Espacio compacto y fácilmente contable

En matemáticas, un espacio topológico se denomina compacto numerable si toda cubierta abierta numerable tiene una subcubierta finita.

Un espacio topológico X se denomina compacto numerable si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

(1) Toda cubierta abierta numerable de X tiene una subcubierta finita.

( 2) Todo conjunto infinito A en X tiene un punto de acumulación ω en X.

(3) Toda secuencia en X tiene un punto de acumulación en X.

(4) Toda familia numerable de subconjuntos cerrados de X con una intersección vacía tiene una subfamilia finita con una intersección vacía.

• El primer ordinal no numerable (con la topología de orden ) es un ejemplo de un espacio numerablemente compacto que no es compacto. ^{[ 3 ]}

• Cada espacio compacto es contablemente compacto.
• Un espacio numerablemente compacto es compacto si y solo si es Lindelöf .
• Todo espacio compacto numerable es compacto en el punto límite .
• Para los espacios T1 , la compacidad numerable y la compacidad del punto límite son equivalentes.
• Todo espacio secuencialmente compacto es numerablemente compacto. ^{[ 4 ]} Lo contrario no se cumple. Por ejemplo, el producto de intervalos cerrados continuos${\displaystyle [0,1]}$con la topología de producto es compacto y por lo tanto numerablemente compacto; pero no es secuencialmente compacto. ^{[ 5 ]}
• Para espacios numerables de primer orden , la compacidad numerable y la compacidad secuencial son equivalentes. ^{[ 6 ]} De forma más general, lo mismo se aplica a los espacios secuenciales . ^{[ 7 ]}
• Para espacios metrizables , la compacidad numerable, la compacidad secuencial, la compacidad de punto límite y la compacidad son equivalentes. Lo mismo ocurre con los espacios de Hausdorff de segundo orden numerables .
• El ejemplo del conjunto de todos los números reales con la topología estándar muestra que ni la compacidad local , ni la σ-compacidad , ni la paracompacidad implican compacidad numerable.
• Los subespacios cerrados de un espacio numerablemente compacto son numerablemente compactos. ^{[ 8 ]}
• La imagen continua de un espacio numerablemente compacto es numerablemente compacto. ^{[ 9 ]}
• Todo espacio numerablemente compacto es pseudocompacto .
• En un espacio numerablemente compacto, toda familia localmente finita de subconjuntos no vacíos es finita. ^{[ 10 ] [ 11 ]}
• Todo espacio paracompacto numerablemente compacto es compacto. ^{[ 12 ] [ 11 ]} De manera más general, todo espacio metacompacto numerablemente compacto es compacto. ^{[ 13 ]}
• Todo espacio de Hausdorff contablemente compacto es regular . ^{[ 14 ] [ 15 ]}
• Cada espacio compacto contable normal es normal en cuanto a la colección .
• El producto de un espacio compacto y un espacio numerablemente compacto es numerablemente compacto. ^{[ 16 ] [ 17 ]}
• El producto de dos espacios numerablemente compactos no tiene por qué ser numerablemente compacto. ^{[ 18 ]}

• Espacio compacto secuencial
• Espacio compacto
• Punto límite compacto
• Espacio Lindelöf

• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
• James Munkres (1999). Topología (2.ª  ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de la edición de 1978  ). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3.
• Willard, Stephen (2004) [1970], Topología general ( reimpresión de Dover  de la edición de 1970), Addison-Wesley