Axioma de elección contable

Como ejemplo de una aplicación de AC _ω , aquí hay una demostración (de ZF  +  AC _ω ) de que todo conjunto infinito es Dedekind-infinito : ^{[ 2 ]}

Dejar${\displaystyle X}$ser infinito. Para cada número natural${\displaystyle n}$, dejar${\displaystyle A_{n}}$ser el conjunto de todos${\displaystyle n}$-tuplas de elementos distintos de${\displaystyle X}$. Desde${\displaystyle X}$es infinito, cada uno${\displaystyle A_{n}}$no es vacío. La aplicación de AC _ω produce una secuencia${\displaystyle (B_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$donde cada${\displaystyle B_{n}}$es un${\displaystyle n}$-tupla. Luego se pueden concatenar estas tuplas en una sola secuencia.${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$de elementos de${\displaystyle X}$, posiblemente con elementos repetidos. Suprimir las repeticiones produce una secuencia${\displaystyle (c_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$de elementos distintos, donde

${\displaystyle c_{n}=b_{k}}$, con${\displaystyle k=\min\{i\mid \forall _{j<n}b_{i}\neq c_{j}\}}$.

Este${\displaystyle i}$existe, porque al seleccionar${\displaystyle c_{n}}$no es posible para todos los elementos de${\displaystyle B_{n+1}}$estar entre los${\displaystyle n}$elementos seleccionados previamente. Así que${\displaystyle X}$contiene un conjunto contable. La función que asigna cada${\displaystyle c_{n}}$a${\displaystyle c_{n+1}}$(y deja todos los demás elementos de${\displaystyle X}$fijo) es un mapa uno a uno de${\displaystyle X}$en${\displaystyle X}$lo cual no es correcto, demostrando que${\displaystyle X}$es Dedekind-infinito. ^{[ 2 ]}

El axioma de elección contable (AC _ω ) es estrictamente más débil que el axioma de elección dependiente (DC), ^{[ 3 ]} que a su vez es más débil que el axioma de elección (AC). DC, y por lo tanto también AC _ω , se cumplen en el modelo de Solovay , construido en 1970 por Robert M. Solovay como un modelo de teoría de conjuntos sin el axioma de elección completo, en el que todos los conjuntos de números reales son medibles. ^{[ 4 ]}

El lema de Urysohn (UL) y el teorema de extensión de Tietze (TET) son independientes de ZF+AC _ω : existen modelos de ZF+AC _ω en los que UL y TET son verdaderos, y modelos en los que son falsos. Tanto UL como TET están implícitos en DC. ^{[ 5 ]}

Paul Cohen demostró que AC _ω no es demostrable en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) sin el axioma de elección. ^{[ 6 ]} Sin embargo, se puede demostrar que algunos conjuntos infinitos numerables de conjuntos no vacíos tienen una función de elección en ZF sin ninguna forma del axioma de elección. Por ejemplo,${\displaystyle V_{\omega }\setminus \{\emptyset \}}$tiene una función de elección, donde ${\displaystyle V_{\omega }}$es el conjunto de conjuntos hereditariamente finitos , es decir, el primer conjunto de rango no finito en el universo de Von Neumann . La función de elección es: { ⟨ W _n , W _k ⟩  : k < n < ω ∧ W _k ∈ W _n ∧ ∀ j < k ( W _j ∉ W _n ) } donde W _n = { W _k  : k < n ∧ ( n mod 2 ^{k +1} ) ≥ 2 ^k } para n < ω . W enumera cada conjunto hereditariamente finito exactamente una vez y se basa en el numeral binario para n que tiene un 1 en cada lugar correspondiente a un k con W _k ∈ W _n . Otro ejemplo es el conjunto de intervalos abiertos propios y acotados de números reales con extremos racionales.

ZF+AC _ω es suficiente para demostrar que la unión de una cantidad numerable de conjuntos numerables es numerable. Estas afirmaciones no son equivalentes: el Primer Modelo de Cohen proporciona un ejemplo donde las uniones numerables de conjuntos numerables son numerables, pero donde AC _ω no se cumple. ^{[ 7 ]}

Hay muchas formas equivalentes al axioma de elección numerable, en el sentido de que cualquiera de ellas puede demostrarse en ZF asumiendo cualquier otra. Incluyen las siguientes: ^{[ 8 ] [ 9 ]}

• Toda colección numerable de conjuntos no vacíos tiene una función de elección. ^{[ 8 ]}
• Toda colección infinita de conjuntos no vacíos tiene una subcolección infinita con una función de elección. ^{[ 8 ]}
• Todo espacio σ-compacto (la unión de una cantidad numerable de espacios compactos ) es un espacio de Lindelöf (toda cubierta abierta tiene una subcubierta numerable). ^{[ 8 ]} Un espacio métrico es σ-compacto si y solo si es de Lindelöf. ^{[ 9 ]}
• Todo espacio segundo-contable (tiene una base contable de conjuntos abiertos) es un espacio separable (tiene un subconjunto denso contable). ^{[ 8 ]} Un espacio métrico es separable si y solo si es σ-compacto. ^{[ 9 ]}
• Toda función de valor real secuencialmente continua en un espacio métrico es una función continua . ^{[ 8 ]}
• Cada punto de acumulación de un subconjunto de un espacio métrico es un límite de una secuencia de puntos del subconjunto. ^{[ 9 ]}
• El lema de Rasiowa-Sikorski MA${\displaystyle (\aleph _{0})}$, una forma contable del axioma de Martin : en un preorden con la condición de cadena contable , toda familia contable de subconjuntos densos tiene un filtro que interseca todos los subconjuntos. (En este contexto, un conjunto se llama denso si cada elemento del preorden tiene una cota inferior en el conjunto). ^{[ 8 ]}