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Articulo de referencia

Congruencia de matrices

En matemáticas , dos matrices cuadradas A {\displaystyle A} y B {\displaystyle B} sobre un campo se denominan congruentes si existe una matriz invertible PAG {\displaystyle P} s...

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En matemáticas , dos matrices cuadradasA{\displaystyle A}yB{\displaystyle B}sobre un campo se denominan congruentes si existe una matriz invertiblePAG{\displaystyle P} sobre el mismo campo de tal manera que

PAGTAPAG=B{\displaystyle P^{\mathsf {T}}AP=B}

La congruencia de matrices surge al considerar el efecto del cambio de base en la matriz de Gram asociada a una forma bilineal o cuadrática en un espacio vectorial de dimensión finita : dos matrices son congruentes si y solo si representan la misma forma bilineal con respecto a bases diferentes .

Halmos define la congruencia en términos de transpuesta conjugada (con respecto a un espacio de producto interno complejo ) en lugar de transpuesta, [ 1 ] pero esta definición no ha sido adoptada por la mayoría de los demás autores.

Congruencia sobre los números reales

La ley de inercia de Sylvester establece que dos matrices simétricas congruentes con entradas reales tienen el mismo número de autovalores positivos, negativos y cero . Es decir, el número de autovalores de cada signo es un invariante de la forma cuadrática asociada. [ 2 ]

Véase también

Referencias

  1. ^ Halmos, Paul R. (1958). Espacios vectoriales de dimensión finita . van Nostrand . pag.  134.
  2. ↑ Sylvester, JJ (1852). "Una demostración del teorema de que todo polinomio cuadrático homogéneo es reducible mediante sustituciones ortogonales reales a la forma de una suma de cuadrados positivos y negativos" (PDF) . Philosophical Magazine . IV : 138–142 . Consultado el 30 de diciembre de 2007 .