Problema de minimización de gastos

En microeconomía , el problema de minimización del gasto es el doble del problema de maximización de la utilidad : "¿cuánto dinero necesito para alcanzar un cierto nivel de felicidad?". Esta pregunta tiene dos partes. Dada la función de utilidad de un consumidor , los precios y un objetivo de utilidad,

• ¿Cuánto dinero necesitaría el consumidor? Esta pregunta se responde mediante la función de gasto .
• ¿Qué podría comprar el consumidor para alcanzar este objetivo de utilidad y minimizar el gasto? La función de demanda de Hicks responde a esta pregunta .

Formalmente, la función de gasto se define de la siguiente manera. Supongamos que el consumidor tiene una función de utilidad definida sobre los bienes. Entonces, la función de gasto del consumidor da la cantidad de dinero necesaria para comprar un paquete de bienes a precios determinados que le proporcionen una utilidad de al menos , ${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización L}$${\estilo de visualización p}$${\displaystyle u^{*}}$

${\displaystyle e(p,u^{*})=\min _{x\in \geq {u^{*}}}p\cdot x}$

dónde

${\displaystyle \geq {u^{*}}=\{x\in \mathbb {R} _{+}^{L}:u(x)\geq u^{*}\}}$

es el conjunto de todos los paquetes que proporcionan una utilidad al menos tan buena como . ${\displaystyle u^{*}}$

La demanda hicksiana se define por

${\displaystyle h:\mathbb {R} _{+}^{L}\times \mathbb {R} _{+}\to P(\mathbb {R} _{+}^{L})}$

${\displaystyle h(p,u^{*})={\underset {x\in \geq u^{*}}{\operatorname {argmin} }}\ p\cdot x}$. ^[1]

La función de demanda de Hicks proporciona el paquete más barato que proporciona la utilidad deseada. Está relacionada con la función de demanda de Marshall y la función de gasto por

${\displaystyle h(p,u^{*})=x(p,e(p,u^{*})).\,}$

La relación entre la función de utilidad y la demanda marshalliana en el problema de maximización de la utilidad refleja la relación entre la función de gasto y la demanda hicksiana en el problema de minimización del gasto. También es posible que las demandas hicksiana y marshalliana no sean únicas (es decir, que haya más de una cesta de productos que satisfaga el problema de minimización del gasto); en ese caso, la demanda es una correspondencia y no una función. Esto no sucede, y las demandas son funciones, bajo el supuesto de no saciedad local .

• Problema de maximización de utilidad

• Mas-Colell, Andreu ; Whinston, Michael y Green, Jerry (1995). Teoría microeconómica . Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-507340-1.

• Anatomía de las funciones de utilidad de tipo Cobb-Douglas en 3D