Matriz M

En matemáticas , especialmente en álgebra lineal , una matriz M es una matriz cuyas entradas fuera de la diagonal son menores o iguales a cero (es decir, es una matriz Z ) y cuyos valores propios tienen partes reales no negativas . El conjunto de matrices M no singulares es un subconjunto de la clase de matrices P , y también de la clase de matrices inversas-positivas (es decir, matrices con inversas que pertenecen a la clase de matrices positivas ). ^[1] El nombre de matriz M fue aparentemente elegido originalmente por Alexander Ostrowski en referencia a Hermann Minkowski , quien demostró que si una matriz Z tiene todas sus sumas de filas positivas, entonces el determinante de esa matriz es positivo. ^[2]

Una matriz M se define comúnmente de la siguiente manera:

Definición: Sea A una matriz Z real de n × n . Es decir, A  = ( a _ij ) donde a _ij ≤ 0 para todo i ≠ j , 1 ≤ i,j ≤ n . Entonces la matriz A también es una matriz M si se puede expresar en la forma A = sI − B , donde B  = ( b _ij ) con b _ij ≥ 0 , para todo 1 ≤ i,j ≤ n , donde s es al menos tan grande como el máximo de los módulos de los valores propios de B , e I es una matriz identidad.

Para la no singularidad de A , según el teorema de Perron-Frobenius , debe darse el caso de que s > ρ ( B ) . Además, para una M-matriz no singular, los elementos diagonales a _ii de A deben ser positivos. Aquí caracterizaremos más a fondo solo la clase de M-matrices no singulares.

Se conocen muchas afirmaciones que son equivalentes a esta definición de matrices M no singulares, y cualquiera de estas afirmaciones puede servir como definición inicial de una matriz M no singular. ^[3] Por ejemplo, Plemmons enumera 40 equivalencias de este tipo. ^[4] Plemmons ha categorizado estas caracterizaciones en términos de sus relaciones con las propiedades de: (1) positividad de los menores principales, (2) positividad inversa y desdoblamientos, (3) estabilidad y (4) semipositividad y dominancia diagonal. Tiene sentido categorizar las propiedades de esta manera porque las afirmaciones dentro de un grupo particular están relacionadas entre sí incluso cuando la matriz A es una matriz arbitraria, y no necesariamente una matriz Z. Aquí mencionamos algunas caracterizaciones de cada categoría.

A continuación, ≥ denota el orden elemento por elemento (no el orden semidefinido positivo habitual en matrices). Es decir, para cualquier matriz real A , B de tamaño m × n , escribimos A ≥ B (o A > B ) si a _ij ≥ b _ij (o a _ij > b _ij ) para todos los i , j .

Sea A una matriz Z real de n × n , entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes a que A sea una matriz M no singular :

Positividad de los principales menores

• Todos los menores principales de A son positivos. Es decir, el determinante de cada submatriz de A obtenida al eliminar un conjunto, posiblemente vacío, de filas y columnas correspondientes de A es positivo.
• A + D no es singular para cada matriz diagonal nonegativa D.
• Todo valor propio real de A es positivo.
• Todos los principales menores de A son positivos.
• Existen matrices triangulares inferior y superior L y U respectivamente, con diagonales positivas, tales que A = LU .

Positividad inversa y desdoblamientos

• A es inversamente positiva , es decir, A ⁻¹ existe y A ⁻¹ ≥ 0 .
• A es monótona . Es decir, Ax ≥ 0 implica x ≥ 0 .
• A tiene una descomposición regular convergente . Es decir, A tiene una representación A = M − N , donde M ⁻¹ ≥ 0, N ≥ 0 con M ⁻¹ N convergente . Es decir, ρ ( M ⁻¹ N ) < 1 .
• Existen matrices inversamente positivas M ₁ y M ₂ con M ₁ ≤ A ≤ M ₂ .
• Toda división regular de A es convergente.

Estabilidad

• Existe una matriz diagonal positiva D tal que AD + DA ^T es definida positiva.
• A es estable positivo . Es decir, la parte real de cada valor propio de A es positiva.
• Existe una matriz definida positiva simétrica W tal que AW + WA ^T es definida positiva.
• A + I no es singular y G = ( A + I ) ⁻¹ ( A − I ) es convergente.
• A + I no es singular, y para G = ( A + I ) ⁻¹ ( A − I ) , existe una matriz simétrica definida positiva W tal que W − G ^T WG es definida positiva.

Semipositividad y dominancia diagonal

• A es semipositiva . Es decir, existe x > 0 con Ax > 0 .
• Existe x ≥ 0 con Ax > 0 .
• Existe una matriz diagonal positiva D tal que AD tiene todas las sumas de filas positivas.
• A tiene todos los elementos diagonales positivos y existe una matriz diagonal positiva D tal que AD es estrictamente diagonalmente dominante .
• A tiene todos los elementos diagonales positivos y existe una matriz diagonal positiva D tal que D ⁻¹ AD es estrictamente diagonalmente dominante.

Las principales contribuciones a la teoría de matrices M provienen principalmente de matemáticos y economistas. Las matrices M se utilizan en matemáticas para establecer límites en valores propios y en el establecimiento de criterios de convergencia para métodos iterativos para la solución de grandes sistemas dispersos de ecuaciones lineales . Las matrices M surgen naturalmente en algunas discretizaciones de operadores diferenciales , como el laplaciano , y como tal son bien estudiadas en la computación científica. Las matrices M también aparecen en el estudio de soluciones a problemas de complementariedad lineal . Los problemas de complementariedad lineal surgen en programación lineal y cuadrática , mecánica computacional y en el problema de encontrar el punto de equilibrio de un juego bimatricial . Por último, las matrices M aparecen en el estudio de cadenas finitas de Markov en el campo de la teoría de la probabilidad y la investigación de operaciones como la teoría de colas . Mientras tanto, los economistas han estudiado las matrices M en relación con la sustituibilidad bruta, la estabilidad de un equilibrio general y el análisis de insumo-producto de Leontief en sistemas económicos. La condición de positividad de todos los menores principales también se conoce como condición de Hawkins-Simon en la literatura económica. ^[5] En ingeniería, las matrices M también aparecen en los problemas de estabilidad de Lyapunov y control de retroalimentación en la teoría de control y están relacionadas con las matrices de Hurwitz . En biología computacional , las matrices M aparecen en el estudio de la dinámica de poblaciones .

• A es una matriz M débilmente diagonalmente dominante no singular si y solo si es una matriz L débilmente diagonalmente dominante encadenada .
• Si A es una matriz M, entonces −A es una matriz de Metzler .
• Una matriz M simétrica no singular a veces se denomina matriz de Stieltjes .
• Matriz estable de Hurwitz
• Matriz P
• Teorema de Perron-Frobenius
• Matriz Z
• Matriz H