Solución de viscosidad

En matemáticas , el concepto de solución de viscosidad fue introducido a principios de la década de 1980 por Pierre-Louis Lions y Michael G. Crandall como una generalización del concepto clásico de lo que se entiende por una "solución" a una ecuación diferencial parcial (EDP). Se ha descubierto que la solución de viscosidad es el concepto de solución natural para usar en muchas aplicaciones de EDP, incluidas, por ejemplo, ecuaciones de primer orden que surgen en programación dinámica (la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman ), juegos diferenciales (la ecuación de Hamilton-Jacobi-Isaacs) o problemas de evolución frontal, ^{[1] [2]} así como ecuaciones de segundo orden como las que surgen en el control óptimo estocástico o los juegos diferenciales estocásticos.

El concepto clásico era que una EDP

${\displaystyle F(x,u,Du,D^{2}u)=0}$

sobre un dominio tiene una solución si podemos encontrar una función u ( x ) continua y diferenciable sobre todo el dominio tal que , , , satisfaga la ecuación anterior en cada punto. ${\displaystyle x\en \Omega}$ ${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización u}$${\displaystyle Tú}$$Estilo de visualización D^{2}u$

Si una ecuación escalar es elíptica degenerada (definida a continuación), se puede definir un tipo de solución débil llamada solución de viscosidad . Según el concepto de solución de viscosidad, u no necesita ser diferenciable en todas partes. Puede haber puntos en los que o no exista y, sin embargo, u satisface la ecuación en un sentido generalizado apropiado. La definición solo permite cierto tipo de singularidades, de modo que la existencia, la unicidad y la estabilidad bajo límites uniformes se mantienen para una gran clase de ecuaciones. ${\displaystyle Tú}$$Estilo de visualización D^{2}u$

Existen varias formas equivalentes de expresar la definición de soluciones de viscosidad. Véase, por ejemplo, la sección II.4 del libro de Fleming y Soner ^[3] o la definición que utiliza semichorros en la Guía del usuario. ^[4]

Elíptica degenerada

Una ecuación en un dominio se define como elíptica degenerada si para dos matrices simétricas cualesquiera y tales que sean definidas positivas , y cualesquiera valores de , y , tenemos la desigualdad . Por ejemplo, (donde denota el laplaciano ) es elíptica degenerada ya que en este caso, , y la traza de es la suma de sus valores propios. Cualquier ecuación real de primer orden es elíptica degenerada.${\displaystyle F(x,u,Du,D^{2}u)=0}$${\estilo de visualización \Omega}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización YX}$${\displaystyle x\en \Omega}$${\displaystyle u\in \mathbb {R}}$${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle F(x,u,p,X)\geq F(x,u,p,Y)}$${\displaystyle -\Delta u=0}$${\estilo de visualización \Delta}$${\displaystyle F(x,u,p,X)=-{\text{traza}}(X)}$${\estilo de visualización X}$

Subsolución de viscosidad

Una función semicontinua superior en se define como una subsolución de la ecuación elíptica degenerada anterior en el sentido de la viscosidad si para cualquier punto y cualquier función tal que y en un entorno de , tenemos .${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización \Omega}$${\displaystyle x_{0}\en \Omega}$${\estilo de visualización C^{2}}$${\estilo de visualización \phi}$${\displaystyle \phi(x_{0})=u(x_{0})}$${\displaystyle \phi \geq u}$$estilo de visualización x_{0}}$${\displaystyle F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\leq 0}$

Supersolución de viscosidad

Una función semicontinua inferior en se define como una supersolución de la ecuación elíptica degenerada anterior en el sentido de la viscosidad si para cualquier punto y cualquier función tal que y en un entorno de , tenemos .${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización \Omega}$${\displaystyle x_{0}\en \Omega}$${\estilo de visualización C^{2}}$${\estilo de visualización \phi}$${\displaystyle \phi(x_{0})=u(x_{0})}$${\displaystyle \phi \leq u}$$estilo de visualización x_{0}}$${\displaystyle F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\geq 0}$

Solución de viscosidad

Una función continua u es una solución de viscosidad de la EDP si es tanto una supersolución como una subsolución. Nótese que la condición de contorno en el sentido de la viscosidad no se ha analizado aquí.${\displaystyle F(x,u,Du,D^{2}u)=0}$${\estilo de visualización \Omega}$

Consideremos el problema de valor límite , o , con condiciones límite . Entonces, la función es una solución de viscosidad. ${\displaystyle |u'(x)|=1}$${\displaystyle F(u')=|u'|-1=0}$${\estilo de visualización (-1,1)}$${\displaystyle u(-1)=u(1)=0}$${\displaystyle u(x)=1-|x|}$

De hecho, nótese que las condiciones de contorno se satisfacen clásicamente, y está bien definido en el interior excepto en . Por lo tanto, queda por demostrar que las condiciones para la subsolución de viscosidad y la supersolución de viscosidad se cumplen en . Supóngase que es cualquier función diferenciable en con y cerca de . De estos supuestos, se sigue que . Para positivo , esta desigualdad implica , usando que para . Por otro lado, para , tenemos que . Como es diferenciable, los límites izquierdo y derecho concuerdan y son iguales a , y por lo tanto concluimos que , es decir, . Por lo tanto, es una subsolución de viscosidad. Además, el hecho de que es una supersolución se cumple vacuamente, ya que no hay ninguna función diferenciable en con y cerca de . Esto implica que es una solución de viscosidad. ${\displaystyle |u'(x)|=1}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \phi(x)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \phi (0)=u(0)=1}$${\displaystyle \phi (x)\geq u(x)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \phi (x)-\phi (0)\geq -|x|}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\phi (x)-\phi (0)}{x}}\geq -1}$${\displaystyle |x|/x=sgn(x)=1}$${\displaystyle x>0}$${\displaystyle x<0}$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {\phi (x)-\phi (0)}{x}}\leq 1}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi '(0)}$${\displaystyle |\phi '(0)|\leq 1}$${\displaystyle F(\phi '(0))\leq 0}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \phi (0)=u(0)=1}$${\displaystyle \phi (x)\leq u(x)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle u}$

De hecho, se puede demostrar que es la única solución de viscosidad para tal problema. La parte de la unicidad implica un argumento más refinado. ${\displaystyle u}$

El problema de valor límite anterior es una ecuación eikonal en una única dimensión espacial con , donde se sabe que la solución es la función de distancia con signo al límite del dominio. Nótese también en el ejemplo anterior, la importancia del signo de . En particular, la solución de viscosidad para la EDP con las mismas condiciones de contorno es . Esto se puede explicar observando que la solución es la solución límite del problema de viscosidad evanescente cuando tiende a cero, mientras que es la solución límite del problema de viscosidad evanescente . ^[5] Se puede confirmar fácilmente que resuelve la EDP para cada . Además, la familia de soluciones converge hacia la solución cuando se desvanece (ver Figura). ${\displaystyle f=1}$${\displaystyle F}$${\displaystyle -F=0}$${\displaystyle u(x)=|x|-1}$${\displaystyle u(x)=1-|x|}$${\displaystyle F(u')=[u']^{2}-1=\epsilon u''}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle u(x)=|x|-1}$${\displaystyle -F(u')=1-[u']^{2}=\epsilon u''}$${\displaystyle u_{\epsilon }(x)=\epsilon [\ln(\cosh(1/\epsilon ))-\ln(\cosh(x/\epsilon ))]}$${\displaystyle F(u')=[u']^{2}-1=\epsilon u''}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle u_{\epsilon }}$${\displaystyle u=1-|x|}$${\displaystyle \epsilon }$

Las tres propiedades básicas de las soluciones de viscosidad son la existencia , la unicidad y la estabilidad .

• La unicidad de las soluciones requiere algunas suposiciones estructurales adicionales sobre la ecuación. Sin embargo, se puede demostrar para una clase muy grande de ecuaciones elípticas degeneradas. ^[4] Es una consecuencia directa del principio de comparación . Algunos ejemplos simples donde se cumple el principio de comparación son

1. ${\displaystyle u+H(x,\nabla u)=0}$con H uniformemente continua en ambas variables.
2. (Caso elíptico uniformemente) de modo que es Lipschitz con respecto a todas las variables y para cada y , para algún .${\displaystyle F(D^{2}u,Du,u)=0}$${\displaystyle F}$${\displaystyle r\leq s}$${\displaystyle X\geq Y}$${\displaystyle F(Y,p,s)\geq F(X,p,r)+\lambda ||X-Y||}$${\displaystyle \lambda >0}$

• La existencia de soluciones se cumple en todos los casos en los que se cumple el principio de comparación y las condiciones de contorno se pueden hacer cumplir de alguna manera (a través de funciones de barrera en el caso de una condición de contorno de Dirichlet ). Para ecuaciones de primer orden, se puede obtener utilizando el método de viscosidad evanescente ^{[6] [2]} o para la mayoría de las ecuaciones utilizando el método de Perron. ^{[7] [8] [2]} Existe una noción generalizada de condición de contorno, en el sentido de viscosidad . La solución a un problema de contorno con condiciones de contorno generalizadas es solucionable siempre que se cumpla el principio de comparación. ^[4]
• La estabilidad de las soluciones se cumple de la siguiente manera: un límite localmente uniforme de una secuencia de soluciones (o subsoluciones o supersoluciones) es una solución (o subsolución o supersolución). En términos más generales, las nociones de viscosidad, subsolución y supersolución también se conservan mediante límites semi-relajados. ^[4]${\displaystyle L^{\infty }}$

El término soluciones de viscosidad aparece por primera vez en el trabajo de Michael G. Crandall y Pierre-Louis Lions en 1983 en relación con la ecuación de Hamilton-Jacobi. ^[6] El nombre se justifica por el hecho de que la existencia de soluciones se obtuvo mediante el método de la viscosidad evanescente. La definición de solución ya había sido dada anteriormente por Lawrence C. Evans en 1980. ^[9] Posteriormente, la definición y las propiedades de las soluciones de viscosidad para la ecuación de Hamilton-Jacobi se refinaron en un trabajo conjunto de Crandall, Evans y Lions en 1984. ^[10]

Durante algunos años, el trabajo sobre soluciones de viscosidad se concentró en ecuaciones de primer orden porque no se sabía si las ecuaciones elípticas de segundo orden tendrían una solución de viscosidad única excepto en casos muy particulares. El resultado revolucionario llegó con el método introducido por Robert Jensen en 1988 para demostrar el principio de comparación utilizando una aproximación regularizada de la solución que tiene una segunda derivada casi en todas partes (en las versiones modernas de la prueba esto se logra con sup-convoluciones y el teorema de Alexandrov ). ^[11]

En los años siguientes, el concepto de solución de viscosidad se ha vuelto cada vez más frecuente en el análisis de PDE elípticas degeneradas. Basándose en sus propiedades de estabilidad, Barles y Souganidis obtuvieron una prueba muy simple y general de convergencia de esquemas de diferencias finitas. ^[12] Se obtuvieron más propiedades de regularidad de soluciones de viscosidad, especialmente en el caso uniformemente elíptico con el trabajo de Luis Caffarelli . ^[13] Las soluciones de viscosidad se han convertido en un concepto central en el estudio de PDE elípticas. En particular, las soluciones de viscosidad son esenciales en el estudio del Laplaciano infinito. ^[14]

En el enfoque moderno, la existencia de soluciones se obtiene con mayor frecuencia a través del método de Perron . ^[4] El método de viscosidad evanescente no es práctico para ecuaciones de segundo orden en general, ya que la adición de viscosidad artificial no garantiza la existencia de una solución clásica. Además, la definición de soluciones de viscosidad generalmente no involucra viscosidad física. Sin embargo, mientras que la teoría de soluciones de viscosidad a veces se considera no relacionada con fluidos viscosos , los fluidos irrotacionales pueden describirse mediante una ecuación de Hamilton-Jacobi. ^[15] En este caso, la viscosidad corresponde a la viscosidad en masa de un fluido irrotacional e incompresible. Otros nombres que se sugirieron fueron soluciones Crandall-Lions , en honor a sus pioneros, soluciones -débiles , en referencia a sus propiedades de estabilidad, o soluciones de comparación , en referencia a su propiedad más característica. ${\displaystyle L^{\infty }}$