Función medible

En matemáticas , y en particular en teoría de la medida , una función medible es una función entre los conjuntos subyacentes de dos espacios medibles que preserva la estructura de los espacios: la preimagen de cualquier conjunto medible es medible. Esto es análogo a la definición de que una función continua entre espacios topológicos preserva la estructura topológica: la preimagen de cualquier conjunto abierto es abierto. En análisis real , las funciones medibles se utilizan en la definición de la integral de Lebesgue . En teoría de la probabilidad , una función medible en un espacio de probabilidad se conoce como variable aleatoria .

Dejar${\displaystyle (X,\Sigma )}$y${\displaystyle (Y,\mathrm {T} )}$ser espacios medibles, lo que significa que${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son conjuntos equipados con sus respectivas σ-álgebras${\displaystyle \Sigma }$y${\displaystyle \mathrm {T} .}$ Una función${\displaystyle f:X\to Y}$Se dice que es medible si para cada${\displaystyle E\in \mathrm {T} }$la preimagen de${\displaystyle E}$bajo${\displaystyle f}$está en${\displaystyle \Sigma }$; es decir, para todos${\displaystyle E\in \mathrm {T} }$$${\displaystyle f^{-1}(E):=\{x\in X\mid f(x)\in E\}\in \Sigma .}$$

Eso es,${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \Sigma ,}$dónde${\displaystyle \sigma (f)}$es el σ-álgebra generada por f . Si${\displaystyle f:X\to Y}$es una función medible, escribe uno $${\displaystyle f\colon (X,\Sigma )\rightarrow (Y,\mathrm {T} ).}$$ para enfatizar la dependencia de la${\displaystyle \sigma }$-álgebras${\displaystyle \Sigma }$y${\displaystyle \mathrm {T} .}$

La elección de${\displaystyle \sigma }$-álgebras en la definición anterior a veces es implícito y se deja a criterio del contexto. Por ejemplo, para${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$Para otros espacios topológicos, el álgebra de Borel (generada por todos los conjuntos abiertos) es una opción común. Algunos autores definen las funciones medibles como exclusivamente funciones de valor real con respecto al álgebra de Borel. ^{[ 1 ]}

Si los valores de la función se encuentran en un espacio vectorial de dimensión infinita , existen otras definiciones no equivalentes de mensurabilidad, como la mensurabilidad débil y la mensurabilidad de Bochner .

• Las variables aleatorias son, por definición, funciones medibles definidas en espacios de probabilidad.
• Si${\displaystyle (X,\Sigma )}$y${\displaystyle (Y,T)}$son espacios de Borel , una función medible${\displaystyle f:(X,\Sigma )\to (Y,T)}$ También se denomina función de Borel . Las funciones continuas son funciones de Borel, pero no todas las funciones de Borel son continuas. Sin embargo, una función medible es casi una función continua; véase el teorema de Luzin . Si una función de Borel resulta ser una sección de una función de Borel,${\displaystyle Y\xrightarrow {~\pi ~} X,}$Se denomina sección de Borel .
• Una función medible de Lebesgue es una función medible.${\displaystyle f:(\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {C} ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }),}$dónde${\displaystyle {\mathcal {L}}}$es el${\displaystyle \sigma }$-álgebra de conjuntos medibles de Lebesgue, y${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }}$es el álgebra de Borel sobre los números complejos${\displaystyle \mathbb {C} .}$ Las funciones medibles de Lebesgue son de interés en el análisis matemático porque pueden integrarse. En el caso${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle f}$¿Es Lebesgue medible si y solo si?${\displaystyle \{f>\alpha \}=\{x\in X:f(x)>\alpha \}}$es medible para todos${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} .}$Esto también es equivalente a cualquiera de${\displaystyle \{f\geq \alpha \},\{f<\alpha \},\{f\leq \alpha \}}$ser medible para todos${\displaystyle \alpha ,}$o la preimagen de cualquier conjunto abierto que sea medible. Las funciones continuas, las funciones monótonas, las funciones escalonadas, las funciones semicontinuas, las funciones integrables de Riemann y las funciones de variación acotada son todas medibles de Lebesgue. ^{[ 2 ]} Una función${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$es medible si y solo si las partes real e imaginaria son medibles.

• La suma y el producto de dos funciones medibles de valor complejo son medibles. ^{[ 3 ]} También lo es el cociente, siempre que no haya división por cero. ^{[ 1 ]}
• Si${\displaystyle f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})}$y${\displaystyle g:(Y,\Sigma _{2})\to (Z,\Sigma _{3})}$ Si son funciones medibles, entonces también lo es su composición.${\displaystyle g\circ f:(X,\Sigma _{1})\to (Z,\Sigma _{3}).}$^{[ 1 ]}
• Si${\displaystyle f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})}$y${\displaystyle g:(Y,\Sigma _{3})\to (Z,\Sigma _{4})}$son funciones medibles, su composición${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$no tiene por qué ser${\displaystyle (\Sigma _{1},\Sigma _{4})}$-medible a menos que${\displaystyle \Sigma _{3}\subseteq \Sigma _{2}.}$De hecho, dos funciones medibles según Lebesgue pueden construirse de tal manera que su composición no sea medible según Lebesgue.
• El supremo , el ínfimo , el límite superior y el límite inferior (puntuales ) de una secuencia (es decir, numerable) de funciones medibles de valor real también son medibles. ^{[ 1 ] [ 4 ]}
• El límite puntual de una secuencia de funciones medibles${\displaystyle f_{n}:X\to Y}$es medible, donde${\displaystyle Y}$es un espacio métrico (dotado del álgebra de Borel). Esto no es cierto en general si${\displaystyle Y}$no es metrizable. La afirmación correspondiente para funciones continuas requiere condiciones más fuertes que la convergencia puntual, como la convergencia uniforme. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Las funciones de valor real que se encuentran en las aplicaciones suelen ser medibles; sin embargo, no es difícil demostrar la existencia de funciones no medibles. Dichas demostraciones se basan fundamentalmente en el axioma de elección , en el sentido de que la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, sin dicho axioma, no demuestra la existencia de tales funciones.

En cualquier medida espacio${\displaystyle (X,\Sigma )}$con un conjunto no mensurable${\displaystyle A\subset X,}$${\displaystyle A\notin \Sigma ,}$Se puede construir una función indicadora no mensurable : $${\displaystyle \mathbf {1} _{A}:(X,\Sigma )\to \mathbb {R} ,\quad \mathbf {1} _{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\in A\\0&{\text{ otherwise}},\end{cases}}}$$ dónde${\displaystyle \mathbb {R} }$está equipada con el álgebra de Borel habitual . Esta es una función no medible ya que la preimagen del conjunto medible${\displaystyle \{1\}}$es lo no mensurable${\displaystyle A.}$  

Como otro ejemplo, cualquier función no constante${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$no es mensurable con respecto a lo trivial${\displaystyle \sigma }$-álgebra${\displaystyle \Sigma =\{\varnothing ,X\},}$ya que la preimagen de cualquier punto en el rango es algún subconjunto propio y no vacío de${\displaystyle X,}$lo cual no es un elemento de lo trivial${\displaystyle \Sigma .}$

• función medible de Bochner
• Espacio de Bochner – Tipo de espacio topológico 
• Espacio Lp – Espacios de funciones que generalizan los espacios de norma p de dimensión finita - Espacios vectoriales de funciones medibles: el ${\displaystyle L^{p}}$espacios
• Sistema dinámico que conserva la medida : objeto de estudio en la teoría ergódica. 
• Medida vectorial : generalización de la medida finita a espacios de Banach. 
• Función débilmente medible

• Función medible en la Enciclopedia de Matemáticas
• Función de Borel en la Enciclopedia de Matemáticas