Espacio cada vez más reducido

En matemáticas , en el campo de la topología , se dice que un espacio topológico tiene la propiedad de contracción ^{[ 1 ]} o es un espacio de contracción si toda cubierta abierta admite una contracción. Una contracción de una cubierta abierta es otra cubierta abierta indexada por el mismo conjunto de índices, con la propiedad de que la clausura de cada conjunto abierto en la contracción se encuentra dentro del conjunto abierto original correspondiente. ^{[ 1 ]}

Se conocen los siguientes datos sobre la reducción de espacios:

• Todo espacio que se reduce es normal . ^{[ 1 ]}
• Todo espacio que se reduce es paracompacto numerable . ^{[ 1 ]}
• En un espacio normal , toda cubierta abierta localmente finita, y de hecho, toda cubierta abierta puntualmente finita, admite una contracción. ^{[ 1 ]}
• Por lo tanto, todo espacio metacompacto normal es un espacio decreciente. En particular, todo espacio paracompacto de Hausdorff es un espacio decreciente. ^{[ 1 ]}

Estos hechos son particularmente importantes porque la contracción de cubiertas abiertas es una técnica común en la teoría de variedades diferenciales y al construir funciones utilizando una partición de la unidad .

• Topología general, Stephen Willard, definición 15.9, pág.  104