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ecuación de Eikonal

Una ecuación eikonal (del griego εἰκών, imagen [ 1 ] [ 2 ] ) es una ecuación diferencial parcial no lineal de primer orden que se encuentra en problemas de propagación de ondas ...

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Una ecuación eikonal (del griego εἰκών, imagen [ 1 ] [ 2 ] ) es una ecuación diferencial parcial no lineal de primer orden que se encuentra en problemas de propagación de ondas .

La ecuación eikonal clásica en óptica geométrica es una ecuación diferencial de la forma

dóndeincógnita{\displaystyle x}se encuentra en un subconjunto abierto deRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}},norte(incógnita){\displaystyle n(x)}es una función positiva, ∇{\displaystyle \nabla } denota el gradiente y|⋅|{\displaystyle |\cdot |}es la norma euclidiana . La funciónnorte{\displaystyle n}Se da y uno busca solucionestú{\displaystyle u}. En el contexto de la óptica geométrica , la funciónnorte{\displaystyle n}es el índice de refracción del medio.

De forma más general, una ecuación eikonal es una ecuación de la forma

dóndeH{\displaystyle H}es una función de2norte{\displaystyle 2n}variables. Aquí la funciónH{\displaystyle H}se da, y tú{\displaystyle u}es la solución. SiH(incógnita,y)=|y|−norte(incógnita){\displaystyle H(x,y)=|y|-n(x)}, entonces la ecuación ( 2 ) se convierte en ( 1 ).

Las ecuaciones eikonales surgen naturalmente en el método WKB [ 3 ] y en el estudio de las ecuaciones de Maxwell . [ 4 ] Las ecuaciones eikonales proporcionan un vínculo entre la óptica física (ondulatoria) y la óptica geométrica (de rayos) .

Un algoritmo computacional rápido para aproximar la solución de la ecuación eikonal es el método de marcha rápida .

Historia

El término «eikonal» fue utilizado por primera vez en el contexto de la óptica geométrica por Heinrich Bruns . [ 5 ] Sin embargo, la ecuación propiamente dicha aparece antes en la obra fundamental de William Rowan Hamilton sobre óptica geométrica . [ 6 ]

Interpretación física

Problemas de camino más corto continuo

Supongamos queΩ{\displaystyle \Omega }es un conjunto abierto con un límite suficientemente suave∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }La solución a la ecuación eikonal

|∇tú(incógnita)|=1F(incógnita) para incógnita∈Ω⊂Rnorte,{\displaystyle \left|\nabla u(x)\right|={\frac {1}{f(x)}}{\text{ para }}x\in \Omega \subset \mathbb {R} ^{n},}
tú(incógnita)=q(incógnita) para incógnita∈∂Ω{\displaystyle u(x)=q(x){\text{ para }}x\in \partial \Omega }

puede interpretarse como la cantidad mínima de tiempo necesaria para viajar desdeincógnita{\displaystyle x}a∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }, dóndeF:Ω¯→(0,+∞){\displaystyle f:{\bar {\Omega }}\to (0,+\infty )}es la velocidad de viaje, yq:∂Ω→[0,+∞){\displaystyle q:\partial \Omega \to [0,+\infty )}es una penalización por tiempo de salida. (Alternativamente, esto puede plantearse como un costo mínimo de salida haciendo que el lado derechodo(incógnita)/F(incógnita){\displaystyle C(x)/f(x)}yq{\displaystyle q}una penalización por coste de salida.)

En el caso especial cuandoF=1{\displaystyle f=1}, la solución proporciona la distancia con signo desde ∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }. [ 7 ]

Suponiendo que∇tú(incógnita){\displaystyle \nabla u(x)}existe en todos los puntos, es fácil demostrar quetú(incógnita){\displaystyle u(x)}corresponde a un problema de control óptimo en el tiempo utilizando el principio de optimalidad de Bellman y una expansión de Taylor. [ 8 ] Desafortunadamente, no está garantizado que∇tú(incógnita){\displaystyle \nabla u(x)}Existe en todos los puntos, y se necesitan técnicas más avanzadas para probarlo. Esto llevó al desarrollo de soluciones de viscosidad en la década de 1980 por Pierre-Louis Lions y Michael G. Crandall , [ 9 ] y Lions ganó una Medalla Fields por sus contribuciones.

Potencial electromagnético

El significado físico de la ecuación eikonal está relacionado con la fórmula

mi=−∇V,{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V,}

dóndemi{\displaystyle \mathbf {E} }es la intensidad del campo eléctrico , yV{\displaystyle V}es el potencial eléctrico . Existe una ecuación similar para el potencial de velocidad en el flujo de fluidos y la temperatura en la transferencia de calor. El significado físico de esta ecuación en el ejemplo electromagnético es que cualquier carga en la región es empujada a moverse perpendicularmente a las líneas de potencial constante, y a lo largo de las líneas de fuerza determinadas por el campo del vector E y el signo de la carga.

La óptica geométrica y el electromagnetismo se relacionan por el hecho de que la ecuación eikonal proporciona una segunda fórmula electromagnética de la misma forma que la ecuación del potencial anterior, donde la línea de potencial constante se ha sustituido por una línea de fase constante, y las líneas de fuerza se han sustituido por vectores normales que parten de la línea de fase constante perpendicularmente. La magnitud de estos vectores normales viene dada por la raíz cuadrada de la permitividad relativa. La línea de fase constante puede considerarse el borde de una de las ondas de luz que se propagan ( frente de onda ). En óptica geométrica, los vectores normales son los rayos que recorre la luz.

Algoritmos computacionales

Desde la década de 1990 se han desarrollado varios algoritmos rápidos y eficientes para resolver la ecuación eikonal. Muchos de estos algoritmos aprovechan algoritmos desarrollados mucho antes para problemas de caminos más cortos en grafos con longitudes de arista no negativas. [ 10 ] Estos algoritmos aprovechan la causalidad proporcionada por la interpretación física y generalmente discretizan el dominio usando una malla [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] o una cuadrícula regular [ 15 ] [ 16 ] y calculan la solución en cada punto discretizado. Los solucionadores eikonal en superficies trianguladas fueron introducidos por Kimmel y Sethian en 1998. [ 11 ] [ 12 ]

El método de marcha rápida (FMM) de Sethian [ 15 ] [ 16 ] fue el primer algoritmo "rápido y eficiente" creado para resolver la ecuación de Eikonal. La descripción original discretiza el dominioΩ⊂Rnorte{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}en una cuadrícula regular y "marcha" la solución desde los valores "conocidos" hacia las regiones no descubiertas, reflejando con precisión la lógica del algoritmo de Dijkstra . SiΩ{\displaystyle \Omega }está discretizado y tieneMETRO{\displaystyle M}puntos de malla, entonces la complejidad computacional esO(METROregistro⁡METRO){\displaystyle O(M\log M)}donde elregistro{\displaystyle \log }El término proviene del uso de un montón (típicamente binario). Se pueden prescribir varias modificaciones a FMM, ya que se clasifica como un método de asignación de etiquetas. Además, FMM se ha generalizado para operar en mallas generales que discretizan el dominio. [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]

Los métodos de corrección de etiquetas, como el algoritmo de Bellman-Ford, también pueden utilizarse para resolver la ecuación de Eikonal discretizada, permitiendo numerosas modificaciones (por ejemplo, "Etiquetas pequeñas primero" [ 10 ] [ 17 ] o "Etiquetas grandes al final" [ 10 ] [ 18 ] ). También se han desarrollado métodos de dos colas [ 19 ] que son esencialmente una versión del algoritmo de Bellman-Ford, excepto que se utilizan dos colas con un umbral para determinar a qué cola se debe asignar un punto de la cuadrícula en función de la información local.

Los algoritmos de barrido, como el método de barrido rápido (FSM) [ 20 ], son altamente eficientes para resolver ecuaciones de Eikonal cuando las curvas características correspondientes no cambian de dirección con mucha frecuencia. [ 10 ] Estos algoritmos corrigen etiquetas, pero no utilizan una cola ni un montón, sino que prescriben diferentes ordenamientos para los puntos de la cuadrícula que se actualizarán e iteran a través de estos ordenamientos hasta la convergencia. Se introdujeron algunas mejoras, como el "bloqueo" de puntos de la cuadrícula [ 19 ] durante un barrido si no recibe una actualización, pero en cuadrículas muy refinadas y espacios de mayor dimensión todavía existe una gran sobrecarga debido a tener que pasar por cada punto de la cuadrícula. Se han introducido métodos paralelos que intentan descomponer el dominio y realizar el barrido en cada subconjunto descompuesto. La implementación paralela de Zhao descompone el dominio ennorte{\displaystyle n}subconjuntos de dimensión y luego ejecuta una FSM individual en cada subconjunto. [ 21 ] La implementación paralela de Detrixhe también descompone el dominio, pero paraleliza cada barrido individual de modo que los procesadores son responsables de actualizar los puntos de la cuadrícula en un(norte−1){\displaystyle (n-1)}hiperplano de dimensión hasta que se haya barrido completamente todo el dominio. [ 22 ]

También se han introducido métodos híbridos que aprovechan la eficiencia de FMM con la simplicidad de FSM. Por ejemplo, el Método de Celdas de Montículo (HCM) descompone el dominio en celdas y realiza FMM en el dominio de celdas, y cada vez que se actualiza una "celda", se realiza FSM en el dominio de puntos de cuadrícula local que se encuentra dentro de esa celda. [ 10 ] También se ha desarrollado una versión paralela de HCM. [ 23 ]

Aproximación numérica

Para simplificar, supongamos queΩ{\displaystyle \Omega }se discretiza en una cuadrícula uniforme con espaciamientoshincógnita{\displaystyle h_{x}}yhy{\displaystyle h_{y}}en las direcciones x e y, respectivamente.

Aproximación 2D en una cuadrícula cartesiana

Supongamos que un punto de la cuadrículaincógnitaij{\displaystyle x_{ij}}tiene valorUij=U(incógnitaij)≈tú(incógnitaij){\displaystyle U_{ij}=U(x_{ij})\approx u(x_{ij})}. Un esquema de primer orden para aproximar las derivadas parciales es

máximo(Dij−incógnitaU,−Dij+incógnitaU,0)2+máximo(Dij−yU,−Dij+yU,0)2 = 1Fij2{\displaystyle \max \left(D_{ij}^{-x}U,-D_{ij}^{+x}U,0\right)^{2}+\max \left(D_{ij}^{-y}U,-D_{ij}^{+y}U,0\right)^{2}\ =\ {\frac {1}{f_{ij}^{2}}}}

dónde

túincógnita(incógnitaij)≈Dij±incógnitaU=Ui±1,j−Uij±hincógnita y túy(incógnitaij)≈Dij±yU=Ui,j±1−Uij±hy.{\displaystyle u_{x}(x_{ij})\approx D_{ij}^{\pm x}U={\frac {U_{i\pm 1,j}-U_{ij}}{\pm h_{x}}}\quad {\text{ and }}\quad u_{y}(x_{ij})\approx D_{ij}^{\pm y}U={\frac {U_{i,j\pm 1}-U_{ij}}{\pm h_{y}}}.}

Debido a las propiedades consistentes, monótonas y causales de esta discretización [ 10 ] es fácil demostrar que siUincógnita=min(Ui−1,j,Ui+1,j){\displaystyle U_{X}=\min(U_{i-1,j},U_{i+1,j})}yUY=min(Ui,j−1,Ui,j+1){\displaystyle U_{Y}=\min(U_{i,j-1},U_{i,j+1})}y|Uincógnita/hincógnita−UY/hy|≤1/Fij{\displaystyle |U_{X}/h_{x}-U_{Y}/h_{y}|\leq 1/f_{ij}}entonces

(Uij−Uincógnitahincógnita)2+(Uij−UYhy)2=1Fij2{\displaystyle \left({\frac {U_{ij}-U_{X}}{h_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac {U_{ij}-U_{Y}}{h_{y}}}\right)^{2}={\frac {1}{f_{ij}^{2}}}}

que se puede resolver como una ecuación cuadrática. En el caso límite dehincógnita=hy=h{\displaystyle h_{x}=h_{y}=h}, esto se reduce a

Uij=Uincógnita+UY2+12(Uincógnita+UY)2−2(Uincógnita2+UY2−h2Fij2).{\displaystyle U_{ij}={\frac {U_{X}+U_{Y}}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {(U_{X}+U_{Y})^{2}-2\left(U_{X}^{2}+U_{Y}^{2}-{\frac {h^{2}}{f_{ij}^{2}}}\right)}}.}

Esta solución siempre existirá mientras exista|Uincógnita−UY|≤2h/Fij{\displaystyle |U_{X}-U_{Y}|\leq {\sqrt {2}}h/f_{ij}}está satisfecho y es más grande que ambos,Uincógnita{\displaystyle U_{X}}yUY{\displaystyle U_{Y}}, mientras|Uincógnita−UY|≤h/Fij{\displaystyle |U_{X}-U_{Y}|\leq h/f_{ij}}.

Si|Uincógnita/hincógnita−UY/hy|≥1/Fij{\displaystyle |U_{X}/h_{x}-U_{Y}/h_{y}|\geq 1/f_{ij}}, se debe realizar una actualización de menor dimensión asumiendo que una de las derivadas parciales es0{\displaystyle 0}:

Uij=min(Uincógnita+hincógnitaFij,UY+hyFij).{\displaystyle U_{ij}=\min \left(U_{X}+{\frac {h_{x}}{f_{ij}}},U_{Y}+{\frac {h_{y}}{f_{ij}}}\right).}

Aproximación n -D en una cuadrícula cartesiana

Supongamos que un punto de la cuadrículaincógnita{\displaystyle x}tiene valorU=U(incógnita)≈tú(incógnita){\displaystyle U=U(x)\approx u(x)}. Repitiendo los mismos pasos que en elnorte=2{\displaystyle n=2}En este caso podemos usar un esquema de primer orden para aproximar las derivadas parciales. SeaUi{\displaystyle U_{i}}ser el mínimo de los valores de los vecinos en el±mii{\displaystyle \pm \mathbf {e} _{i}}direcciones, dóndemii{\displaystyle \mathbf {e} _{i}}es un vector base unitario estándar . La aproximación es entonces

∑j=1norte(U−Ujh)2 = 1Fi2.{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left({\frac {U-U_{j}}{h}}\right)^{2}\ =\ {\frac {1}{f_{i}^{2}}}.}

Resolviendo esta ecuación cuadrática paraU{\displaystyle U}rendimientos:

U=1norte∑j=1norteUj+1norte(∑j=1norteUj)2−norte(∑j=1norteUj2−h2Fi2).{\displaystyle U={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}U_{j}+{\frac {1}{n}}{\sqrt {\left(\sum _{j=1}^{n}U_{j}\right)^{2}-n\left(\sum _{j=1}^{n}U_{j}^{2}-{\frac {h^{2}}{f_{i}^{2}}}\right)}}.}

Si el discriminante en la raíz cuadrada es negativo, entonces se debe realizar una actualización de menor dimensión (es decir, una de las derivadas parciales es0{\displaystyle 0}).

Sinorte=2{\displaystyle n=2}Luego, realice la actualización unidimensional.

U=hFi+minj=1,…,norteUj.{\displaystyle U={\frac {h}{f_{i}}}+\min _{j=1,\ldots ,n}U_{j}.}

Sinorte≥3{\displaystyle n\geq 3}luego realizar unnorte−1{\displaystyle n-1}actualización dimensional utilizando los valores{U1,…,Unorte}∖{Ui}{\displaystyle \{U_{1},\ldots ,U_{n}\}\setminus \{U_{i}\}}por cadai=1,…,norte{\displaystyle i=1,\ldots ,n}y elige el más pequeño.

Descripción matemática

Una ecuación eikonal es una de las formas

H(incógnita,∇tú(incógnita))=0{\displaystyle H(x,\nabla u(x))=0}
tú(0,incógnita′)=tú0(incógnita′), para incógnita=(incógnita1,incógnita′){\displaystyle u(0,x')=u_{0}(x'),{\text{ for }}x=(x_{1},x')}

El aviónincógnita=(0,incógnita′){\displaystyle x=(0,x')}puede pensarse como la condición inicial , al pensar enincógnita1{\displaystyle x_{1}}comot.{\displaystyle t.} También podríamos resolver la ecuación en un subconjunto de este plano, o en una superficie curva, con las modificaciones obvias.

La ecuación eikonal aparece en la óptica geométrica , que es una forma de estudiar las soluciones de la ecuación de onda.do2|∇incógnitatú|2=|∂ttú|2{\displaystyle c^{2}|\nabla _{x}u|^{2}=|\partial _{t}u|^{2}}, dóndedo(incógnita){\displaystyle c(x)}ytú(incógnita,t){\displaystyle u(x,t)}En óptica geométrica, la ecuación de Eikonal describe los frentes de fase de las ondas. Bajo una hipótesis razonable sobre los datos iniciales, la ecuación de Eikonal admite una solución local, pero no es posible una solución global continua (por ejemplo, una solución para todo tiempo en el caso de la óptica geométrica). Esto se debe a que pueden desarrollarse cáusticas . En el caso de la óptica geométrica, esto significa que los frentes de onda se cruzan.

Podemos resolver la ecuación eikonal utilizando el método de las características. Es necesario imponer la hipótesis "no característica".∂pag1H(incógnita,pag)≠0{\displaystyle \partial _{p_{1}}H(x,p)\neq 0}a lo largo de la hipersuperficie inicialincógnita=(0,incógnita′){\displaystyle x=(0,x')}, donde H  = H ( x , p ) y p = ( p 1 ,..., p n ) es la variable que se reemplaza por ∇ u . Aquí x = ( x 1 ,..., x n ) = ( t , x ′ ).       

Primero, resuelve el problema.H(incógnita,ξ(incógnita))=0{\displaystyle H(x,\xi (x))=0},ξ(incógnita)=∇tú(incógnita),incógnita∈H{\displaystyle \xi (x)=\nabla u(x),x\in H}Esto se hace definiendo curvas (y valores deξ{\displaystyle \xi }en esas curvas) como

incógnita˙(s)=∇ξH(incógnita(s),ξ(s)),ξ˙(s)=−∇incógnitaH(incógnita(s),ξ(s)).{\displaystyle {\dot {x}}(s)=\nabla _{\xi }H(x(s),\xi (s)),\;\;\;\;{\dot {\xi }}(s)=-\nabla _{x}H(x(s),\xi (s)).}
incógnita(0)=incógnita0,ξ(incógnita(0))=∇tú(incógnita(0)).{\displaystyle x(0)=x_{0},\;\;\;\;\xi (x(0))=\nabla u(x(0)).} Tenga en cuenta que incluso antes de que tengamos una solucióntú{\displaystyle u}, lo sabemos∇tú(incógnita){\displaystyle \nabla u(x)}paraincógnita=(0,incógnita′){\displaystyle x=(0,x')}debido a nuestra ecuación paraH{\displaystyle H}.

Que estas ecuaciones tienen una solución para algún intervalo0≤s<s1{\displaystyle 0\leq s<s_{1}}Se deduce de los teoremas estándar de las EDO (utilizando la hipótesis no característica). Estas curvas llenan un conjunto abierto alrededor del plano.incógnita=(0,incógnita′){\displaystyle x=(0,x')}. Por lo tanto, las curvas definen el valor deξ{\displaystyle \xi }en un conjunto abierto alrededor de nuestro plano inicial. Una vez definido como tal, es fácil ver usando la regla de la cadena que∂sH(incógnita(s),ξ(s))=0{\displaystyle \partial _{s}H(x(s),\xi (s))=0}y por lo tantoH=0{\displaystyle H=0}a lo largo de estas curvas.

Queremos nuestra solucióntú{\displaystyle u}para satisfacer∇tú=ξ{\displaystyle \nabla u=\xi }, o más específicamente, por cadas{\displaystyle s},(∇tú)(incógnita(s))=ξ(incógnita(s)).{\displaystyle (\nabla u)(x(s))=\xi (x(s)).} Suponiendo por un momento que esto sea posible, para cualquier solucióntú(incógnita){\displaystyle u(x)}debemos tener

ddstú(incógnita(s))=∇tú(incógnita(s))⋅incógnita˙(s)=ξ⋅∂H∂ξ,{\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s))=\nabla u(x(s))\cdot {\dot {x}}(s)=\xi \cdot {\frac {\partial H}{\partial \xi }},}

y por lo tanto

tú(incógnita(t))=tú(incógnita(0))+∫0tξ(incógnita(s))⋅incógnita˙(s)ds.{\displaystyle u(x(t))=u(x(0))+\int _{0}^{t}\xi (x(s))\cdot {\dot {x}}(s)\,ds.}

En otras palabras, la solucióntú{\displaystyle u}se dará en un entorno del plano inicial mediante una ecuación explícita. Sin embargo, dado que los diferentes caminosincógnita(t){\displaystyle x(t)}, partiendo de diferentes puntos iniciales pueden cruzarse, la solución puede volverse multivaluada, en cuyo punto hemos desarrollado cáusticas. También tenemos (incluso antes de demostrar quetú{\displaystyle u}es una solución)

ξ(incógnita(t))=ξ(incógnita(0))−∫0t∇incógnitaH(incógnita(s),ξ(incógnita(s)))ds.{\displaystyle \xi (x(t))=\xi (x(0))-\int _{0}^{t}\nabla _{x}H(x(s),\xi (x(s)))\,ds.}

Queda por demostrar queξ{\displaystyle \xi }, que hemos definido en un entorno de nuestro plano inicial, es el gradiente de alguna funcióntú{\displaystyle u}Esto se deduce si demostramos que el campo vectorialξ{\displaystyle \xi }es libre de rizo. Considere el primer término en la definición deξ{\displaystyle \xi }. Este término,ξ(incógnita(0))=∇tú(incógnita(0)){\displaystyle \xi (x(0))=\nabla u(x(0))}es libre de rotacional ya que es el gradiente de una función. En cuanto al otro término, observamos

∂2∂incógnitak∂incógnitajH=∂2∂incógnitaj∂incógnitakH.{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{k}\,\partial x_{j}}}H={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{j}\,\partial x_{k}}}H.}

El resultado es el siguiente.

Aplicaciones

Óptica, oceanografía y mecánica cuántica

La analogía entre los tres campos de la óptica, la oceanología [ 24 ] y la mecánica cuántica se puede resumir en la siguiente tabla. La primera fila muestra las ecuaciones de onda completas de la óptica, la oceanología y la mecánica cuántica, a saber, la ecuación de Helmholtz , la ecuación diferencial parcial que rige la elevación de la superficie del mar.η{\displaystyle \eta }y la ecuación de Schrödinger, respectivamente.

La segunda fila es la aproximación WKB de primer orden , es decir, la variación de amplitud que varía lentamente y las ecuaciones obtenidas son la ecuación de Eikonal de óptica y oceanología y la ecuación de Hamilton-Jacobi.

Véase también

Referencias

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  24. ↑ Feddersen, Falk (4 de marzo de 2019). "Olas en el océano: tratamiento lineal" (PDF) . Scripps Institution of Oceanography, University of California San Diego . Recuperado el 27 de marzo de 2026 .

Lecturas adicionales

  • Paris, DT; Hurd, FK (1969). Teoría electromagnética básica . McGraw-Hill. págs. 383–385 . ISBN  0-07-048470-8.
  • Arnold, VI (2004). Lecciones sobre ecuaciones diferenciales parciales (2.ª  ed.). Springer. págs. 2–3 . ISBN  3-540-40448-1.
  • La ecuación eikonal linealizada
  • Traducción al inglés de "Das Eikonal" de Heinrich Bruns