Espacio interior del producto

En las siguientes propiedades, que resultan casi inmediatamente de la definición de un producto interno, x , y y z son vectores arbitrarios, y a y b son escalares arbitrarios.

• ${\displaystyle \langle \mathbf {0} ,x\rangle =\langle x,\mathbf {0} \rangle =0.}$^{[ Nota 3 ]}
• ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$es real y no negativo. ^{[ Nota 4 ]}
• ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0}$si y solo si${\displaystyle x=\mathbf {0} .}$^{[ Nota 5 ]}
• ${\displaystyle \langle x,ay+bz\rangle ={\overline {a}}\langle x,y\rangle +{\overline {b}}\langle x,z\rangle }$, es decir, linealidad conjugada (para el segundo argumento). Esto implica que un producto interno es una forma sesquilineal .
• ${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\operatorname {Re} (\langle x,y\rangle )+\langle y,y\rangle ,}$dónde${\displaystyle \operatorname {Re} }$denota la parte real de su argumento.

Encima${\displaystyle \mathbb {R} }$La simetría conjugada se reduce a simetría, y la sesquilinealidad se reduce a bilinealidad . Por lo tanto, un producto interno en un espacio vectorial real es una forma bilineal simétrica definida positiva . La expansión binomial de un cuadrado se convierte en $${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle .}$$

Se utilizan varias notaciones para productos internos, incluyendo: ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$, ${\displaystyle \left(\cdot ,\cdot \right)}$, ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$y ${\displaystyle \left(\cdot |\cdot \right)}$, así como el producto escalar habitual.

Algunos autores, especialmente en física y álgebra matricial , prefieren definir productos internos y formas sesquilineales con linealidad en el segundo argumento en lugar del primero. Entonces el primer argumento se convierte en lineal conjugado, en lugar del segundo. La notación bra-ket en mecánica cuántica también utiliza una notación ligeramente diferente, es decir${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$, dónde${\displaystyle \langle x|y\rangle$ :=\left(y,x\right)} .

Entre los ejemplos más sencillos de espacios de producto interno se encuentran:${\displaystyle \mathbb {R} }$y${\displaystyle \mathbb {C} .}$ Las cifras reales${\displaystyle \mathbb {R} }$son un espacio vectorial sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$que se convierte en un espacio de producto interno con la multiplicación aritmética como su producto interno: $${\displaystyle \langle x,y\rangle$$ :=xy\quad {\text{ para }}x,y\in \mathbb {R} .}

Los números complejos${\displaystyle \mathbb {C} }$son un espacio vectorial sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$que se convierte en un espacio de producto interno con el producto interno $${\displaystyle \langle x,y\rangle$$ :=x{\overline {y}}\quad {\text{ para }}x,y\in \mathbb {C} .} A diferencia de los números reales, la asignación${\displaystyle (x,y)\mapsto xy}$no define un producto interno complejo en${\displaystyle \mathbb {C} .}$

En términos más generales, el real${\displaystyle n}$-espacio${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$con el producto escalar es un espacio de producto interno, un ejemplo de un espacio vectorial euclidiano . $${\displaystyle \left\langle {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}\right\rangle =x^{\operatorname {T} }y=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n},}$$ dónde${\displaystyle x^{\operatorname {T} }}$es la transpuesta de${\displaystyle x.}$

Una función${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle$ :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } es un producto interno en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$si y solo si existe una matriz simétrica definida positiva${\displaystyle \mathbf {M} }$de tal manera que${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y}$a pesar de${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}$Si${\displaystyle \mathbf {M} }$entonces es la matriz identidad${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y}$es el producto escalar. Por otro ejemplo, si${\displaystyle n=2}$y${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}}$es definida positiva (lo cual sucede si y solo si${\displaystyle \det \mathbf {M} =ad-b^{2}>0}$y uno/ambos elementos diagonales son positivos) entonces para cualquier${\displaystyle x:=\left[x_{1},x_{2}\right]^{\operatorname {T} },y:=\left[y_{1},y_{2}\right]^{\operatorname {T} }\in \mathbb {R} ^{2},}$$${\displaystyle \langle x,y\rangle$$ :=x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y=\left[x_{1},x_{2}\right]{\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}=ax_{1}y_{1}+bx_{1}y_{2}+bx_{2}y_{1}+dx_{2}y_{2}.} Como se mencionó anteriormente, cada producto interno en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$es de esta forma (donde${\displaystyle b\in \mathbb {R} ,a>0}$y${\displaystyle d>0}$satisfacer${\displaystyle ad>b^{2}}$).

La forma general de un producto interno en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$se conoce como la forma hermitiana y se da por $${\displaystyle \langle x,y\rangle =y^{\dagger }\mathbf {M} x={\overline {x^{\dagger }\mathbf {M} y}},}$$ dónde${\displaystyle M}$es cualquier matriz hermitiana definida positiva y${\displaystyle y^{\dagger }}$es la transpuesta conjugada de${\displaystyle y.}$En el caso real, esto corresponde al producto escalar de los resultados del escalado con direcciones diferentes de los dos vectores, con factores de escala positivos y direcciones de escalado ortogonales. Se trata de una versión de suma ponderada del producto escalar con pesos positivos, salvo una transformación ortogonal.

El artículo sobre espacios de Hilbert tiene varios ejemplos de espacios con producto interno, donde la métrica inducida por el producto interno produce un espacio métrico completo . Un ejemplo de un espacio con producto interno que induce una métrica incompleta es el espacio${\displaystyle C([a,b])}$de funciones de valor complejo continuas${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$en el intervalo${\displaystyle [a,b].}$El producto interno es $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} t.}$$ Este espacio no está completo; considérese, por ejemplo, para el intervalo [ −1, 1 ] la secuencia de funciones "escalonadas" continuas,${\displaystyle \{f_{k}\}_{k},}$definido por: $${\displaystyle f_{k}(t)={\begin{cases}0&t\in [-1,0]\\1&t\in \left[{\tfrac {1}{k}},1\right]\\kt&t\in \left(0,{\tfrac {1}{k}}\right)\end{cases}}}$$

Esta secuencia es una secuencia de Cauchy para la norma inducida por el producto interno precedente, que no converge a una función continua .

Para variables aleatorias reales${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y,}$el valor esperado de su producto $${\displaystyle \langle X,Y\rangle =\mathbb {E} [XY]}$$ es un producto interno. ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} En este caso,${\displaystyle \langle X,X\rangle =0}$si y solo si${\displaystyle \mathbb {P} [X=0]=1}$(eso es,${\displaystyle X=0}$casi con seguridad ), donde${\displaystyle \mathbb {P} }$denota la probabilidad del evento. Esta definición de esperanza matemática como producto escalar también puede extenderse a vectores aleatorios .

El producto interno para matrices cuadradas complejas del mismo tamaño es el producto interno de Frobenius.${\displaystyle \langle A,B\rangle$ :=\operatorname {tr} \left(AB^{\dagger }\right)} . Dado que la traza y la transposición son lineales y la conjugación está en la segunda matriz, es un operador sesquilineal. Además, obtenemos la simetría hermitiana mediante, $${\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} \left(AB^{\dagger }\right)={\overline {\operatorname {tr} \left(BA^{\dagger }\right)}}={\overline {\left\langle B,A\right\rangle }}}$$ Finalmente, puesto que para${\displaystyle A}$distinto de cero,${\displaystyle \langle A,A\rangle =\sum _{ij}\left|A_{ij}\right|^{2}>0}$, obtenemos que el producto interno de Frobenius también es definido positivo, y por lo tanto, también lo es un producto interno.

En un espacio con producto interno, o más generalmente un espacio vectorial con una forma no degenerada (por lo tanto, un isomorfismo)${\displaystyle V\to V^{*}}$), los vectores se pueden enviar a covectores (en coordenadas, mediante transposición), de modo que se puede tomar el producto interno y el producto externo de dos vectores, no simplemente de un vector y un covector.

Cada espacio de producto interno induce una norma , llamada sunorma canónica , que se define por $${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$$ Con esta norma, todo espacio con producto interno se convierte en un espacio vectorial normado .

Así pues, todas las propiedades generales de los espacios vectoriales normados se aplican a los espacios con producto interno. En particular, se tienen las siguientes propiedades:

Homogeneidad absoluta

$${\displaystyle \|ax\|=|a|\,\|x\|}$$ por cada${\displaystyle x\in V}$y${\displaystyle a\in F}$ (esto resulta de${\displaystyle \langle ax,ax\rangle =a{\overline {a}}\langle x,x\rangle }$).

Desigualdad triangular

$${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$$ para${\displaystyle x,y\in V.}$ Estas dos propiedades demuestran que, efectivamente, existe una norma.

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

$${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\,\|y\|}$$ por cada${\displaystyle x,y\in V,}$ con igualdad si y solo si${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son linealmente dependientes .

Ley del paralelogramo

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}}$$ por cada${\displaystyle x,y\in V.}$ La ley del paralelogramo es una condición necesaria y suficiente para que una norma se defina mediante un producto interno.

Identidad de polarización

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle }$$ por cada${\displaystyle x,y\in V.}$ El producto interno se puede recuperar de la norma mediante la identidad de polarización, ya que su parte imaginaria es la parte real de${\displaystyle \langle x,iy\rangle .}$

La desigualdad de Ptolomeo

$${\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|}$$ por cada${\displaystyle x,y,z\in V.}$ La desigualdad de Ptolomeo es una condición necesaria y suficiente para que una seminorma sea la norma definida por un producto interno. ^{[ 11 ]}

Ortogonalidad

Dos vectores${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$se dice queortogonal , a menudo escrito${\displaystyle x\perp y,}$si su producto interno es cero, es decir, si${\displaystyle \langle x,y\rangle =0.}$ Esto sucede si y solo si${\displaystyle \|x\|\leq \|x+sy\|}$para todos los escalares${\displaystyle s,}$^{[ 12 ]} y si y solo si la función de valor real${\displaystyle f(s):=\|x+sy\|^{2}-\|x\|^{2}}$es no negativo. (Esto es consecuencia del hecho de que, si${\displaystyle y\neq 0}$luego el escalar${\displaystyle s_{0}=-{\tfrac {\overline {\langle x,y\rangle }}{\|y\|^{2}}}}$minimiza${\displaystyle f}$con valor${\displaystyle f\left(s_{0}\right)=-{\tfrac {|\langle x,y\rangle |^{2}}{\|y\|^{2}}},}$que siempre es no positivo). Para un espacio de producto interno complejo${\displaystyle H,}$un operador lineal${\displaystyle T:V\to V}$es idénticamente${\displaystyle 0}$si y solo si${\displaystyle x\perp Tx}$por cada${\displaystyle x\in V.}$^{[ 12 ]} Esto no es cierto en general para espacios con producto interno real, ya que es una consecuencia de que la simetría conjugada es distinta de la simetría para productos internos complejos. Un contraejemplo en un espacio con producto interno real es${\displaystyle T}$una rotación de 90° en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, que asigna a cada vector un vector ortogonal pero no es idénticamente${\displaystyle 0}$.

Complemento ortogonal

El complemento ortogonal de un subconjunto${\displaystyle C\subseteq V}$es el conjunto${\displaystyle C^{\bot }}$de los vectores que son ortogonales a todos los elementos de C ; es decir, $${\displaystyle C^{\bot }:=\{\,y\in V:\langle y,c\rangle =0{\text{ for all }}c\in C\,\}.}$$ Este conjunto${\displaystyle C^{\bot }}$es siempre un subespacio vectorial cerrado de${\displaystyle V}$y si el cierre${\displaystyle \operatorname {cl} _{V}C}$de${\displaystyle C}$en${\displaystyle V}$es un subespacio vectorial entonces${\displaystyle \operatorname {cl} _{V}C=\left(C^{\bot }\right)^{\bot }.}$

Teorema de Pitágoras

Si${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son ortogonales, entonces $${\displaystyle \|x\|^{2}+\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}.}$$ Esto se puede demostrar expresando las normas al cuadrado en términos de productos internos, utilizando la aditividad para desarrollar el lado derecho de la ecuación. El nombre de teorema de Pitágoras proviene de la interpretación geométrica en la geometría euclidiana .

La identidad de Parseval

Una inducción sobre el teorema de Pitágoras produce: si${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$son ortogonales por pares, entonces $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|^{2}.}$$

Ángulo

Cuando${\displaystyle \langle x,y\rangle }$Si es un número real, entonces la desigualdad de Cauchy-Schwarz implica que${\textstyle {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}}\in [-1,1],}$y por lo tanto que $${\displaystyle \angle (x,y)=\arccos {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}},}$$ es un número real. Esto permite definir el ángulo (no orientado) de dos vectores en las definiciones modernas de geometría euclidiana en términos de álgebra lineal . Esto también se utiliza en el análisis de datos , bajo el nombre de " similitud del coseno ", para comparar dos vectores de datos. Además, si${\displaystyle \langle x,y\rangle }$es negativo, el ángulo${\displaystyle \angle (x,y)}$es mayor que 90 grados. Esta propiedad se usa a menudo en gráficos por computadora (por ejemplo, en el descarte de caras posteriores ) para analizar una dirección sin tener que evaluar funciones trigonométricas .

Supongamos que${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$es un producto interno en${\displaystyle V}$(por lo tanto, es antilineal en su segundo argumento). La identidad de polarización muestra que la parte real del producto interno es $${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).}$$

Si${\displaystyle V}$entonces es un espacio vectorial real $${\displaystyle \langle x,y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)}$$ y la parte imaginaria (también llamada parte compleja ) de${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$siempre es${\displaystyle 0.}$

Supongamos para el resto de esta sección que${\displaystyle V}$es un espacio vectorial complejo. La identidad de polarización para espacios vectoriales complejos muestra que $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,\ y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle +i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$$

El mapa definido por${\displaystyle \langle x\mid y\rangle =\langle y,x\rangle }$a pesar de${\displaystyle x,y\in V}$satisface los axiomas del producto interno excepto que es antilineal en su primer argumento, en lugar de en el segundo. La parte real de ambos${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$y${\displaystyle \langle x,y\rangle }$son iguales a${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle }$pero los productos internos difieren en su parte compleja: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x\mid y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle -i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$$

La última igualdad es similar a la fórmula que expresa un funcional lineal en términos de su parte real.

Estas fórmulas muestran que todo producto interno complejo está completamente determinado por su parte real. Además, esta parte real define un producto interno en${\displaystyle V,}$considerado como un espacio vectorial real. Por lo tanto, existe una correspondencia biunívoca entre productos internos complejos en un espacio vectorial complejo.${\displaystyle V,}$y productos internos reales en${\displaystyle V.}$

Por ejemplo, supongamos que${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$para algún número entero${\displaystyle n>0.}$Cuando${\displaystyle V}$se considera como un espacio vectorial real de la forma habitual (lo que significa que se identifica con el${\displaystyle 2n-}$espacio vectorial real dimensional${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n},}$con cada${\displaystyle \left(a_{1}+ib_{1},\ldots ,a_{n}+ib_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}}$identificado con${\displaystyle \left(a_{1},b_{1},\ldots ,a_{n},b_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{2n}}$), luego el producto escalar${\displaystyle x\,\cdot \,y=\left(x_{1},\ldots ,x_{2n}\right)\,\cdot \,\left(y_{1},\ldots ,y_{2n}\right):=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{2n}y_{2n}}$define un producto interno real en este espacio. El producto interno complejo único${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$en${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$inducido por el producto escalar es el mapa que envía${\displaystyle c=\left(c_{1},\ldots ,c_{n}\right),d=\left(d_{1},\ldots ,d_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}}$a${\displaystyle \langle c,d\rangle$ :=c_{1}{\overline {d_{1}}}+\cdots +c_{n}{\overline {d_{n}}}} (porque la parte real de este mapa${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$es igual al producto escalar).

Si${\displaystyle V}$es un espacio vectorial y${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$una forma sesquilineal semidefinida, entonces la función: $${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$$ tiene sentido y satisface todas las propiedades de la norma excepto que${\displaystyle \|x\|=0}$no implica${\displaystyle x=0}$(dicha funcional se denomina entonces seminorma ). Podemos generar un espacio de producto interno considerando el cociente.${\displaystyle W=V/\{x:\|x\|=0\}.}$La forma sesquilineal${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$factores a través de${\displaystyle W.}$

Esta construcción se utiliza en numerosos contextos. La construcción de Gelfand-Naimark-Segal es un ejemplo particularmente importante del uso de esta técnica. Otro ejemplo es la representación de núcleos semidefinidos en conjuntos arbitrarios.

Alternativamente, se puede requerir que el emparejamiento sea una forma no degenerada , lo que significa que para todo distinto de cero${\displaystyle x\neq 0}$existe algo${\displaystyle y}$de tal manera que${\displaystyle \langle x,y\rangle \neq 0,}$aunque${\displaystyle y}$no tiene por qué ser igual${\displaystyle x}$; en otras palabras, el mapa inducido al espacio dual${\displaystyle V\to V^{*}}$es inyectivo. Esta generalización es importante en geometría diferencial : una variedad cuyos espacios tangentes tienen un producto interno es una variedad riemanniana , mientras que si esto está relacionado con la forma simétrica conjugada no degenerada, la variedad es una variedad pseudoriemanniana . Por la ley de inercia de Sylvester , así como todo producto interno es similar al producto escalar con pesos positivos en un conjunto de vectores, toda forma simétrica conjugada no degenerada es similar al producto escalar con pesos no nulos en un conjunto de vectores, y el número de pesos positivos y negativos se denominan respectivamente índice positivo e índice negativo. El producto de vectores en el espacio de Minkowski es un ejemplo de producto interno indefinido, aunque, técnicamente hablando, no es un producto interno según la definición estándar anterior. El espacio de Minkowski tiene cuatro dimensiones e índices 3 y 1 (la asignación de "+" y "−" a ellos difiere según las convenciones ).

Las afirmaciones puramente algebraicas (aquellas que no utilizan la positividad) generalmente solo se basan en la no degeneración (el homomorfismo inyectivo)${\displaystyle V\to V^{*}}$) y, por lo tanto, se cumplen de forma más general.