Equilibrio competitivo

Esta definición permite explícitamente la posibilidad de que existan múltiples conjuntos de bienes igualmente atractivos. También para precios cero. Una definición alternativa ^{[ 2 ]} se basa en el concepto de conjunto de demanda . Dada una función de precios P ​​y un agente con una función de utilidad U, una determinada cesta de bienes x pertenece al conjunto de demanda del agente si:${\displaystyle U(x)-P(x)\geq U(y)-P(y)}$para cualquier otro paquete y. Un equilibrio competitivo es una función de precios P ​​y una matriz de asignación X tales que:

• El paquete asignado por X a cada agente está en el conjunto de demanda de ese agente para el vector de precios P;
• Todos los bienes que tienen un precio positivo están totalmente asignados (es decir, todos los artículos no asignados tienen un precio de 0).

En algunos casos es útil definir un equilibrio en el que se relaja la condición de racionalidad. ^{[ 3 ]} Dado un valor positivo${\displaystyle \epsilon }$(medido en unidades monetarias, por ejemplo, dólares), un vector de precios${\displaystyle P}$y un paquete${\displaystyle x}$, definir${\displaystyle P_{\epsilon }^{x}}$como un vector de precios en el que todos los artículos en x tienen el mismo precio que tienen en P, y todos los artículos que no están en x tienen precio${\displaystyle \epsilon }$más que su precio en P.

En un${\displaystyle \epsilon }$-equilibrio competitivo , el paquete x asignado a un agente debe estar en el conjunto de demanda de ese agente para el vector de precios modificado ,${\displaystyle P_{\epsilon }^{x}}$.

Esta aproximación es realista cuando hay comisiones de compra/venta. Por ejemplo, supongamos que un agente tiene que pagar${\displaystyle \epsilon }$dólares por comprar una unidad de un artículo, además del precio de ese artículo. Ese agente mantendrá su cesta actual siempre que esté en el conjunto de demanda para el vector de precios.${\displaystyle P_{\epsilon }^{x}}$Esto hace que el equilibrio sea más estable.

Cuando en la economía existen bienes indivisibles, se suele asumir que también existe dinero, que es divisible. Los agentes tienen funciones de utilidad cuasilineales : su utilidad es la suma de la cantidad de dinero que poseen y la utilidad derivada del conjunto de bienes que tienen.

A. Artículo único: Alice tiene un coche que valora en 10. Bob no tiene coche y valora el de Alice en 20. Un posible equilibrio de competencia (EC) es: el precio del coche es 15, Bob lo adquiere y le paga 15 a Alice. Este es un equilibrio porque el mercado se equilibra y ambos agentes prefieren su cesta final a su cesta inicial. De hecho, cualquier precio entre 10 y 20 será un precio de EC, con la misma asignación. La misma situación se da cuando el coche no pertenece inicialmente a Alice, sino que se subasta entre Alice y Bob: el coche irá a parar a Bob y el precio estará entre 10 y 20.

Por otro lado, cualquier precio inferior a 10 no es un precio de equilibrio porque hay un exceso de demanda (tanto Alice como Bob quieren el coche a ese precio), y cualquier precio superior a 20 no es un precio de equilibrio porque hay un exceso de oferta (ni Alice ni Bob quieren el coche a ese precio).

Este ejemplo es un caso especial de subasta doble .

B. Sustitutos: Un coche y un caballo se venden en una subasta. A Alice solo le importa el transporte, así que para ella son sustitutos perfectos: obtiene una utilidad de 8 del caballo, 9 del coche, y si tiene ambos, entonces solo usa el coche, por lo que su utilidad es 9. Bob obtiene una utilidad de 5 del caballo y 7 del coche, pero si tiene ambos, entonces su utilidad es 11, ya que también le gusta el caballo como mascota. En este caso es más difícil encontrar un equilibrio (ver más abajo ). Un posible equilibrio es que Alice compre el caballo por 5 y Bob compre el coche por 7. Este es un equilibrio ya que a Bob no le gustaría pagar 5 por el caballo, que le daría solo 4 de utilidad adicional, y a Alice no le gustaría pagar 7 por el coche, que le daría solo 1 de utilidad adicional.

C. Complementos : ^{[ 5 ]} Un caballo y un carruaje se venden en una subasta. Hay dos compradores potenciales: AND y XOR. AND solo quiere el caballo y el carruaje juntos; reciben una utilidad de${\displaystyle v_{and}}$por tener ambos pero una utilidad de 0 por tener solo uno de ellos. XOR quiere el caballo o el carruaje pero no necesita ambos; reciben una utilidad de${\displaystyle v_{xor}}$de sostener uno de ellos y la misma utilidad para sostener ambos. Aquí, cuando${\displaystyle v_{and}<2v_{xor}}$No existe un equilibrio competitivo, es decir, ningún precio equilibrará el mercado. Prueba : consideremos las siguientes opciones para la suma de los precios (precio del caballo + precio del carruaje):

• La suma es menor que${\displaystyle v_{and}}$. Entonces, AND quiere ambos artículos. Dado que el precio de al menos un artículo es menor que${\displaystyle v_{xor}}$XOR quiere ese artículo, por lo que hay un exceso de demanda.
• La suma es exactamente${\displaystyle v_{and}}$Entonces, AND es indiferente entre comprar ambos artículos y no comprar ninguno. Pero XOR todavía quiere exactamente un artículo, por lo que hay un exceso de demanda o un exceso de oferta.
• La suma es más de${\displaystyle v_{and}}$. Entonces, AND no quiere ningún artículo y XOR todavía quiere como máximo un solo artículo, por lo que hay un exceso de oferta.

D. Consumidores con demanda unitaria: Hay n consumidores. Cada consumidor tiene un índice${\displaystyle i=1,...,n}$Existe un único tipo de bien. Cada consumidor${\displaystyle i}$quiere como máximo una sola unidad del bien, lo que le da una utilidad de${\displaystyle u(i)}$. Los consumidores se ordenan de tal manera que${\displaystyle u}$es una función débilmente creciente de${\displaystyle i}$. Si el suministro es${\displaystyle k\leq n}$unidades, entonces cualquier precio${\displaystyle p}$satisfactorio${\displaystyle u(n-k)\leq p\leq u(n-k+1)}$es un precio de equilibrio, ya que hay k consumidores que o bien desean comprar el producto o son indiferentes entre comprarlo o no. Cabe destacar que un aumento de la oferta provoca una disminución del precio.

El modelo de Arrow-Debreu muestra que existe una CE en toda economía de intercambio con bienes divisibles que satisface las siguientes condiciones:

• Todos los agentes tienen preferencias estrictamente convexas ;
• Todos los bienes son deseables. Esto significa que, si algún bien${\displaystyle j}$se entrega de forma gratuita (${\displaystyle p_{j}=0}$), entonces todos los agentes quieren obtener lo máximo posible de ese bien.

La demostración se desarrolla en varias etapas. ^{[ 4 ] : 319–322}

A. Para mayor concreción, supongamos que hay${\displaystyle n}$agentes y${\displaystyle k}$bienes divisibles. Normalice los precios de manera que su suma sea 1, es decir${\displaystyle \sum _{j=1}^{k}p_{j}=1}$. Entonces el espacio de todos los precios posibles es el${\displaystyle k-1}$-unidad dimensional simplex en${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$. A este simplex lo llamamos simplex de precios .

B. Deja${\displaystyle z}$sea ​​la función de exceso de demanda . Esta es una función del vector de precios.${\displaystyle p}$cuando la dotación inicial${\displaystyle E}$se mantiene constante:

${\displaystyle z(p)=\sum _{i=1}^{n}\left({x_{i}(p,p\cdot E_{i})-E_{i}}\right)}$

Se sabe que, cuando los agentes tienen preferencias estrictamente convexas , la función de demanda marshalliana es continua. Por lo tanto,${\displaystyle z}$es también una función continua de${\displaystyle p}$.

C. Defina la siguiente función del simplex de precios en sí mismo:

${\displaystyle g_{i}(p)={\frac {p_{i}+\max(0,z_{i}(p))}{1+\sum _{j=1}^{k}\max(0,z_{j}(p))}},\forall i\in 1,\dots ,k}$

Esta es una función continua, por lo que, según el teorema del punto fijo de Brouwer, existe un vector de precios.${\displaystyle p^{*}}$de tal manera que:

${\displaystyle p^{*}=g(p^{*})}$

entonces,

${\displaystyle p_{i}^{*}={\frac {p_{i}+\max(0,z_{i}(p))}{1+\sum _{j=1}^{k}\max(0,z_{j}(p))}},\forall i\in 1,\dots ,k}$

D. Utilizando la ley de Walras y algo de álgebra, es posible demostrar que para este vector de precios no hay exceso de demanda en ningún producto, es decir:

${\displaystyle z_{j}(p^{*})\leq 0,\forall j\in 1,\dots ,k}$

E. El supuesto de deseabilidad implica que todos los productos tienen precios estrictamente positivos:

${\displaystyle p_{j}>0,\forall j\in 1,\dots ,k}$

Según la ley de Walras ,${\displaystyle p^{*}\cdot z(p^{*})=0}$. Pero esto implica que la desigualdad anterior debe ser una igualdad:

${\displaystyle z_{j}(p^{*})=0,\forall j\in 1,\dots ,k}$

Esto significa que${\displaystyle p^{*}}$es un vector de precios de un equilibrio competitivo.

Cabe señalar que las utilidades lineales son débilmente convexas, por lo que no cumplen los requisitos del modelo de Arrow-Debreu . Sin embargo, David Gale demostró que existe un equilibrio competitivo en toda economía de intercambio lineal que satisfaga ciertas condiciones. Para más detalles, véase Utilidades lineales#Existencia de equilibrio competitivo .

Los algoritmos para calcular el equilibrio del mercado se describen en el apartado de cálculo del equilibrio del mercado .

En los ejemplos anteriores , existía un equilibrio competitivo cuando los artículos eran sustitutos, pero no cuando eran complementarios. Esto no es una coincidencia.

Dada una función de utilidad para dos bienes X e Y , se dice que los bienes son sustitutos brutos débiles (SB) si son bienes independientes o sustitutos brutos , pero no complementarios . Esto significa que${\displaystyle {\frac {\Delta {\text{demand}}(X)}{\Delta {\text{price}}(Y)}}\geq 0}$Es decir, si el precio de Y aumenta, la demanda de X se mantiene constante o aumenta, pero no disminuye. Si el precio de Y disminuye, la demanda de X se mantiene constante o disminuye.

Una función de utilidad se denomina GS si, según esta función, todos los pares de bienes diferentes son GS. Con una función de utilidad GS, si un agente tiene un conjunto de demanda en un vector de precios dado, y los precios de algunos artículos aumentan, entonces el agente tiene un conjunto de demanda que incluye todos los artículos cuyo precio se ha mantenido constante. ^{[ 3 ] [ 6 ]} Puede decidir que no quiere un artículo que se ha vuelto más caro; también puede decidir que quiere otro artículo en su lugar (un sustituto); pero puede que no decida que no quiere un tercer artículo cuyo precio no ha cambiado.

Cuando las funciones de utilidad de todos los agentes son GS, siempre existe un equilibrio competitivo. ^{[ 7 ]}

Además, el conjunto de valoraciones GS es el conjunto más grande que contiene valoraciones de demanda unitaria para las cuales se garantiza la existencia de un equilibrio competitivo: para cualquier valoración que no sea GS, existen valoraciones de demanda unitaria tales que no existe un equilibrio competitivo para estas valoraciones de demanda unitaria junto con la valoración que no es GS dada. ^{[ 8 ]}

Para el problema computacional de encontrar un equilibrio competitivo en un tipo especial de mercado, consulte Fisher market#indivisible .

Según los teoremas fundamentales de la economía del bienestar , cualquier asignación de CE es eficiente en el sentido de Pareto , y cualquier asignación eficiente puede ser sostenible mediante un equilibrio competitivo. Además, según los teoremas de Varian , una asignación de CE en la que todos los agentes tienen el mismo ingreso también está libre de envidia .

En el equilibrio competitivo, el valor que la sociedad otorga a un bien es equivalente al valor de los recursos sacrificados para producirlo ( el beneficio marginal es igual al costo marginal ). Esto garantiza la eficiencia asignativa : el valor adicional que la sociedad otorga a otra unidad del bien es igual a los recursos que debe sacrificar para producirla. ^{[ 9 ]}

Cabe señalar que el análisis microeconómico no presupone utilidad aditiva ni compensaciones interpersonales en cuanto a la utilidad. Por lo tanto, la eficiencia se refiere a la ausencia de mejoras de Pareto . No se pronuncia en absoluto sobre la equidad de la asignación (en el sentido de justicia distributiva o equidad ). Un equilibrio eficiente podría ser aquel en el que un jugador posee todos los bienes y los demás no poseen ninguno (en un ejemplo extremo), lo cual es eficiente en el sentido de que puede que no se encuentre una mejora de Pareto, lo que beneficia a todos los jugadores (incluido el que posee todo en este caso) (para una mejora de Pareto estricta) o, al menos, no los perjudica.

En el caso de elementos indivisibles, tenemos las siguientes versiones fuertes de los dos teoremas de bienestar : ^{[ 2 ]}

1. Cualquier equilibrio competitivo maximiza el bienestar social (la suma de las utilidades), no solo considerando todas las asignaciones realistas de artículos, sino también todas las asignaciones fraccionarias . Es decir, incluso si pudiéramos asignar fracciones de un artículo a diferentes personas, no podríamos obtener un resultado mejor que un equilibrio competitivo en el que solo se asignan artículos completos.
2. Si existe una asignación entera (sin asignaciones fraccionarias) que maximiza el bienestar social, entonces existe un equilibrio competitivo con esa asignación.