Función de barrera

En la optimización con restricciones , un campo de las matemáticas , una función barrera es una función continua cuyo valor tiende a infinito a medida que su argumento se aproxima al límite de la región factible de un problema de optimización. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Estas funciones se utilizan para reemplazar las restricciones de desigualdad por un término de penalización en la función objetivo, que resulta más fácil de manejar. Una función barrera también se denomina función de penalización interior , ya que obliga a la solución a permanecer dentro de la región factible.

Los dos tipos más comunes de funciones barrera son las funciones barrera inversas y las funciones barrera logarítmicas . El renovado interés en las funciones barrera logarítmicas se debió a su conexión con los métodos de punto interior primal-dual .

Consideremos el siguiente problema de optimización con restricciones:

minimizar f ( x )

sujeto a x ≤ b

donde b es una constante. Si se desea eliminar la restricción de desigualdad, el problema puede reformularse como

minimizar f ( x ) + c ( x ) ,

donde c ( x ) = ∞ si x > b , y cero en caso contrario.

Este problema es equivalente al primero. Elimina la desigualdad, pero introduce el problema de que la función de penalización c , y por lo tanto la función objetivo f ( x ) + c ( x ) , es discontinua , lo que impide el uso del cálculo para resolverlo.

Una función de barrera, ahora, es una aproximación continua g a c que tiende a infinito cuando x se acerca a b desde abajo. Usando dicha función, se formula un nuevo problema de optimización, a saber:

minimizar f ( x ) + μ g ( x )

donde μ > 0 es un parámetro libre. Este problema no es equivalente al original, pero a medida que μ se aproxima a cero, se convierte en una aproximación cada vez mejor. ^{[ 3 ]}

Para funciones de barrera logarítmicas,${\displaystyle g(x,b)}$se define como${\displaystyle -\!\log(bx)}$cuando${\displaystyle x<b}$y${\displaystyle \infty }$de lo contrario (en una dimensión; véase más abajo una definición en dimensiones superiores). Esto se basa esencialmente en el hecho de que${\displaystyle \log t}$tiende a menos infinito como${\displaystyle t}$tiende a 0.

Esto introduce un gradiente en la función que se está optimizando, lo que favorece valores menos extremos de${\displaystyle x}$(en este caso, valores inferiores a${\displaystyle b}$), mientras que tienen un impacto relativamente bajo en la función fuera de estos extremos.

Dependiendo de la función que se esté optimizando, es posible que se prefieran las funciones de barrera logarítmicas a las funciones de barrera inversas, que son menos costosas computacionalmente.

• Método de penalización
• Método de Lagrangiano aumentado

• Conferencia 14: Método de barrera del profesor Lieven Vandenberghe de UCLA