Espacio Realcompacto

En matemáticas , en el campo de la topología , se dice que un espacio topológico es realcompacto si es completamente regular de Hausdorff y contiene cada punto de su compactificación de Stone-Čech que es real (lo que significa que el cuerpo cociente en ese punto del anillo de funciones reales son los reales). Los espacios realcompactos también se han llamado espacios Q , espacios saturados , espacios funcionalmente completos , espacios real-completos , espacios completos y espacios de Hewitt-Nachbin (nombrados en honor a Edwin Hewitt y Leopoldo Nachbin ). Los espacios realcompactos fueron introducidos por Hewitt (1948) .

• Un espacio es realcompacto si y solo si puede incrustarse homeomórficamente como un subconjunto cerrado en alguna potencia cartesiana (no necesariamente finita) de los números reales, con la topología producto . Además, un espacio (de Hausdorff) es realcompacto si y solo si tiene la topología uniforme y es completo para la estructura uniforme generada por las funciones continuas de valor real (Gillman, Jerison, p.  226).
• Por ejemplo, los espacios de Lindelöf son reales compactos; en particular, todos los subconjuntos de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$son realmente compactos.
• La compactificación real (de Hewitt) υ X de un espacio topológico X consiste en los puntos reales de su compactificación de Stone-Čech β X . Un espacio topológico X es realcompacto si y solo si coincide con su compactificación real de Hewitt.
• Denotamos por C ( X ) el anillo de funciones continuas de valor real sobre un espacio topológico X. Si Y es un espacio compacto real, entonces los homomorfismos de anillos de C ( Y ) a C ( X ) corresponden a aplicaciones continuas de X a Y. En particular, la categoría de espacios compactos reales es dual a la categoría de anillos de la forma C ( X ).
• Para que un espacio de Hausdorff X sea compacto, es necesario y suficiente que X sea realcompacto y pseudocompacto (véase Engelking, pág.  153).

• Espacio compacto
• Espacio paracompacto
• Espacio normal
• Espacio pseudocompacto
• Espacio Tychonoff

• Gillman, Leonard ; Jerison, Meyer , " Anillos de funciones continuas ". Reimpresión de la edición de 1960. Textos de posgrado en matemáticas, n.° 43. Springer-Verlag, Nueva York-Heidelberg, 1976. xiii+300 págs.
• Hewitt, Edwin (1948), "Anillos de funciones continuas de valor real. I", Transactions of the American Mathematical Society , 64 (1): 45–99 , doi : 10.2307/1990558 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1990558 , MR 0026239   .
• Engelking, Ryszard (1968). Esquema de topología general . Traducido del polaco. Ámsterdam: North-Holland Publ. Co..
• Willard, Stephen (1970), Topología general , Reading, Mass.: Addison-Wesley.