Espacio pseudocompacto

En matemáticas , en el campo de la topología , se dice que un espacio topológico es pseudocompacto si su imagen bajo cualquier función continua en R es acotada . Muchos autores incluyen el requisito de que el espacio sea completamente regular en la definición de pseudocompacidad. Los espacios pseudocompactos fueron definidos por Edwin Hewitt en 1948. ^{[ 1 ]}

• Para que un espacio de Tychonoff X sea pseudocompacto , toda colección localmente finita de conjuntos abiertos no vacíos de X debe ser finita . Existen muchas condiciones equivalentes para la pseudocompacidad (a veces se debe asumir algún axioma de separación ); muchas de ellas se citan en Stephenson 2003. Algunas observaciones históricas sobre resultados anteriores se pueden encontrar en Engelking 1989, pág. 211. 
• Todo espacio numerablemente compacto es pseudocompacto. Para los espacios de Hausdorff normales, ocurre lo contrario.
• Como consecuencia del resultado anterior, todo espacio secuencialmente compacto es pseudocompacto. Lo contrario es cierto para los espacios métricos . Dado que la compacidad secuencial es una condición equivalente a la compacidad para los espacios métricos, esto implica que la compacidad también es una condición equivalente a la pseudocompacidad para los espacios métricos.
• El resultado menos concluyente de que todo espacio compacto es pseudocompacto se demuestra fácilmente: la imagen de un espacio compacto bajo cualquier función continua es compacta, y todo conjunto compacto en un espacio métrico es acotado.
• Si Y es la imagen continua de un conjunto pseudocompacto X , entonces Y es pseudocompacto. Cabe destacar que para funciones continuas g  : X → Y y h : Y → R , la composición de g y h , denominada f , es una función continua de X a los números reales. Por lo tanto, f es acotada y Y es pseudocompacto.       
• Sea X un conjunto infinito con una topología de puntos específica . Entonces X no es compacto, secuencialmente compacto, numerablemente compacto, paracompacto ni metacompacto (aunque sí es ortocompacto ). Sin embargo, dado que X es hiperconexo , es pseudocompacto. Esto demuestra que la pseudocompacidad no implica ninguna de estas otras formas de compacidad.
• Para que un espacio de Hausdorff X sea compacto, se requiere que X sea pseudocompacto y realcompacto (véase Engelking 1968, pág.  153).
• Para que un espacio de Tychonoff X sea compacto, se requiere que X sea pseudocompacto y metacompacto (véase Watson).

Existe una teoría relativamente refinada para grupos topológicos pseudocompactos . ^{[ 2 ]} En particular, WW Comfort y Kenneth A. Ross demostraron que un producto de grupos topológicos pseudocompactos sigue siendo pseudocompacto (esto podría fallar para espacios topológicos arbitrarios). ^{[ 3 ]}

• Espacio compacto
• Espacio paracompacto
• Espacio normal
• Espacio Realcompacto
• Espacio metacompacto
• Espacio ortocompacto
• Espacio Tychonoff

• Engelking, Ryszard (1968), Esquema de topología general , traducido del polaco, Ámsterdam: North-Holland.
• Engelking, Ryszard (1989), Topología general , Berlín: Heldermann Verlag.
• Kerstan, Johannes (1957), "Zur Charakterisierung der pseudokompakten Räume", Mathematische Nachrichten , 16 ( 5– 6): 289– 293, doi : 10.1002/mana.19570160505.
• Stephenson, RM Jr (2003), Espacios pseudocompactos , Capítulo d-7 en Enciclopedia de topología general, Editado por: Klaas Pieter Hart, Jun-iti Nagata y Jerry E. Vaughan, Páginas 177-181, Ámsterdam: Elsevier BV.
• Watson, W. Stephen (1981), "Los espacios metacompactos pseudocompactos son compactos", Proc. Amer. Math. Soc. , 81 : 151– 152, doi : 10.1090/s0002-9939-1981-0589159-1.
• Willard, Stephen (1970), Topología general , Reading, Mass.: Addison-Wesley.
• Yan-Min, Wang (1988), "Nuevas caracterizaciones de espacios pseudocompactos", Bull. Austral. Math. Soc. , 38 (2): 293– 298, doi : 10.1017/S0004972700027568.

• MI Voitsekhovskii (2001) [1994], "Espacio pseudocompacto" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• "Espacio pseudocompacto" . PlanetMath .