Espacio contablemente compacto

En matemáticas, un espacio topológico se denomina contablemente compacto si cada cubierta abierta contable tiene una subcubierta finita.

Un espacio topológico X se denomina numerablemente compacto si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[1] [2]}

(1) Toda cubierta abierta contable de X tiene una subcubierta finita.

(2) Todo conjunto infinito A en X tiene un punto de ω-acumulación en X .

(3) Cada secuencia en X tiene un punto de acumulación en X .

(4) Toda familia contable de subconjuntos cerrados de X con una intersección vacía tiene una subfamilia finita con una intersección vacía.

• El primer ordinal incontable (con la topología de orden ) es un ejemplo de un espacio numerablemente compacto que no es compacto. ^[3]

• Todo espacio compacto es contablemente compacto.
• Un espacio contablemente compacto es compacto si y sólo si es Lindelöf .
• Todo espacio numerablemente compacto es compacto en puntos límite .
• Para los espacios T1 , la compacidad contable y la compacidad del punto límite son equivalentes.
• Todo espacio secuencialmente compacto es numerablemente compacto. ^[4] La recíproca no se cumple. Por ejemplo, el producto de un continuo -muchos intervalos cerrados con la topología de producto es compacto y, por lo tanto, numerablemente compacto; pero no es secuencialmente compacto. ^[5]${\estilo de visualización [0,1]}$
• Para los espacios contables iniciales , la compacidad contable y la compacidad secuencial son equivalentes. ^[6] De manera más general, lo mismo se aplica a los espacios secuenciales . ^[7]
• Para espacios metrizables , la compacidad contable, la compacidad secuencial, la compacidad del punto límite y la compacidad son todas equivalentes.
• El ejemplo del conjunto de todos los números reales con la topología estándar muestra que ni la compacidad local ni la σ-compacidad ni la paracompacidad implican compacidad contable.
• Los subespacios cerrados de un espacio contablemente compacto son contablemente compactos. ^[8]
• La imagen continua de un espacio contablemente compacto es contablemente compacta. ^[9]
• Todo espacio numerablemente compacto es pseudocompacto .
• En un espacio numerablemente compacto, cada familia localmente finita de subconjuntos no vacíos es finita. ^{[10] [11]}
• Todo espacio paracompacto numerablemente compacto es compacto. ^{[12] [11] De manera más general, todo} espacio metacompacto numerablemente compacto es compacto. ^[13]
• Todo espacio numerable de Hausdorff compacto y numerable es regular . ^{[14] [15]}
• Todo espacio numerable compacto normal es normal en cuanto a colección .
• El producto de un espacio compacto y un espacio contablemente compacto es contablemente compacto. ^{[16] [17]}
• El producto de dos espacios numerablemente compactos no necesita ser numerablemente compacto. ^[18]

• Espacio secuencialmente compacto
• Espacio compacto
• Punto límite compacto
• Espacio Lindelöf

• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
• James Munkres (1999). Topología (2.ª ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de la edición de 1978). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3.
• Willard, Stephen (2004) [1970], Topología general ( reimpresión de Dover de la edición de 1970), Addison-Wesley