Función de conjunto sigma-aditivo

En matemáticas , una función de conjunto aditiva es una función que asigna conjuntos a números, con la propiedad de que su valor en una unión de dos conjuntos disjuntos es igual a la suma de sus valores en estos conjuntos, es decir, Si esta propiedad de aditividad se cumple para dos conjuntos cualesquiera, entonces también se cumple para cualquier número finito de conjuntos, es decir, el valor de la función en la unión de k conjuntos disjuntos (donde k es un número finito) es igual a la suma de sus valores en los conjuntos. Por lo tanto, una función de conjunto aditiva también se denomina función de conjunto finitamente aditiva (los términos son equivalentes). Sin embargo, una función de conjunto finitamente aditiva podría no tener la propiedad de aditividad para una unión de un número infinito de conjuntos. Una función de conjunto σ-aditiva es una función que tiene la propiedad de aditividad incluso para conjuntos contablemente infinitos , es decir,${\textstyle \mu }$${\textstyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$${\textstyle \mu \left(\bigcup _ {n=1}^{\infty }A_ {n}\right)=\sum _ {n=1}^{\infty} \mu (A_ {n}) .}$

La aditividad y la sigma-aditividad son propiedades particularmente importantes de las medidas . Son abstracciones de cómo se suman las propiedades intuitivas de tamaño ( longitud , área , volumen ) de un conjunto cuando se consideran múltiples objetos. La aditividad es una condición más débil que la σ-aditividad; es decir, la σ-aditividad implica aditividad.

El término función de conjunto modular es equivalente a función de conjunto aditiva; ver modularidad a continuación.

Sea una función de conjunto definida en un álgebra de conjuntos con valores en (ver la recta de números reales extendida ). La función se llama${\estilo de visualización \mu}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle [-\infty,\infty]}$${\estilo de visualización \mu}$aditivo ofinitamente aditivo , si siempre queysonconjuntos disjuntosenentonces Una consecuencia de esto es que una función aditiva no puede tomar ambosycomo valores, ya que la expresiónno está definida. ${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}},}$$${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$$${\estilo de visualización -\infty}$${\estilo de visualización +\infty}$${\displaystyle \infty -\infty }$

Se puede demostrar por inducción matemática que una función aditiva satisface para cualquier conjunto disjunto en$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{N}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{N}\mu \left(A_{n}\right)}$$${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{N}}$${\textstyle {\mathcal {A}}.}$

Supongamos que es una σ-álgebra . Si para cada secuencia de conjuntos disjuntos por pares en se cumple entonces se dice que es contablemente aditiva o 𝜎-aditiva . Toda función 𝜎-aditiva es aditiva pero no viceversa, como se muestra a continuación. ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}},}$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}) ,}$$${\estilo de visualización \mu}$

Supongamos que además de un álgebra sigma tenemos una topología Si para cada familia dirigida de conjuntos abiertos mensurables decimos que es -aditiva. En particular, si es regular internamente (con respecto a los conjuntos compactos), entonces es τ-aditiva. ^[1]${\textstyle {\mathcal {A}},}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\textstyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {A}}\cap \tau ,}$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup {\mathcal {G}}\right)=\sup _{G\in {\mathcal {G}}}\mu (G),}$$${\estilo de visualización \mu}$${\estilo de visualización \tau}$${\estilo de visualización \mu}$

Las propiedades útiles de una función de conjunto aditivo incluyen las siguientes. ${\estilo de visualización \mu}$

O bien o bien se asigna a todos los conjuntos en su dominio, o bien se asigna a todos los conjuntos en su dominio. Demostración : la aditividad implica que para cada conjunto Si entonces esta igualdad puede satisfacerse solo por más o menos infinito. ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0,}$${\estilo de visualización \mu}$${\estilo de visualización\infty}$${\estilo de visualización \mu}$${\estilo de visualización -\infty}$${\estilo de visualización A,}$ ${\displaystyle \mu (A)=\mu (A\cup \varnothing )=\mu (A)+\mu (\varnothing ).}$${\displaystyle \mu (\varnothing )\neq 0,}$

Si no es negativo y entonces Es decir, es un${\estilo de visualización \mu}$${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B).}$${\estilo de visualización \mu}$función de conjunto monótono . De manera similar, sino es positivo yentonces${\estilo de visualización \mu}$${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle \mu (A)\geq \mu (B).}$

Una función de conjunto en una familia de conjuntos se llama${\estilo de visualización \mu}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$función de conjunto modular y unavaloración si siempre queyson elementos deentonces La propiedad anterior se llama${\estilo de visualización A,}$ ${\estilo de visualización B,}$ ${\displaystyle A\copa B,}$${\displaystyle A\cap B}$${\displaystyle {\mathcal {S}},}$$${\displaystyle \phi (A\cup B)+\phi (A\cap B)=\phi (A)+\phi (B)}$$modularidad y el argumento a continuación demuestra que la aditividad implica modularidad.

Dado y Demostración : escribe y y donde todos los conjuntos en la unión son disjuntos. La aditividad implica que ambos lados de la igualdad son iguales.${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B,}$ ${\displaystyle \mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B).}$ ${\displaystyle A=(A\cap B)\cup (A\setmenos B)}$${\displaystyle B=(A\cap B)\cup (B\setmenos A)}$${\displaystyle A\cup B=(A\cap B)\cup (A\setminus B)\cup (B\setminus A),}$${\displaystyle \mu (A\setminus B)+\mu (B\setminus A)+2\mu (A\cap B).}$

Sin embargo, las propiedades relacionadas de submodularidad y subaditividad no son equivalentes entre sí.

Téngase en cuenta que la modularidad tiene un significado diferente y no relacionado en el contexto de funciones complejas; consulte forma modular .

Si y está definido, entonces${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle \mu (B)-\mu (A)}$${\displaystyle \mu (B\setminus A)=\mu (B)-\mu (A).}$

Un ejemplo de una función 𝜎-aditiva es la función definida sobre el conjunto potencia de los números reales , tal que ${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}0\in A\\0&{\mbox{ if }}0\notin A.\end{cases}}}$$

Si es una secuencia de conjuntos disjuntos de números reales, entonces ninguno de los conjuntos contiene 0, o precisamente uno de ellos lo contiene. En cualquier caso, la igualdad se cumple. ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$$

Consulte medida y medida con signo para obtener más ejemplos de funciones 𝜎-aditivas.

Una carga se define como una función de conjunto finitamente aditiva que se asigna a ^[2] (véase el espacio b a para obtener información sobre cargas acotadas , donde decimos que una carga está acotada para significar que su rango es un subconjunto acotado de R ). ${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle 0.}$

Un ejemplo de una función aditiva que no es σ-aditiva se obtiene considerando , definida sobre los conjuntos de Lebesgue de los números reales por la fórmula donde denota la medida de Lebesgue y el límite de Banach . Satisface y si entonces${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle \mu (A)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{k}}\cdot \lambda (A\cap (0,k)),}$$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lim }$${\displaystyle 0\leq \mu (A)\leq 1}$${\displaystyle \sup A<\infty }$${\displaystyle \mu (A)=0.}$

Se puede comprobar que esta función es aditiva utilizando la linealidad del límite. Que esta función no es σ-aditiva se deduce considerando la sucesión de conjuntos disjuntos para La unión de estos conjuntos son los reales positivos , y aplicado a la unión es entonces uno, mientras que aplicado a cualquiera de los conjuntos individuales es cero, por lo que la suma de es también cero, lo que prueba el contraejemplo. $${\displaystyle A_{n}=[n,n+1)}$$${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu (A_{n})}$

Se pueden definir funciones aditivas con valores en cualquier monoide aditivo (por ejemplo, cualquier grupo o, más comúnmente, un espacio vectorial ). Para la aditividad sigma, se necesita además que el concepto de límite de una secuencia se defina en ese conjunto. Por ejemplo, las medidas espectrales son funciones sigma-aditivas con valores en un álgebra de Banach . Otro ejemplo, también de mecánica cuántica, es la medida con valor de operador positivo .

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