límite de Banach

En análisis matemático , un límite de Banach es una función lineal continua .${\displaystyle \phi$ :\ell ^{\infty }\to \mathbb {C} } definido en el espacio de Banach${\displaystyle \ell ^{\infty }}$de todas las secuencias complejas acotadas con valores tales que para todas las secuencias${\displaystyle x=(x_{n})}$,${\displaystyle y=(y_{n})}$en${\displaystyle \ell ^{\infty }}$y números complejos${\displaystyle \alpha }$:

1. ${\displaystyle \phi (\alpha x+y)=\alpha \phi (x)+\phi (y)}$(linealidad);
2. si${\displaystyle x_{n}\geq 0}$a pesar de${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, entonces${\displaystyle \phi (x)\geq 0}$(positividad);
3. ${\displaystyle \phi (x)=\phi (Sx)}$, dónde${\displaystyle S}$es el operador de desplazamiento definido por${\displaystyle (Sx)_{n}=x_{n+1}}$(invariancia de desplazamiento);
4. si${\displaystyle x}$es una sucesión convergente , entonces${\displaystyle \phi (x)=\lim x}$.

Por eso,${\displaystyle \phi }$es una extensión de la función continua${\displaystyle \lim :c\to \mathbb {C} }$dónde${\displaystyle c\subset \ell ^{\infty }}$es el espacio vectorial complejo de todas las secuencias que convergen a un límite (usual) en${\displaystyle \mathbb {C} }$.

En otras palabras, un límite de Banach extiende los límites usuales, es lineal, invariante bajo traslaciones y positivo. Sin embargo, existen secuencias para las cuales los valores de dos límites de Banach no coinciden. Decimos que el límite de Banach no está determinado de forma única en este caso.

Como consecuencia de las propiedades anteriores, un límite de Banach con valores reales también satisface:

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \phi (x)\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}.}$

La existencia de límites de Banach se suele demostrar utilizando el teorema de Hahn-Banach (enfoque del analista) ^{[ 1 ]} o utilizando ultrafiltros (este enfoque es más frecuente en exposiciones de teoría de conjuntos) ^{[ 2 ]} . Estas demostraciones son inherentemente no constructivas, ya que utilizan el axioma de elección o conceptos similares y no son demostrables únicamente en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel .

Existen secuencias no convergentes que tienen un límite de Banach determinado de forma única. Por ejemplo, si${\displaystyle x=(1,0,1,0,\ldots )}$, entonces${\displaystyle x+S(x)=(1,1,1,\ldots )}$es una secuencia constante, y

${\displaystyle 2\phi (x)=\phi (x)+\phi (x)=\phi (x)+\phi (Sx)=\phi (x+Sx)=\phi ((1,1,1,\ldots ))=\lim((1,1,1,\ldots ))=1}$

se cumple. Por lo tanto, para cualquier límite de Banach, esta secuencia tiene límite${\displaystyle 1/2}$.

Una secuencia acotada${\displaystyle x}$con la propiedad que para cada límite de Banach${\displaystyle \phi }$el valor${\displaystyle \phi (x)}$es lo mismo se llama casi convergente .

Dada una secuencia convergente${\displaystyle x=(x_{n})}$en${\displaystyle c\subset \ell ^{\infty }}$, el límite ordinario de${\displaystyle x}$no surge de un elemento de${\displaystyle \ell ^{1}}$, si la dualidad${\displaystyle \langle \ell ^{1},\ell ^{\infty }\rangle }$se considera. Esto último significa${\displaystyle \ell ^{\infty }}$es el espacio dual continuo (espacio de Banach dual) de${\displaystyle \ell ^{1}}$y, en consecuencia,${\displaystyle \ell ^{1}}$induce funcionales lineales continuos en${\displaystyle \ell ^{\infty }}$, pero no todos. Cualquier límite de Banach en${\displaystyle \ell ^{\infty }}$es un ejemplo de un elemento del espacio de Banach dual de${\displaystyle \ell ^{\infty }}$que no está en${\displaystyle \ell ^{1}}$. El dual de${\displaystyle \ell ^{\infty }}$se conoce como el espacio ba , y consiste en todas las medidas finitamente aditivas ( con signo ) en el álgebra sigma de todos los subconjuntos de los números naturales , o equivalentemente, todas las medidas de Borel (con signo) en la compactificación de Stone-Čech de los números naturales.

• "Límite de Banach" . PlanetMath .

• Balcar, Bohuslav ; Štěpánek, Petr (2000). Teorie množin (en checo) (2  ed.). Praga: Academia. ISBN 802000470X.
• Conway, John B. (1994). Un curso de análisis funcional . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  96. Nueva York: Springer. ISBN 0-387-97245-5.