Topología contable conjunta

La topología co-contable , también conocida como topología de complemento contable , es una topología que puede definirse en cualquier conjunto infinito. $X$ En esta topología, un conjunto es abierto si su complemento en $X$ es contable o igual a todo el conjunto. De forma equivalente, los conjuntos abiertos consisten en el conjunto vacío y todos los subconjuntos de $X$ cuyos complementos son numerables, una propiedad conocida como cocontabilidad . Los únicos conjuntos cerrados en esta topología son $X$ sí mismo y los subconjuntos contables de $X$ .

Definiciones

Dejar $X$ Sea un conjunto infinito y sea ${\mathcal {T}}$ sea el conjunto de subconjuntos de $X$ de tal manera que $H\in {\mathcal {T}}\iff X\setminus H{\mbox{ es contable, o}}\,H=\varnothing$ entonces ${\mathcal {T}}$ es la topología del complemento contable en $X$ y el espacio topológico $T=(X,{\mathcal {T}})$ es un espacio de complemento numerable. ^{[ 1 ]}

Simbólicamente, la topología se suele escribir como ${\mathcal {T}}=\{H\subseteq X:H=\varnothing {\mbox{ o }}X\setminus H{\mbox{ es contable}}\}.$

topología co-contable de doble punto

Dejar $X$ sea un conjunto no numerable . Definimos la topología. ${\mathcal {T}}$ como todos los conjuntos abiertos cuyos complementos son contables, junto con $\varnothing$ y $X$ mismo. ^{[ 2 ]}

Topología de extensión contable

Dejar $X$ ser la línea real. Ahora deja ${\mathcal {T}}_{1}$ sea la topología euclidiana y ${\mathcal {T}}_{2}$ sea la topología co-contable en $X$ . La topología de extensión co-contable es la topología más pequeña generada por ${\mathcal {T}}_{1}\cup {\mathcal {T}}_{2}$ . ^{[ 3 ]}

Prueba de que la topología co-contable es una topología

Por definición, el conjunto vacío $\varnothing$ es un elemento de ${\mathcal {T}}$ . De manera similar, todo el conjunto $X\in {\mathcal {T}}$ , puesto que el complemento de $X$ En relación consigo mismo, el conjunto vacío es trivialmente numerable.

Suponer $A,B\in {\mathcal {T}}$ . Dejar $H=A\cap B$ . Entonces

$X\setminus H=X\setminus (A\cap B)=(X\setminus A)\cup (X\setminus B)$

por las leyes de De Morgan . Desde $A,B\in {\mathcal {T}}$ De ello se deduce que $X\setminus A$ y $X\setminus B$ ambos son contables. Debido a que la unión contable de conjuntos contables es contable, $X\setminus H$ también es contable. Por lo tanto, $H=A\cap B\in {\mathcal {T}}$ , ya que su complemento es contable.

Ahora dejemos ${\mathcal {U}}\subseteq {\mathcal {T}}$ . Entonces

$X\setminus \left(\bigcup {\mathcal {U}}\right)=\bigcap _{U\in {\mathcal {U}}}(X\setminus U)$

Nuevamente, según las leyes de De Morgan. Para cada $U\in {\mathcal {U}}$ , $X\setminus U$ es contable. La intersección contable de conjuntos contables también es contable (suponiendo ${\mathcal {U}}$ es contable), por lo tanto $S\setminus \left(\bigcup {\mathcal {U}}\right)$ es contable. Por lo tanto, $\bigcup {\mathcal {U}}\in {\mathcal {T}}$ .

Dado que se cumplen los tres axiomas de conjuntos abiertos , ${\mathcal {T}}$ es una topología en $X$ . ^{[ 4 ]}

Propiedades

Cada conjunto $X$ con la topología cocontable es Lindelöf , ya que todo conjunto abierto no vacío omite solo una cantidad numerable de puntos de $X$ . También es T ₁ , ya que todos los conjuntos unitarios son cerrados.

Si $X$ es un conjunto no numerable, entonces dos conjuntos abiertos no vacíos cualesquiera se intersecan , por lo tanto, el espacio no es Hausdorff . Sin embargo, en la topología cocontable todas las sucesiones convergentes son eventualmente constantes, por lo que los límites son únicos. Dado que los conjuntos compactos en $X$ son subconjuntos finitos, todos los subconjuntos compactos son cerrados, otra condición generalmente relacionada con el axioma de separación de Hausdorff.

La topología cocontable en un conjunto numerable es la topología discreta . La topología cocontable en un conjunto no numerable es hiperconexa , por lo tanto conexa , localmente conexa y pseudocompacta , pero no débilmente numerablemente compacta ni numerablemente metacompacta , por lo tanto no compacta.

Ejemplos

Conjunto no numerable: En cualquier conjunto no numerable, como los números reales $\mathbb {R}$ , la topología co-contable es un subconjunto propio de la topología estándar . En este caso, la topología es T ₁ pero no Hausdorff, ni primeramente contable, ni metrizable .

Conjunto numerable (posiblemente finito): Si $X$ es contable, entonces cada subconjunto de $X$ tiene un complemento numerable. En este caso, la topología cocontable es simplemente la topología discreta .

Topología de subespacio: Si $Y\subsetequ X$ y $X$ lleva la topología co-contable, entonces $Y$ hereda la topología del subespacio . Esta topología en $Y$ consiste en el conjunto vacío, todo de $Y$ y todos los subconjuntos $U\subsetequ Y$ de tal manera que $Y\setminus U$ es contable.

Véase también

Referencias

↑ Munkres, James Raymond (2000). Topología (2.ª ed.). Upper Saddle River (NJ): Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
↑ Steen, Lynn Arthur; Seebach, Jr., J. Arthur (1978). "2". Contraejemplos en topología (2.ª ed.). Nueva York, NY: Springer New York. pág. 50. ISBN 978-1-4612-6290-9.
↑ Steen, Lynn Arthur; Seebach, Jr., J. Arthur (1978). "2". Contraejemplos en topología (2.ª ed.). Nueva York, NY: Springer New York. pág. 85. ISBN 978-1-4612-6290-9.
↑ Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur (1978). "20". Contraejemplos en topología (2.ª ed.). Nueva York, NY: Springer New York. ISBN 978-0-387-90312-5.

[Munkres-1] Munkres, James Raymond (2000). Topología (2.ª ed.). Upper Saddle River (NJ): Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.

[2] Steen, Lynn Arthur; Seebach, Jr., J. Arthur (1978). "2". Contraejemplos en topología (2.ª ed.). Nueva York, NY: Springer New York. pág. 50. ISBN 978-1-4612-6290-9.

[3] Steen, Lynn Arthur; Seebach, Jr., J. Arthur (1978). "2". Contraejemplos en topología (2.ª ed.). Nueva York, NY: Springer New York. pág. 85. ISBN 978-1-4612-6290-9.

[4] Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur (1978). "20". Contraejemplos en topología (2.ª ed.). Nueva York, NY: Springer New York. ISBN 978-0-387-90312-5.

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