Utilidad lineal

En economía y teoría del consumidor , una función de utilidad lineal es una función de la forma:

${\displaystyle u(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})=w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\dots w_{m}x_{m}}$

o, en forma vectorial:

${\displaystyle u({\overrightarrow {x}})={\overrightarrow {w}}\cdot {\overrightarrow {x}}}$

dónde:

• ${\displaystyle m}$es el número de bienes diferentes en la economía.
• ${\displaystyle {\overrightarrow {x}}}$es un vector de tamaño${\displaystyle m}$que representa un paquete . El elemento${\displaystyle x_{i}}$representa la cantidad de bien${\displaystyle i}$en el paquete.
• ${\displaystyle {\overrightarrow {w}}}$es un vector de tamaño${\displaystyle m}$que representa las preferencias subjetivas del consumidor. El elemento${\displaystyle w_{i}}$representa el valor relativo que el consumidor asigna a los bienes${\displaystyle i}$. Si${\displaystyle w_{i}=0}$, esto significa que el consumidor piensa que el producto${\displaystyle i}$es totalmente inútil. Cuanto más alto${\displaystyle w_{i}}$es decir, cuanto más valiosa sea una unidad de este producto para el consumidor.

Un consumidor con una función de utilidad lineal tiene las siguientes propiedades:

• Las preferencias son estrictamente monótonas : tener una mayor cantidad de incluso un solo bien aumenta estrictamente la utilidad.
• Las preferencias son débilmente convexas , pero no estrictamente convexas: una mezcla de dos cestas equivalentes es equivalente a las cestas originales, pero no mejor que ellas.
• La tasa marginal de sustitución de todos los bienes es constante. Por cada dos bienes${\displaystyle i,j}$:

${\displaystyle MRS_{i,j}=w_{i}/w_{j}}$.

• Las curvas de indiferencia son líneas rectas (cuando hay dos bienes) o hiperplanos (cuando hay más bienes).
• Cada curva de demanda (demanda en función del precio) es una función escalonada : el consumidor no quiere comprar ninguna unidad de un bien cuya relación utilidad/precio sea inferior a la máxima, y ​​quiere comprar tantas unidades como sea posible de un bien cuya relación utilidad/precio sea máxima.
• El consumidor considera que los productos son sustitutos perfectos .

Definimos una economía lineal como una economía de intercambio en la que todos los agentes tienen funciones de utilidad lineales. Una economía lineal tiene varias propiedades.

Supongamos que cada agente${\displaystyle A}$tiene una dotación inicial${\displaystyle {\overrightarrow {e_{A}}}}$Este es un vector de tamaño${\displaystyle m}$en el cual el elemento${\displaystyle e_{A,i}}$representa la cantidad de bien${\displaystyle i}$que inicialmente es propiedad del agente${\displaystyle A}$. Entonces, la utilidad inicial de este agente es${\displaystyle {\overrightarrow {w_{A}}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}}$.

Supongamos que los precios de mercado están representados por un vector${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$- un vector de tamaño${\displaystyle m}$en el cual el elemento${\displaystyle p_{i}}$es el precio de los buenos${\displaystyle i}$. Luego, el presupuesto del agente${\displaystyle A}$es${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}}$. Mientras este vector de precios esté vigente, el agente puede permitirse todos y solo los paquetes.${\displaystyle {\overrightarrow {x}}}$que satisfacen la restricción presupuestaria :${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x}}\leq {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}}$.

Un equilibrio competitivo es un vector de precios y una asignación en la que se satisfacen las demandas de todos los agentes (la demanda de cada bien es igual a su oferta). En una economía lineal, consiste en un vector de precios.${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$y una asignación${\displaystyle X}$, dando a cada agente un paquete${\displaystyle {\overrightarrow {x_{A}}}}$de tal manera que:

• ${\displaystyle \sum _{A}{\overrightarrow {x_{A}}}=\sum _{A}{\overrightarrow {e_{A}}}}$(la cantidad total de todos los bienes es la misma que en la asignación inicial; no se producen ni se destruyen bienes).
• Por cada agente${\displaystyle A}$su asignación${\displaystyle {\overrightarrow {x_{A}}}}$maximiza la utilidad del agente,${\displaystyle {\overrightarrow {w_{A}}}\cdot {\overrightarrow {x}}}$sujeto a la restricción presupuestaria${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x}}\leq {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}}$.

En equilibrio, cada agente posee solo bienes para los cuales su relación utilidad/precio es débilmente máxima. Es decir, si el agente${\displaystyle A}$se mantiene bien${\displaystyle i}$en equilibrio, entonces para cualquier otro bien${\displaystyle j}$:

${\displaystyle w_{A,i}/p_{i}\geq w_{A,j}/p_{j}}$

(de lo contrario, el agente querría intercambiar alguna cantidad de bien)${\displaystyle i}$con buena${\displaystyle j}$, rompiendo así el equilibrio).

Sin pérdida de generalidad , se puede suponer que cada bien es deseado por al menos un agente (de lo contrario, este bien puede ignorarse a efectos prácticos). Bajo este supuesto, el precio de equilibrio de un bien debe ser estrictamente positivo (de lo contrario, la demanda sería infinita).

David Gale ^{[ 1 ]} demostró las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de un equilibrio competitivo en una economía lineal. También demostró varias otras propiedades de las economías lineales.

Un conjunto${\displaystyle S}$de agentes se denomina autosuficiente si todos los miembros de${\displaystyle S}$asignar un valor positivo solo para los bienes que son propiedad exclusiva de los miembros de${\displaystyle S}$(en otras palabras, asignan valor)${\displaystyle w_{i}=0}$a cualquier producto${\displaystyle i}$que es propiedad de miembros externos${\displaystyle S}$). El conjunto${\displaystyle S}$Se denomina superautosuficiente si alguien en${\displaystyle S}$posee un bien que no es valorado por ningún miembro de${\displaystyle S}$(incluyéndose a sí mismo). El teorema de existencia de Gale dice que:

Una economía lineal tiene un equilibrio competitivo si y solo si ningún conjunto de agentes es superautosuficiente.

Prueba de la dirección "solo si" : Supongamos que la economía está en equilibrio con el precio${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$y asignación${\displaystyle x}$. Suponer${\displaystyle S}$es un conjunto autosuficiente de agentes. Entonces, todos los miembros de${\displaystyle S}$comercian únicamente entre sí, porque los bienes que poseen los demás agentes no tienen valor para ellos. Por lo tanto, la asignación de equilibrio satisface:

${\displaystyle \sum _{A\in S}{\overrightarrow {x_{A}}}=\sum _{A\in S}{\overrightarrow {e_{A}}}}$.

Cada asignación de equilibrio es eficiente en Pareto . Esto significa que, en la asignación de equilibrio${\displaystyle x}$, cada bien es poseído únicamente por un agente que le asigna un valor positivo. Por la igualdad antes mencionada, para cada bien${\displaystyle i}$, la cantidad total de${\displaystyle i}$celebrado por miembros de${\displaystyle S}$en la asignación de equilibrio${\displaystyle x}$igual a la cantidad total de${\displaystyle i}$celebrado por miembros de${\displaystyle S}$en la asignación inicial${\displaystyle e}$Por lo tanto, en la asignación inicial${\displaystyle e}$, cada bien está en posesión de un miembro de${\displaystyle S}$, solo si es valioso para uno o más miembros de${\displaystyle S}$. Por eso,${\displaystyle S}$no es superautosuficiente.

El equilibrio competitivo con ingresos iguales (CEEI) es un tipo especial de equilibrio competitivo, en el que el presupuesto de todos los agentes es el mismo. Es decir, para cada dos agentes${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$:

${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x_{A}}}={\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x_{B}}}}$

La asignación CEEI es importante porque está garantizada para estar libre de envidia : ^{[ 2 ]} el paquete${\displaystyle x_{A}}$le da agente${\displaystyle A}$una utilidad máxima entre todos los paquetes con el mismo precio, por lo que en particular le proporciona al menos tanta utilidad como el paquete${\displaystyle x_{B}}$.

Una forma de lograr un CEEI es dar a todos los agentes la misma dotación inicial, es decir, para cada${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$:

${\displaystyle {\overrightarrow {e_{A}}}={\overrightarrow {e_{B}}}}$

(si los hay)${\displaystyle n}$agentes entonces cada agente recibe exactamente${\displaystyle 1/n}$de la cantidad de cada bien). En tal asignación, ningún subconjunto de agentes es autosuficiente. Por lo tanto, como corolario del teorema de Gale:

En una economía lineal, siempre existe un CEEI .

Gale ^{[ 1 ]} demostró que:

En una economía lineal, todos los agentes son indiferentes entre todos los equilibrios .

Demostración. La demostración se realiza por inducción sobre el número de operadores. Cuando solo hay un operador, la afirmación es obvia. Supongamos que hay dos o más operadores y consideremos dos equilibrios: equilibrio X con vector de precios${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$y asignación${\displaystyle x}$y el equilibrio Y con vector de precios${\displaystyle {\overrightarrow {q}}}$y asignación${\displaystyle y}$Hay dos casos a considerar:

a. Los vectores de precios son iguales salvo una constante multiplicativa:${\displaystyle {\overrightarrow {p}}=C\cdot {\overrightarrow {q}}}$por alguna constante${\displaystyle C}$Esto significa que, en ambos equilibrios, todos los agentes tienen exactamente el mismo conjunto presupuestario (pueden permitirse exactamente las mismas cestas de bienes). En equilibrio, la utilidad de cada agente es la utilidad máxima de una cesta dentro del conjunto presupuestario; si el conjunto presupuestario es el mismo, también lo es la utilidad máxima dentro de ese conjunto.

b. Los vectores de precios no son proporcionales. Esto significa que el precio de algunos bienes cambió más que el de otros. Defina el mayor aumento de precio como:

${\displaystyle M:=\max _{i}{q_{i}/p_{i}}}$

y definir los bienes con el mayor aumento de precio como aquellos bienes que experimentaron el cambio de precio máximo (este debe ser un subconjunto apropiado de todos los bienes, ya que los vectores de precios no son proporcionales):

${\displaystyle H:=\{i|q_{i}/p_{i}=M\}}$

y definir a los poseedores del mayor aumento de precio como aquellos comerciantes que poseen uno o más de esos bienes de cambio de precio máximo en Equilibrium Y:

${\displaystyle S:=\{A|y_{A,i}>0{\text{ for some }}i\in H\}}$

En equilibrio, los agentes poseen solo bienes cuya relación utilidad/precio es débilmente máxima. Por lo tanto, para todos los agentes en${\displaystyle S}$, la relación utilidad/precio de todos los bienes en${\displaystyle H}$es débilmente maximal bajo el vector de precios${\displaystyle {\overrightarrow {q}}}$Dado que los bienes en${\displaystyle H}$experimentó el mayor aumento de precios cuando el vector de precios es${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$su relación utilidad/precio es fuertemente máxima. Por lo tanto, en el Equilibrio X, todos los agentes en${\displaystyle S}$solo contener mercancías de${\displaystyle H}$. En equilibrio X, alguien debe poseer bienes que no están en${\displaystyle H}$; por eso,${\displaystyle S}$debe ser un subconjunto apropiado de los agentes.

Entonces en equilibrio X, el${\displaystyle S}$-los agentes solo tienen${\displaystyle H}$-bienes, y en equilibrio Y,${\displaystyle S}$-los agentes tienen todo el control${\displaystyle H}$-bienes. Esto nos permite realizar algunos cálculos presupuestarios:

Por un lado, en equilibrio X con precio${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$, el${\displaystyle S}$-los agentes gastan todo su presupuesto en${\displaystyle H}$-bienes, entonces:

${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot \sum _{A\in S}{\overrightarrow {e_{A}}}\leq \sum _{i\in H}{p_{i}\cdot {\overrightarrow {e_{i}}}}}$

(dónde${\displaystyle {\overrightarrow {e_{i}}}}$es la dotación inicial total de buenos${\displaystyle i}$).

Por otro lado, en equilibrio Y con precio${\displaystyle {\overrightarrow {q}}}$, el${\displaystyle S}$-los agentes pueden permitirse todos los${\displaystyle H}$-bienes, entonces:

${\displaystyle {\overrightarrow {q}}\cdot \sum _{A\in S}{\overrightarrow {e_{A}}}\geq \sum _{i\in H}{q_{i}\cdot {\overrightarrow {e_{i}}}}}$

La combinación de estas ecuaciones lleva a la conclusión de que, en ambos equilibrios, el${\displaystyle S}$-Los agentes solo comercian entre sí:

${\displaystyle \sum _{A\in S}{y_{A}}=\sum _{A\in S}{x_{A}}=\sum _{A\in S}{e_{A}}}$.

Por lo tanto, los agentes que no están en${\displaystyle S}$también solo comercian entre sí. Esto significa que el equilibrio X está compuesto por dos equilibrios: uno que involucra solo${\displaystyle S}$-agentes y${\displaystyle H}$-bienes, y el otro que involucra únicamente no-${\displaystyle S}$-agentes y no-${\displaystyle H}$-bienes. Lo mismo ocurre con el agente Y. Dado que${\displaystyle S}$es un subconjunto propio de los agentes, se puede invocar la hipótesis de inducción y el teorema queda demostrado.

Eaves ^{[ 3 ]} presentó un algoritmo para encontrar un equilibrio competitivo en un número finito de pasos, cuando existe tal equilibrio.

Las funciones de utilidad lineales son un pequeño subconjunto de las funciones de utilidad cuasilineales .

Los bienes con utilidad lineal son un caso especial de bienes sustitutivos .

Supongamos que el conjunto de bienes no es finito sino continuo. Por ejemplo, la mercancía es un recurso heterogéneo, como la tierra. Entonces, las funciones de utilidad no son funciones de un número finito de variables, sino funciones de conjunto definidas en subconjuntos de Borel de la tierra. La generalización natural de una función de utilidad lineal a ese modelo es una función de conjunto aditiva . Este es el caso común en la teoría del reparto equitativo de recursos . Una extensión del resultado de Gale a este contexto viene dada por el teorema de Weller .

Bajo ciertas condiciones, una relación de preferencia ordinal puede representarse mediante una función de utilidad lineal y continua. ^{[ 4 ]}