Solución débil

En matemáticas , una solución débil (también llamada solución generalizada ) de una ecuación diferencial ordinaria o parcial es una función cuyas derivadas pueden no existir todas, pero que, no obstante, se considera que satisface la ecuación en algún sentido precisamente definido. Existen muchas definiciones diferentes de solución débil, adecuadas para distintas clases de ecuaciones. Una de las más importantes se basa en la noción de distribuciones .

Evitando el lenguaje de las distribuciones, se parte de una ecuación diferencial y se reescribe de tal manera que no aparezcan derivadas de su solución (esta nueva formulación se denomina formulación débil , y sus soluciones se llaman soluciones débiles). Sorprendentemente, una ecuación diferencial puede tener soluciones no diferenciables , y la formulación débil permite encontrar dichas soluciones.

Las soluciones débiles son importantes porque muchas ecuaciones diferenciales que se encuentran al modelar fenómenos del mundo real no admiten soluciones suficientemente suaves, y la única forma de resolverlas es mediante la formulación débil. Incluso en situaciones donde una ecuación sí tiene soluciones diferenciables, suele ser conveniente demostrar primero la existencia de soluciones débiles y solo después demostrar que dichas soluciones son, de hecho, suficientemente suaves.

Algunos ejemplos de ecuaciones que tienen soluciones débiles pero carecen de soluciones fuertes son la ecuación de Tanaka y la ecuación diferencial estocástica de Tsirelson .

Como ejemplo de este concepto, consideremos la ecuación de onda de primer orden :

donde u = u ( t , x ) es una función de dos variables reales . Para sondear indirectamente las propiedades de una posible solución u , se integra con respecto a una función suave arbitraria.${\displaystyle \varphi \,\!}$de soporte compacto , conocido como función de prueba, tomando

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x)\,\varphi (t,x)\,dx\,dt}$

Por ejemplo, si${\displaystyle \varphi }$es una distribución de probabilidad suave concentrada cerca de un punto${\displaystyle (t,x)=(t_{\circ },x_{\circ })}$, la integral es aproximadamente${\displaystyle u(t_{\circ },x_{\circ })}$. Observe que mientras las integrales van desde${\displaystyle -\infty }$a${\displaystyle \infty }$, esencialmente se encuentran sobre una caja finita donde${\displaystyle \varphi }$es distinto de cero.

Por lo tanto, supongamos que una solución u es continuamente diferenciable en el espacio euclidiano R ² , y multipliquemos la ecuación ( 1 ) por una función de prueba.${\displaystyle \varphi }$(soporte compacto y suave), e integrar:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u(t,x)}{\partial t}}\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x+\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u(t,x)}{\partial x}}\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x=0.}$

Utilizando el teorema de Fubini , que permite intercambiar el orden de integración, así como la integración por partes (en t para el primer término y en x para el segundo término), esta ecuación se convierte en:

(Los términos límite desaparecen desde${\displaystyle \varphi }$es cero fuera de una caja finita.) Hemos demostrado que la ecuación ( 1 ) implica la ecuación ( 2 ) siempre que u sea continuamente diferenciable.

La clave del concepto de solución débil es que existen funciones u que satisfacen la ecuación ( 2 ) para cualquier${\displaystyle \varphi }$, pero tal u puede no ser diferenciable y, por lo tanto, no puede satisfacer la ecuación ( 1 ). Un ejemplo es u ( t , x ) = | t − x | , como se puede comprobar dividiendo las integrales en las regiones x ≥ t y x ≤ t , donde u es suave, e invirtiendo el cálculo anterior mediante integración por partes. Una solución débil de la ecuación ( 1 ) significa cualquier solución u de la ecuación ( 2 ) sobre todas las funciones de prueba.${\displaystyle \varphi }$.

La idea general que se desprende de este ejemplo es que, al resolver una ecuación diferencial en u , se puede reescribir utilizando una función de prueba.${\displaystyle \varphi }$, de tal manera que cualesquiera que sean las derivadas en u que aparezcan en la ecuación, se "transfieren" mediante integración por partes a${\displaystyle \varphi }$, lo que da como resultado una ecuación sin derivadas de u . Esta nueva ecuación generaliza la ecuación original para incluir soluciones que no son necesariamente diferenciables.

El enfoque ilustrado anteriormente funciona con gran generalidad. De hecho, consideremos un operador diferencial lineal en un conjunto abierto W en R ⁿ :

${\displaystyle P(x,\partial )u(x)=\sum a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\,\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}u(x),}$

donde el multiíndice ( α ₁ , α ₂ , ..., α _n ) varía sobre algún conjunto finito en N ⁿ y los coeficientes${\displaystyle a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}}$son funciones suficientemente suaves de x en R ⁿ .

La ecuación diferencial P ( x , ∂ ) u ( x ) = 0 puede, después de ser multiplicada por una función de prueba suave${\displaystyle \varphi }$con soporte compacto en W e integrado por partes, se escribirá como

${\displaystyle \int _{W}u(x)Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0}$

donde el operador diferencial Q ( x , ∂ ) viene dado por la fórmula

${\displaystyle Q(x,\partial )\varphi (x)=\sum (-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}\left[a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\varphi (x)\right].}$

El número

${\displaystyle (-1)^{|\alpha |}=(-1)^{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}}$

aparece porque se necesitan α ₁ + α ₂ + ⋯ + α _n integraciones por partes para transferir todas las derivadas parciales de u a${\displaystyle \varphi }$en cada término de la ecuación diferencial, y cada integración por partes implica una multiplicación por  −1.

El operador diferencial Q ( x , ∂ ) es el adjunto formal de P ( x , ∂ ) (cf. adjunto de un operador ).

En resumen, si el problema original (fuerte) consistía en encontrar una función u | α | veces diferenciable definida en el conjunto abierto W tal que

${\displaystyle P(x,\partial )u(x)=0{\text{ para todo }}x\in W}$

(una llamada solución fuerte ), entonces se diría que una función integrable u es una solución débil si

${\displaystyle \int _{W}u(x)\,Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0}$

para cada funcionamiento suave${\displaystyle \varphi }$con soporte compacto en W.

La noción de solución débil basada en distribuciones a veces resulta inadecuada. En el caso de sistemas hiperbólicos , esta noción no garantiza la unicidad, por lo que es necesario complementarla con condiciones de entropía u otro criterio de selección. En ecuaciones diferenciales parciales totalmente no lineales, como la ecuación de Hamilton-Jacobi , existe una definición muy diferente de solución débil, denominada solución de viscosidad .

• Evans, LC (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0772-2.