Función de utilidad indirecta

En economía , la función de utilidad indirecta de un consumidor${\displaystyle v(p,w)}$proporciona al consumidor la máxima utilidad alcanzable cuando se enfrenta a un vector${\displaystyle p}$de precios de bienes y una cantidad de ingresos${\displaystyle w}$Refleja tanto las preferencias del consumidor como las condiciones del mercado.

Esta función se denomina indirecta porque los consumidores suelen pensar en sus preferencias en términos de lo que consumen, en lugar de en términos de precios. La utilidad indirecta de un consumidor.${\displaystyle v(p,w)}$pueden calcularse a partir de su función de utilidad${\displaystyle u(x),}$definido sobre vectores${\displaystyle x}$de cantidades de bienes de consumo, calculando primero la cesta asequible más preferida, representada por el vector${\displaystyle x(p,w)}$resolviendo el problema de maximización de la utilidad y, en segundo lugar, calculando la utilidad${\displaystyle u(x(p,w))}$El consumidor obtiene de ese paquete. La función de utilidad indirecta resultante es

${\displaystyle v(p,w)=u(x(p,w)).}$

La función de utilidad indirecta es:

• Continua en R ⁿ ₊ × R ₊ donde n es el número de bienes;
• Disminución de los precios;
• Ingresos en constante aumento;
• Homogéneo con grado cero en precios e ingresos; si los precios y los ingresos se multiplican por una constante dada, la misma cesta de consumo representa un máximo, por lo que la utilidad óptima no cambia;
• cuasi-convexa en ( p , w ).

Además, la identidad de Roy establece que si v ( p , w ) es diferenciable en${\displaystyle (p^{0},w^{0})}$y${\displaystyle {\frac {\partial v(p,w)}{\partial w}}\neq 0}$, entonces

${\displaystyle -{\frac {\partial v(p^{0},w^{0})/\partial p_{i}}{\partial v(p^{0},w^{0})/\partial w}}=x_{i}(p^{0},w^{0}),\quad i=1,\dots ,n.}$

La función de utilidad indirecta es la inversa de la función de gasto cuando los precios se mantienen constantes. Es decir, para cada vector de precios${\displaystyle p}$y nivel de utilidad${\displaystyle u}$: ^{[ 1 ] : 106}

${\displaystyle v(p,e(p,u))\equiv u}$

Digamos que la función de utilidad es la función Cobb-Douglas.${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{0.6}x_{2}^{0.4},}$que tiene las funciones de demanda marshallianas ^{[ 2 ]}

${\displaystyle x_{1}(p_{1},p_{2})={\frac {0.6w}{p_{1}}}\;\;\;\;{\rm {y}}\;\;\;x_{2}(p_{1},p_{2})={\frac {0.4w}{p_{2}}},}$

dónde${\displaystyle w}$es el ingreso del consumidor. La función de utilidad indirecta${\ Displaystyle v (p_ {1}, p_ {2}, w)}$se obtiene sustituyendo las cantidades en la función de utilidad por las funciones de demanda de la siguiente manera:

${\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)=u(x_{1}^{*},x_{2}^{*})=(x_{1}^{*})^{0.6}(x_{2}^{*})^{0.4}=\left({\frac {0.6w}{p_{1}}}\right)^{0.6}\left({\frac {0.4w}{p_{2}}}\right)^{0.4}=(0.6^{0.6}*.4^{.4})w^{0.6+0.4}p_{1}^{-0.6}p_{2}^{-0.4}=Kp_{1}^{-0.6}p_{2}^{-0.4}w,}$

dónde${\displaystyle K=(0,6^{0,6}*0,4^{0,4}).}$Cabe destacar que la función de utilidad muestra la utilidad para cualquier cantidad que cumpla sus argumentos, incluso si no son óptimos para el consumidor y no resuelven su problema de maximización de la utilidad. La función de utilidad indirecta, en cambio, presupone que el consumidor ha derivado sus funciones de demanda de forma óptima para precios e ingresos dados.

• Forma polar de Gorman
• Función de demanda hickiana
• Función de valor

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• Luenberger, David G. (1995). Teoría microeconómica . Nueva York: McGraw-Hill. págs. 103–107 . ISBN  0-07-049313-8.
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