más grande de es mayor o igual que el k -ésimo autovalor más grande deM≥N>0{\displaystyle M\geq N>0}N−1≥M−1>0.{\displaystyle N^{-1}\geq M^{-1}>0.}M{\displaystyle M}N.{\displaystyle N.}

Escalada

Si es definida positiva y es un número real, entonces es definida positiva. [ 11 ]M{\displaystyle M}r>0{\displaystyle r>0}rM{\displaystyle rM}

Suma

  • Si y son definidas positivas, entonces la suma también es definida positiva. [ 11 ]M{\displaystyle M}N{\displaystyle N}M+N{\displaystyle M+N}
  • Si y son semidefinidas positivas, entonces la suma también es semidefinida positiva.M{\displaystyle M}N{\displaystyle N}M+N{\displaystyle M+N}
  • Si es definida positiva y es semidefinida positiva, entonces la suma también es definida positiva.M{\displaystyle M}N{\displaystyle N}M+N{\displaystyle M+N}

Multiplicación

  • Si y son definidas positivas, entonces los productos y también son definidos positivos. Si entonces también es definida positiva.M{\displaystyle M}N{\displaystyle N}MNM{\displaystyle MNM}NMN{\displaystyle NMN}MN=NM,{\displaystyle MN=NM,}MN{\displaystyle MN}
  • Si es semidefinida positiva, entonces es semidefinida positiva para cualquier matriz (posiblemente rectangular). Si es definida positiva y tiene rango de columna completo, entonces es definida positiva. [ 12 ]M{\displaystyle M}A∗MA{\displaystyle A^{*}MA}A.{\displaystyle A.}M{\displaystyle M}A{\displaystyle A}A∗MA{\displaystyle A^{*}MA}

Rastro

Las entradas diagonales de una matriz semidefinida positiva son reales y no negativas. Como consecuencia, la traza , Además, [ 13 ] dado que cada submatriz principal (en particular, de 2x2) es semidefinida positiva, y por lo tanto, cuandomii{\displaystyle m_{ii}}tr⁡(M)≥0.{\displaystyle \operatorname {tr} (M)\geq 0.}|mij|≤miimjj∀i,j{\displaystyle \left|m_{ij}\right|\leq {\sqrt {m_{ii}m_{jj}}}\quad \forall i,j}n≥1,{\displaystyle n\geq 1,}maxi,j|mij|≤maximii{\displaystyle \max _{i,j}\left|m_{ij}\right|\leq \max _{i}m_{ii}}

Una matriz hermitiana es definida positiva si satisface las siguientes desigualdades de traza: [ 14 ]n×n{\displaystyle n\times n}M{\displaystyle M}tr⁡(M)>0and(tr⁡(M))2tr⁡(M2)>n−1.{\displaystyle \operatorname {tr} (M)>0\quad \mathrm {and} \quad {\frac {(\operatorname {tr} (M))^{2}}{\operatorname {tr} (M^{2})}}>n-1.}

Otro resultado importante es que para cualquier matriz semidefinida positiva, Esto se deduce escribiendo La matriz es semidefinida positiva y, por lo tanto, tiene valores propios no negativos, cuya suma, la traza, es por consiguiente también no negativa.M{\displaystyle M}N{\displaystyle N}tr⁡(MN)≥0.{\displaystyle \operatorname {tr} (MN)\geq 0.}tr⁡(MN)=tr⁡(M12NM12).{\displaystyle \operatorname {tr} (MN)=\operatorname {tr} (M^{\frac {1}{2}}NM^{\frac {1}{2}}).}M12NM12{\displaystyle M^{\frac {1}{2}}NM^{\frac {1}{2}}}

Producto Hadamard

Si bien no es necesariamente semidefinido positivo, el producto de Hadamard sí lo es (este resultado se suele denominar teorema del producto de Schur ). [ 15 ]M,N≥0,{\displaystyle M,N\geq 0,}MN{\displaystyle MN}M∘N≥0{\displaystyle M\circ N\geq 0}

En lo que respecta al producto de Hadamard de dos matrices semidefinidas positivas, existen dos desigualdades notables:M=(mij)≥0,{\displaystyle M=(m_{ij})\geq 0,}N≥0,{\displaystyle N\geq 0,}

  • Desigualdad de Oppenheim: [ 16 ]det(M∘N)≥det(N)∏imii.{\displaystyle \det(M\circ N)\geq \det(N)\prod \nolimits _{i}m_{ii}.}
  • det(M∘N)≥det(M)det(N).{\displaystyle \det(M\circ N)\geq \det(M)\det(N).}[ 17 ]

Producto Kronecker

Si bien no es necesario semidefinido positivo, el producto de KroneckerM,N≥0,{\displaystyle M,N\geq 0,}MN{\displaystyle MN}M⊗N≥0.{\displaystyle M\otimes N\geq 0.}

Producto Frobenius

Si bien no es necesariamente semidefinida positiva, el producto interno de Frobenius (Lancaster–Tismenetsky, The Theory of Matrices , p. 218).M,N≥0,{\displaystyle M,N\geq 0,}MN{\displaystyle MN}M:N≥0{\displaystyle M:N\geq 0} 

Convexidad

El conjunto de matrices simétricas semidefinidas positivas es convexo . Es decir, si y son semidefinidas positivas, entonces para cualquier entre 0 y 1 , también es semidefinida positiva. Para cualquier vector : M{\displaystyle M}N{\displaystyle N}α{\displaystyle \alpha }αM+(1−α)N{\displaystyle \alpha M+\left(1-\alpha \right)N}x{\displaystyle \mathbf {x} }xT(αM+(1−α)N)x=αxTMx+(1−α)xTNx≥0.{\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\left(\alpha M+\left(1-\alpha \right)N\right)\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} +(1-\alpha )\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}N\mathbf {x} \geq 0.}

Esta propiedad garantiza que los problemas de programación semidefinida converjan a una solución globalmente óptima.

Relación con el coseno

La positividad definida de una matriz expresa que el ángulo entre cualquier vector y su imagen es siempreA{\displaystyle A}θ{\displaystyle \theta }x{\displaystyle \mathbf {x} }Ax{\displaystyle A\mathbf {x} }−π/2<θ<+π/2:{\displaystyle -\pi /2<\theta <+\pi /2:}

cos⁡θ=xTAx‖x‖‖Ax‖=⟨x,Ax⟩‖x‖‖Ax‖,θ=θ(x,Ax)≡(x,Ax)^≡{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} }{\lVert \mathbf {x} \rVert \lVert A\mathbf {x} \rVert }}={\frac {\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {x} \rangle }{\lVert \mathbf {x} \rVert \lVert A\mathbf {x} \rVert }},\theta =\theta (\mathbf {x} ,A\mathbf {x} )\equiv {\widehat {\left(\mathbf {x} ,A\mathbf {x} \right)}}\equiv }el ángulo entre yx{\displaystyle \mathbf {x} }Ax.{\displaystyle A\mathbf {x} .}

Otras propiedades

  1. Si es una matriz de Toeplitz simétrica , es decir, las entradas se dan como una función de sus diferencias de índices absolutos: y se cumple la desigualdad estricta , entonces es estrictamente definida positiva.M{\displaystyle M}mij{\displaystyle m_{ij}}mij=h(|i−j|),{\displaystyle m_{ij}=h(|i-j|),}∑j≠0|h(j)|<h(0){\textstyle \sum _{j\neq 0}\left|h(j)\right|<h(0)}M{\displaystyle M}
  2. Sea y hermitiano. Si (resp., ) entonces (resp., ). [ 18 ]M>0{\displaystyle M>0}N{\displaystyle N}MN+NM≥0{\displaystyle MN+NM\geq 0}MN+NM>0{\displaystyle MN+NM>0}N≥0{\displaystyle N\geq 0}N>0{\displaystyle N>0}
  3. Si es real, entonces existe un tal que donde es la matriz identidad .M>0{\displaystyle M>0}δ>0{\displaystyle \delta >0}M>δI,{\displaystyle M>\delta I,}I{\displaystyle I}
  4. Si denota el menor principal, es el k -ésimo pivote durante la descomposición LU .Mk{\displaystyle M_{k}}k×k{\displaystyle k\times k}det(Mk)/det(Mk−1){\displaystyle \det \left(M_{k}\right)/\det \left(M_{k-1}\right)}
  5. Una matriz es definida negativa si su menor principal de orden k es negativo cuando es impar y positivo cuando es par.k{\displaystyle k}k{\displaystyle k}
  6. Si es una matriz real definida positiva, entonces existe un número real positivo tal que para cada vectorM{\displaystyle M}m{\displaystyle m}v,{\displaystyle \mathbf {v} ,}vTMv≥m‖v‖22.{\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {v} \geq m\|\mathbf {v} \|_{2}^{2}.}
  7. Una matriz hermitiana es semidefinida positiva si y solo si todos sus menores principales son no negativos. Sin embargo, no basta con considerar únicamente los menores principales principales, como se comprueba en la matriz diagonal con entradas 0 y −1  .

Matrices de bloques y submatrices

Una matriz positiva también puede definirse mediante bloques : 2n×2n{\displaystyle 2n\times 2n}M=[ABCD]{\displaystyle M={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}

donde cada bloque es Al aplicar la condición de positividad, se deduce inmediatamente que y son hermíticos, yn×n,{\displaystyle n\times n,}A{\displaystyle A}D{\displaystyle D}C=B∗.{\displaystyle C=B^{*}.}

Tenemos eso para todos los complejos y en particular para Entonces z∗Mz≥0{\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \geq 0}z,{\displaystyle \mathbf {z} ,}z=[v,0]T.{\displaystyle \mathbf {z} =[\mathbf {v} ,0]^{\mathsf {T}}.}[v∗0][ABB∗D][v0]=v∗Av≥0.{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {v} ^{*}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\\B^{*}&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {v} \\0\end{bmatrix}}=\mathbf {v} ^{*}A\mathbf {v} \geq 0.}

Un argumento similar puede aplicarse a y, por lo tanto, concluimos que tanto como deben ser definidas positivas. El argumento puede extenderse para demostrar que cualquier submatriz principal de es también definida positiva.D,{\displaystyle D,}A{\displaystyle A}D{\displaystyle D}M{\displaystyle M}

Se pueden demostrar resultados recíprocos con condiciones más fuertes en los bloques, por ejemplo, utilizando el complemento de Schur .

Extremos locales

Una forma cuadrática general en variables reales siempre se puede escribir como donde es el vector columna con esas variables, y es una matriz real simétrica. Por lo tanto, que la matriz sea definida positiva significa que tiene un mínimo único (cero) cuando es cero, y es estrictamente positiva para cualquier otrof(x){\displaystyle f(\mathbf {x} )}n{\displaystyle n}x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}xTMx{\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} }x{\displaystyle \mathbf {x} }M{\displaystyle M}f{\displaystyle f}x{\displaystyle \mathbf {x} }x.{\displaystyle \mathbf {x} .}

En términos más generales, una función real dos veces diferenciable en variables reales tiene un mínimo local en argumentos si su gradiente es cero y su matriz hessiana (la matriz de todas las segundas derivadas) es semidefinida positiva en ese punto. Se pueden hacer afirmaciones similares para matrices definidas negativas y semidefinidas.f{\displaystyle f}n{\displaystyle n}x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}

Covarianza

En estadística , la matriz de covarianza de una distribución de probabilidad multivariante siempre es semidefinida positiva; y es definida positiva a menos que una variable sea una función lineal exacta de las demás. A la inversa, toda matriz semidefinida positiva es la matriz de covarianza de alguna distribución multivariante.

Extensión para matrices cuadradas no hermíticas

La definición de definida positiva se puede generalizar designando cualquier matriz compleja (por ejemplo, real no simétrica) como definida positiva si para todos los vectores complejos no nulos donde denota la parte real de un número complejo [ 19 ]. Solo la parte hermitiana determina si la matriz es definida positiva, y se evalúa en el sentido más estricto anterior. De manera similar, si y son reales, tenemos para todos los vectores reales no nulos si y solo si la parte simétrica es definida positiva en el sentido más estricto. Es inmediatamente claro que es insensible a la transposición deM{\displaystyle M}Re{z∗Mz}>0{\displaystyle {\mathcal {R_{e}}}\left\{\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \right\}>0}z,{\displaystyle \mathbf {z} ,}Re{c}{\displaystyle {\mathcal {R_{e}}}\{c\}}c.{\displaystyle c.}12(M+M∗){\textstyle {\frac {1}{2}}\left(M+M^{*}\right)}x{\displaystyle \mathbf {x} }M{\displaystyle M}xTMx>0{\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} >0}x{\displaystyle \mathbf {x} }12(M+MT){\textstyle {\frac {1}{2}}\left(M+M^{\mathsf {T}}\right)}xTMx=∑ijxiMijxj{\textstyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} =\sum _{ij}x_{i}M_{ij}x_{j}}M.{\displaystyle M.}

Una matriz real no simétrica con solo valores propios positivos puede tener una parte simétrica con valores propios negativos, en cuyo caso no será (semi)definida positiva. Por ejemplo, la matriz tiene valores propios positivos 1 y 7, pero con la elección .M=[4914]{\textstyle M=\left[{\begin{smallmatrix}4&9\\1&4\end{smallmatrix}}\right]}xTMx=−2{\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} =-2}x=[−11]{\displaystyle \mathbf {x} =\left[{\begin{smallmatrix}-1\\1\end{smallmatrix}}\right]}

En resumen, la característica distintiva entre el caso real y el complejo es que un operador positivo acotado en un espacio de Hilbert complejo es necesariamente hermitiano o autoadjunto. Esta afirmación general puede argumentarse utilizando la identidad de polarización . Sin embargo, esto ya no es cierto en el caso real.

Aplicaciones

Matriz de conductividad térmica

La ley de conducción de calor de Fourier, que da el flujo de calor en términos del gradiente de temperatura, se escribe para medios anisotrópicos como donde es la matriz de conductividad térmica . El signo negativo se inserta en la ley de Fourier para reflejar la expectativa de que el calor siempre fluirá de caliente a frío. En otras palabras, dado que el gradiente de temperatura siempre apunta de frío a caliente, se espera que el flujo de calor tenga un producto interno negativo con de modo que Sustituyendo la ley de Fourier se obtiene esta expectativa como lo que implica que la matriz de conductividad debe ser definida positiva. Normalmente debería ser simétrica, sin embargo se vuelve asimétrica en presencia de un campo magnético como en un efecto Hall térmico .q{\displaystyle \mathbf {q} }g=∇T{\displaystyle \mathbf {g} =\nabla T}q=−Kg,{\displaystyle \mathbf {q} =-K\mathbf {g} ,}K{\displaystyle K}g{\displaystyle \mathbf {g} }q{\displaystyle \mathbf {q} }g{\displaystyle \mathbf {g} }qTg<0.{\displaystyle \mathbf {q} ^{\mathsf {T}}\mathbf {g} <0.}gTKg>0,{\displaystyle \mathbf {g} ^{\mathsf {T}}K\mathbf {g} >0,}K{\displaystyle K}

En términos más generales, en termodinámica, el flujo de calor y partículas es un sistema completamente acoplado, tal como lo describen las relaciones recíprocas de Onsager , y se requiere que la matriz de acoplamiento sea semidefinida positiva (posiblemente no simétrica) para que la producción de entropía sea no negativa.

Véase también

Referencias

  1. ↑ van den Bos, Adriaan (marzo de 2007). «Apéndice C: Matrices semidefinidas positivas y definidas positivas» . Estimación de parámetros para científicos e ingenieros (.pdf) ( edición en línea). John Wiley & Sons. págs. 259–263 . doi : 10.1002/9780470173862 . ISBN   978-047-017386-2.Edición impresa ISBN 9780470147818
  2. ↑ Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (8 de marzo de 2004). Optimización convexa . Cambridge University Press. doi : 10.1017/cbo9780511804441 . ISBN 978-0-521-83378-3.
  3. ↑ Horn y Johnson (2013) , pág. 440, Teorema 7.2.7
  4. ↑ Horn y Johnson (2013) , pág. 441, Teorema 7.2.10
  5. ↑ Horn y Johnson (2013) , pág. 452, Teorema 7.3.11
  6. ↑ Horn y Johnson (2013) , pág. 439, Teorema 7.2.6 conk=2{\displaystyle k=2}
  7. ↑ Horn y Johnson (2013) , pág. 431, Corolario 7.1.7
  8. ↑ Horn y Johnson (2013) , pág. 485, Teorema 7.6.1
  9. ↑ Horn y Johnson (2013) , pág. 438, Teorema 7.2.1
  10. ↑ Horn y Johnson (2013) , pág. 495, Corolario 7.7.4(a)
  11. 1 2 Horn y Johnson (2013) , pág. 430, Observación 7.1.3
  12. ↑ Horn y Johnson (2013) , pág. 431, Observación 7.1.8
  13. ↑ Horn y Johnson (2013) , pág. 430
  14. ↑ Wolkowicz, Henry; Styan, George PH (1980). "Límites para valores propios usando trazas". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 29 (29). Elsevier: 471– 506. doi : 10.1016/0024-3795(80)90258-X .
  15. ↑ Horn y Johnson (2013) , pág. 479, Teorema 7.5.3
  16. ↑ Horn y Johnson (2013) , pág. 509, Teorema 7.8.16
  17. ↑ Styan, GP (1973). "Productos de Hadamard y análisis estadístico multivariado". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 6 : 217–240 . doi : 10.1016/0024-3795(73)90023-2 .Corolario 3.6, pág. 227
  18. ↑ Bhatia, Rajendra (2007). Matrices definidas positivas . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. pág. 8. ISBN  978-0-691-12918-1.
  19. ↑ Weisstein, Eric W. "Matriz definida positiva" . MathWorld . Wolfram Research . Consultado el 26 de julio de 2012 .

Fuentes

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