espacio ba

En matemáticas , el espacio ba de un álgebra de conjuntos es el espacio de Banach que consiste en todas las medidas con signo acotadas y finitamente aditivas en . La norma se define como la variación , es decir ^[1]${\displaystyle ba(\Sigma )}$ ${\estilo de visualización \Sigma}$${\estilo de visualización \Sigma}$${\displaystyle \|\nu \|=|\nu |(X).}$

Si Σ es un álgebra sigma , entonces el espacio se define como el subconjunto de que consiste en medidas aditivas contables . ^[2] La notación ba es un mnemónico para aditivo acotado y ca es la abreviatura de aditivo contable . ${\displaystyle ca(\Sigma )}$${\displaystyle ba(\Sigma )}$

Si X es un espacio topológico y Σ es el álgebra sigma de los conjuntos de Borel en X , entonces es el subespacio de que consiste en todas las medidas regulares de Borel en X. ^[3 ]${\displaystyle rca(X)}$${\displaystyle ca(\Sigma )}$

Los tres espacios son completos (son espacios de Banach ) con respecto a la misma norma definida por la variación total, y por lo tanto es un subconjunto cerrado de , y es un conjunto cerrado de para Σ el álgebra de conjuntos de Borel en X . El espacio de funciones simples en es denso en . ${\displaystyle ca(\Sigma )}$${\displaystyle ba(\Sigma )}$${\displaystyle rca(X)}$${\displaystyle ca(\Sigma )}$${\estilo de visualización \Sigma}$${\displaystyle ba(\Sigma )}$

El espacio ba del conjunto potencia de los números naturales , ba (2 ^N ), a menudo se denota simplemente como y es isomorfo al espacio dual del espacio ℓ ^∞ . ${\estilo de visualización ba}$

Sea B(Σ) el espacio de funciones Σ-medibles acotadas, dotadas de la norma uniforme . Entonces ba (Σ) = B(Σ)* es el espacio dual continuo de B(Σ). Esto se debe a Hildebrandt ^[4] y a Fichtenholtz & Kantorovich. ^[5] Este es un tipo de teorema de representación de Riesz que permite representar una medida como un funcional lineal sobre funciones medibles. En particular, este isomorfismo permite definir la integral con respecto a una medida finitamente aditiva (nótese que la integral de Lebesgue habitual requiere aditividad contable ). Esto se debe a Dunford & Schwartz, ^[6] y se utiliza a menudo para definir la integral con respecto a medidas vectoriales , ^{[7] y especialmente} medidas de Radon con valores vectoriales .

La dualidad topológica ba (Σ) = B(Σ)* es fácil de ver. Hay una dualidad algebraica obvia entre el espacio vectorial de todas las medidas finitamente aditivas σ en Σ y el espacio vectorial de funciones simples ( ). Es fácil comprobar que la forma lineal inducida por σ es continua en la sup-norma si σ está acotada, y el resultado se sigue ya que una forma lineal en el subespacio denso de funciones simples se extiende a un elemento de B(Σ)* si es continua en la sup-norma. ${\displaystyle \mu(A)=\zeta \left(1_{A}\right)}$

Si Σ es una sigma-álgebra y μ es una medida positiva sigma-aditiva en Σ entonces el espacio Lp L ^∞ ( μ ) dotado de la norma suprema esencial es por definición el espacio cociente de B(Σ) por el subespacio cerrado de funciones μ -nulas acotadas :

${\displaystyle N_{\mu }:=\{f\in B(\Sigma ):f=0\ \mu {\text{-casi en todas partes}}\}.}$

El espacio dual de Banach L ^∞ ( μ )* es por tanto isomorfo a

${\displaystyle N_{\mu }^{\perp }=\{\sigma \in ba(\Sigma ):\mu (A)=0\Rightarrow \sigma (A)=0{\text{ for any }}A\in \Sigma \},}$

es decir, el espacio de medidas con signo finitamente aditivas en Σ que son absolutamente continuas con respecto a μ ( μ -ac para abreviar).

Cuando el espacio de medida es además sigma-finito entonces L ^∞ ( μ ) es a su vez dual a L ¹ ( μ ), que por el teorema de Radon-Nikodym se identifica con el conjunto de todas las medidas μ -ac aditivas contables . En otras palabras, la inclusión en el bidual

${\displaystyle L^{1}(\mu )\subset L^{1}(\mu )^{**}=L^{\infty }(\mu )^{*}}$

es isomorfo a la inclusión del espacio de medidas acotadas μ -ac contablemente aditivas dentro del espacio de todas las medidas acotadas μ -ac finitamente aditivas.

• Lista de espacios de Banach

• Dunford, N.; Schwartz, JT (1958). Operadores lineales, Parte I. Wiley-Interscience.

• Diestel, Joseph (1984). Sucesiones y series en espacios de Banach . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90859-5.OCLC 9556781  .
• Yosida, K.; Hewitt, E. (1952). "Medidas finitamente aditivas". Transactions of the American Mathematical Society . 72 (1): 46–66. doi : 10.2307/1990654 . JSTOR  1990654.
• Kantorovitch, Leonid V.; Akilov, Gleb P. (1982). Análisis funcional . Pergamon. doi :10.1016/C2013-0-03044-7. ISBN 978-0-08-023036-8.