Método Perron

En el estudio matemático de las funciones armónicas , el método de Perron , también conocido como método de funciones subarmónicas , es una técnica introducida por Oskar Perron para la solución del problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace . El método de Perron funciona encontrando la función subarmónica más grande con valores límite por debajo de los valores deseados; la "solución de Perron" coincide con la solución real del problema de Dirichlet si el problema es soluble.

El problema de Dirichlet consiste en encontrar una función armónica en un dominio, con condiciones de contorno dadas por una función continua . La solución de Perron se define tomando el supremo puntual sobre una familia de funciones , ${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle S_{\varphi}}$

${\displaystyle u(x)=\sup _ {v\in S_{\varphi }}v(x)}$

donde es el conjunto de todas las funciones subarmónicas tales que están en el límite del dominio. ${\displaystyle S_{\varphi}}$${\displaystyle v(x)\leq \varphi (x)}$

La solución de Perron u(x) es siempre armónica; sin embargo, los valores que toma en el límite pueden no ser los mismos que los valores de límite deseados . Un punto y del límite satisface una condición de barrera si existe una función superarmónica , definida en todo el dominio, tal que y para todo . Los puntos que satisfacen la condición de barrera se denominan puntos regulares del límite para el laplaciano. Estos son precisamente los puntos en los que se garantiza la obtención de los valores de límite deseados: como . ${\displaystyle \varphi (x)}$$Estilo de visualización w_{y}(x)}$${\displaystyle w_{y}(y)=0}$$Estilo de visualización w_{y}(x)>0}$${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle x\rightarrow y,u(x)\rightarrow \varphi (y)}$

La caracterización de puntos regulares sobre superficies es parte de la teoría de potenciales . Los puntos regulares en el límite de un dominio son aquellos puntos que satisfacen el criterio de Wiener: para cualquier , sea la capacidad del conjunto ; entonces es un punto regular si y solo si ${\estilo de visualización \Omega}$${\displaystyle \lambda \en (0,1)}$$Estilo de visualización C_ {j}}$${\displaystyle B_{\lambda ^{j}}(x_{0})\cap \Omega ^{c}}$$estilo de visualización x_{0}}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }C_{j}/\lambda ^{j(n-2)}}$

diverge.

El criterio de Wiener fue ideado por primera vez por Norbert Wiener ; fue extendido por Werner Püschel a ecuaciones en forma de divergencia elíptica uniforme con coeficientes suaves, y de ahí a ecuaciones en forma de divergencia elíptica uniforme con coeficientes mensurables acotados por Walter Littman, Guido Stampacchia y Hans Weinberger .

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