Función absolutamente integrable

En matemáticas , una función absolutamente integrable es una función cuyo valor absoluto es integrable , lo que significa que la integral del valor absoluto sobre todo el dominio es finita.

Para una función de valor real , dado que$${\displaystyle \int |f(x)|\,dx=\int f^{+}(x)\,dx+\int f^{-}(x)\,dx}$$ dónde $${\displaystyle f^{+}(x)=\max(f(x),0),\ \ \ f^{-}(x)=\max(-f(x),0),}$$

ambos${\textstyle \int f^{+}(x)\,dx}$y${\textstyle \int f^{-}(x)\,dx}$debe ser finito. En la integración de Lebesgue , este es precisamente el requisito para que cualquier función medible f se considere integrable, siendo entonces la integral igual a${\textstyle \int f^{+}(x)\,dx-\int f^{-}(x)\,dx}$, de modo que, de hecho, "absolutamente integrable" significa lo mismo que "integrable según Lebesgue" para funciones medibles.

Lo mismo ocurre con una función de valores complejos . Definamos $${\displaystyle f^{+}(x)=\max(\Re f(x),0)}$$$${\displaystyle f^{-}(x)=\max(-\Re f(x),0)}$$$${\displaystyle f^{+i}(x)=\max(\Im f(x),0)}$$$${\displaystyle f^{-i}(x)=\max(-\Im f(x),0)}$$ dónde${\displaystyle \Re f(x)}$y${\displaystyle \Im f(x)}$son las partes reales e imaginarias de${\displaystyle f(x)}$. Entonces $${\displaystyle |f(x)|\leq f^{+}(x)+f^{-}(x)+f^{+i}(x)+f^{-i}(x)\leq {\sqrt {2}}\,|f(x)|}$$ entonces $${\displaystyle \int |f(x)|\,dx\leq \int f^{+}(x)\,dx+\int f^{-}(x)\,dx+\int f^{+i}(x)\,dx+\int f^{-i}(x)\,dx\leq {\sqrt {2}}\int |f(x)|\,dx}$$ Esto demuestra que la suma de las cuatro integrales (en el centro) es finita si y solo si la integral del valor absoluto es finita, y la función es integrable según Lebesgue solo si las cuatro integrales son finitas. Por lo tanto, tener una integral finita del valor absoluto equivale a cumplir las condiciones para que la función sea integrable según Lebesgue.

• "Función absolutamente integrable – Enciclopedia de Matemáticas" . Consultado el 9 de octubre de 2015 .

• Tao, Terence , Análisis 2 , 3.ª ed., Textos y lecturas en matemáticas, Hindustan Book Agency, Nueva Delhi.