Espacio energético

En matemáticas , más precisamente en análisis funcional , un espacio energético es, intuitivamente, un subespacio de un espacio de Hilbert real dado , dotado de un nuevo producto interno "energético" . El origen de este nombre proviene de la física , ya que en muchos problemas físicos la energía de un sistema puede expresarse en términos del producto interno energético.

Formalmente, consideremos un espacio de Hilbert real.${\displaystyle X}$con el producto interior${\displaystyle (\cdot |\cdot )}$y la norma${\displaystyle \|\cdot \|}$. Dejar${\displaystyle Y}$sea ​​un subespacio lineal de${\displaystyle X}$y${\displaystyle B:Y\to X}$sea ​​un operador lineal simétrico fuertemente monótono , es decir, un operador lineal que satisfaga

• ${\displaystyle (Bu|v)=(u|Bv)\,}$a pesar de${\displaystyle u,v}$en${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle (Bu|u)\geq c\|u\|^{2}}$por alguna constante${\displaystyle c>0}$y todo${\displaystyle u}$en${\displaystyle Y.}$

El producto interno energético se define como

${\displaystyle (u|v)_{E}=(Bu|v)\,}$a pesar de${\displaystyle u,v}$en${\displaystyle Y}$

y la norma energéticaes

${\displaystyle \|u\|_{E}=(u|u)_{E}^{\frac {1}{2}}\,}$a pesar de${\displaystyle u}$en${\displaystyle Y.}$

El conjunto${\displaystyle Y}$junto con el producto interno energético es un espacio pre-Hilbert . El espacio energético${\displaystyle X_{E}}$se define como la finalización de${\displaystyle Y}$en la norma energética.${\displaystyle X_{E}}$puede considerarse un subconjunto del espacio de Hilbert original${\displaystyle X,}$puesto que cualquier secuencia de Cauchy en la norma energética también es de Cauchy en la norma de${\displaystyle X}$(esto se deduce de la fuerte propiedad de monotonicidad de${\displaystyle B}$).

El producto interno energético se extiende desde${\displaystyle Y}$a${\displaystyle X_{E}}$por

${\displaystyle (u|v)_{E}=\lim _{n\to \infty }(u_{n}|v_{n})_{E}}$

dónde${\displaystyle (u_{n})}$y${\displaystyle (v_{n})}$son secuencias en Y que convergen a puntos en${\displaystyle X_{E}}$en la norma energética.

El operador${\displaystyle B}$admite una extensión enérgica${\displaystyle B_{E}}$

${\displaystyle B_{E}:X_{E}\to X_{E}^{*}}$

definido en${\displaystyle X_{E}}$con valores en el espacio dual${\displaystyle X_{E}^{*}}$que viene dado por la fórmula

${\displaystyle \langle B_{E}u|v\rangle _{E}=(u|v)_{E}}$a pesar de${\displaystyle u,v}$en${\displaystyle X_{E}.}$

Aquí,${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle _ {E}}$denota el corchete de dualidad entre${\displaystyle X_{E}^{*}}$y${\displaystyle X_{E},}$entonces${\displaystyle \langle B_ {E}u|v\rangle _ {E}}$en realidad denota ${\displaystyle (B_{E}u)(v).}$

Si${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$son elementos en el subespacio original${\displaystyle Y,}$entonces

${\displaystyle \langle B_{E}u|v\rangle _{E}=(u|v)_{E}=(Bu|v)=\langle u|B|v\rangle }$

por la definición del producto interno energético. Si uno observa${\displaystyle Bu,}$que es un elemento en${\displaystyle X,}$como elemento en el dual${\displaystyle X^{*}}$mediante el teorema de representación de Riesz , entonces${\displaystyle Bu}$también estará en el doble${\displaystyle X_{E}^{*}}$(por la fuerte propiedad de monotonicidad de${\displaystyle B}$). Mediante estas identificaciones, se deduce de la fórmula anterior que${\displaystyle B_{E}u=Bu.}$En otras palabras, el operador original${\displaystyle B:Y\to X}$puede ser visto como un operador${\displaystyle B:Y\to X_{E}^{*},}$y luego${\displaystyle B_{E}:X_{E}\to X_{E}^{*}}$es simplemente la extensión de la función de${\displaystyle B}$de${\displaystyle Y}$a${\displaystyle X_{E}.}$

Consideremos una cadena cuyos extremos están fijos en dos puntos.${\displaystyle a<b}$en la línea real (aquí vista como una línea horizontal). Sea la densidad de fuerza exterior vertical en cada punto${\displaystyle x}$${\displaystyle (a\leq x\leq b)}$en la cuerda ser${\displaystyle f(x)\mathbf {e}}$, dónde ${\displaystyle \mathbf {e} }$es un vector unitario que apunta verticalmente y${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} .}$Dejar${\displaystyle u(x)}$sea ​​la desviación de la cuerda en el punto${\displaystyle x}$bajo la influencia de la fuerza. Suponiendo que la deflexión es pequeña, la energía elástica de la cuerda es

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx}$

y la energía potencial total de la cuerda es

${\displaystyle F(u)={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx-\int _{a}^{b}\!u(x)f(x)\,dx.}$

La desviación${\displaystyle u(x)}$Minimizar la energía potencial satisfará la ecuación diferencial.

${\displaystyle -u''=f\,}$

con condiciones de contorno

${\displaystyle u(a)=u(b)=0.\,}$

Para estudiar esta ecuación, considere el espacio${\displaystyle X=L^{2}(a,b),}$es decir, el espacio Lp de todas las funciones de cuadrado integrable${\displaystyle u:[a,b]\to \mathbb {R} }$con respecto a la medida de Lebesgue . Este espacio es de Hilbert con respecto al producto interno.

${\displaystyle (u|v)=\int _{a}^{b}\!u(x)v(x)\,dx,}$

con la norma dada por

${\displaystyle \|u\|={\sqrt {(u|u)}}.}$

Dejar${\displaystyle Y}$sea ​​el conjunto de todas las funciones localmente integrables (${\displaystyle {\text{L}}_{\text{loc}}^{1}}$) en${\displaystyle [a,b]}$que son dos veces continuamente diferenciables de${\displaystyle u:[a,b]\to \mathbb {R} }$, con las condiciones de contorno${\displaystyle u(a)=u(b)=0.}$Entonces${\displaystyle Y}$es un subespacio lineal de${\displaystyle X.}$

Consideremos al operador${\displaystyle B:Y\to X}$dado por la fórmula

${\displaystyle Bu=-u'',\,}$

por lo tanto la desviación satisface la ecuación${\displaystyle Bu=f.}$Utilizando la integración por partes y las condiciones de contorno, se puede observar que

${\displaystyle (Bu|v)=-\int _{a}^{b}\!u''(x)v(x)\,dx=\int _{a}^{b}u'(x)v'(x)=(u|Bv)}$

para cualquier${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$en${\displaystyle Y.}$Por lo tanto,${\displaystyle B}$es un operador lineal simétrico.

${\displaystyle B}$También es fuertemente monótono, ya que, por la desigualdad de Friedrichs

${\displaystyle \|u\|^{2}=\int _{a}^{b}u^{2}(x)\,dx\leq C\int _{a}^{b}u'(x)^{2}\,dx=C\,(Bu|u)}$

para algunos${\displaystyle C>0.}$

El espacio energético con respecto al operador${\displaystyle B}$es entonces el espacio de Sobolev${\displaystyle H_{0}^{1}(a,b).}$Vemos que la energía elástica de la cuerda que motivó este estudio es

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx={\frac {1}{2}}(u|u)_{E},}$

por lo tanto es la mitad del producto interno energético de${\displaystyle u}$consigo mismo.

Para calcular la deflexión${\displaystyle u}$minimizando la energía potencial total${\displaystyle F(u)}$de la cadena, se escribe este problema en la forma

${\displaystyle (u|v)_{E}=(f|v)\,}$a pesar de${\displaystyle v}$en${\displaystyle X_{E}}$.

A continuación, uno suele aproximarse${\displaystyle u}$por algunos${\displaystyle u_{h}}$, una función en un subespacio de dimensión finita del espacio de soluciones verdadero. Por ejemplo, se podría dejar${\displaystyle u_{h}}$sea ​​una función lineal continua por partes en el espacio energético, lo que da lugar al método de elementos finitos . La aproximación${\displaystyle u_{h}}$se puede calcular resolviendo un sistema de ecuaciones lineales .

La norma energética resulta ser la norma natural en la que medir el error entre ${\displaystyle u}$y${\displaystyle u_{h}}$, véase el lema de Céa .

• Espacio interior del producto
• núcleo definido positivo

• Zeidler, Eberhard (1995). Análisis funcional aplicado: aplicaciones a la física matemática . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94442-7.

• Johnson, Claes (1987). Solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales mediante el método de elementos finitos . Cambridge University Press. ISBN 0-521-34514-6.