Continuo lineal

En el campo matemático de la teoría del orden , un continuo o continuo lineal es una generalización de la recta real .

Formalmente, un continuo lineal es un conjunto linealmente ordenado S de más de un elemento que está densamente ordenado , es decir, entre cualesquiera dos elementos distintos hay otro (y por lo tanto, infinitos otros), y condicionalmente completo , es decir, que "carece de huecos" en el sentido de que todo subconjunto no vacío con un límite superior tiene un límite superior mínimo en el conjunto. De forma más simbólica:

1. S tiene la propiedad de límite superior mínimo , y
2. Para cada x en S y cada y en S con x < y , existe z en S tal que x < z < y.

Un conjunto tiene la propiedad de cota superior mínima si todo subconjunto no vacío del conjunto acotado superiormente tiene una cota superior mínima en el conjunto. Los continuos lineales son particularmente importantes en el campo de la topología, donde se pueden usar para verificar si un conjunto ordenado, dada la topología de orden, es conexo o no. ^{[ 1 ]}

A diferencia de la recta real estándar, un continuo lineal puede estar acotado en ambos lados: por ejemplo, cualquier intervalo cerrado (real) es un continuo lineal.

• El conjunto ordenado de los números reales , R , con su orden usual es un continuo lineal y es el ejemplo arquetípico. La propiedad b) es trivial, y la propiedad a) es simplemente una reformulación del axioma de completitud .

Ejemplos adicionales a los números reales:

• conjuntos que son isomorfos en orden al conjunto de los números reales, por ejemplo un intervalo abierto real , y lo mismo con los huecos semiabiertos (nótese que estos no son huecos en el sentido mencionado anteriormente)
• el sistema de números reales extendido afínmente y los conjuntos isomorfos en orden, por ejemplo el intervalo unitario
• el conjunto de números reales a los que solo se les suma +∞ o solo −∞, y conjuntos isomorfos al orden, por ejemplo un intervalo semiabierto
• la larga fila
• El conjunto I × I (donde × denota el producto cartesiano e I = [0, 1]) en el orden lexicográfico es un continuo lineal. La propiedad b) es trivial. Para comprobar la propiedad a), definimos una aplicación, π ₁  : I × I → I por

π ₁ ( x , y ) = x

Este mapa se conoce como mapa de proyección . El mapa de proyección es continuo (con respecto a la topología del producto en I × I ) y es sobreyectivo . Sea A un subconjunto no vacío de I × I que está acotado superiormente. Consideremos π ₁ ( A ). Como A está acotado superiormente, π ₁ ( A ) también debe estarlo. Dado que π ₁ ( A ) es un subconjunto de I , debe tener una cota superior mínima (ya que I tiene la propiedad de cota superior mínima). Por lo tanto, podemos ser b la cota superior mínima de π ₁ ( A ). Si b pertenece a π ₁ ( A ), entonces b × I intersecará A en, digamos, b × c para algún c ∈ I . Nótese que, dado que b × I tiene el mismo tipo de orden que I , el conjunto ( b × I ) ∩ A tendrá efectivamente un límite superior mínimo b × c' , que es el límite superior mínimo deseado para A.

Si b no pertenece a π ₁ ( A ), entonces b × 0 es el límite superior más pequeño de A , porque si d < b , y d × e es un límite superior de A , entonces d sería un límite superior más pequeño de π ₁ ( A ) que b , lo que contradice la propiedad única de b .

• El conjunto ordenado Q de números racionales no es un continuo lineal. Aunque se cumple la propiedad b), no se cumple la propiedad a). Consideremos el subconjunto

A = { x ∈ Q | x < √ 2 }

del conjunto de los números racionales. Aunque este conjunto está acotado superiormente por cualquier número racional mayor que √2 (por ejemplo, 3 ), no tiene un límite superior mínimo en los números racionales. ^{[ 2 ]} (Específicamente, para cualquier límite superior racional r > √2 , r /2 + 1/ r es un límite superior racional más cercano; detalles en Métodos para calcular raíces cuadradas § Método  de Herón ).

• El conjunto ordenado de enteros no negativos con su orden habitual no es un continuo lineal. La propiedad a) se cumple (sea A un subconjunto del conjunto de enteros no negativos acotado superiormente. Entonces A es finito, por lo que tiene un máximo, y este máximo es la cota superior mínima deseada de A ). Por otro lado, la propiedad b) no se cumple. En efecto, 5 es un entero no negativo, al igual que 6, pero no existe ningún entero no negativo que se encuentre estrictamente entre ellos.
• El conjunto ordenado A de números reales distintos de cero

A = (−∞, 0) ∪ (0, +∞)

no es un continuo lineal. La propiedad b) se satisface trivialmente. Sin embargo, si B es el conjunto de los números reales negativos:

B = (−∞, 0)

Entonces B es un subconjunto de A que está acotado superiormente (por cualquier elemento de A mayor que 0; por ejemplo, 1), pero no tiene un límite superior mínimo en A. Nótese que 0 no es un límite para B ya que 0 no es un elemento de A.

• Sea Z ₋ el conjunto de los enteros negativos y sea A = (0, 5) ∪ (5, +∞).

S = Z ₋ ∪ A .

Entonces S no satisface ni la propiedad a) ni la propiedad b). La demostración es similar a los ejemplos anteriores.

Aunque los continuos lineales son importantes en el estudio de conjuntos ordenados , también tienen aplicaciones en el campo matemático de la topología . De hecho, demostraremos que un conjunto ordenado en la topología de orden es conexo si y solo si es un continuo lineal. Demostraremos una implicación y dejaremos la otra como ejercicio. (Munkres explica la segunda parte de la demostración en ^{[ 3 ]} ).

Teorema

Sea X un conjunto ordenado en la topología de orden. Si X es conexo, entonces X es un continuo lineal.

Prueba:

Supongamos que x e y son elementos de X tales que x < y . Si no existe ningún z en X tal que x < z < y , consideremos los conjuntos:

A = (−∞, y )

B = ( x , +∞)

Estos conjuntos son disjuntos (si a está en A , a < y, de modo que si a está en B , a > x y a < y, lo cual es imposible por hipótesis), no vacíos ( x está en A e y está en B ) y abiertos (en la topología de orden), y su unión es X. Esto contradice la conexidad de X.

Ahora demostramos la propiedad de la cota superior mínima. Si C es un subconjunto de X que está acotado superiormente y no tiene cota superior mínima, sea D la unión de todos los rayos abiertos de la forma ( b , +∞) donde b es una cota superior para C . Entonces D es abierto (ya que es la unión de conjuntos abiertos) y cerrado (si a no está en D , entonces a < b para todas las cotas superiores b de C de modo que podemos elegir q > a tal que q esté en C (si no existe tal q , a es la cota superior mínima de C ), entonces se puede elegir un intervalo abierto que contenga a que no interseque a D ). Como D es no vacío (hay más de una cota superior de D porque si hubiera exactamente una cota superior s , s sería la cota superior mínima. Entonces si b ₁ y b ₂ son dos cotas superiores de D con b ₁ < b ₂ , b ₂ pertenecerá a D ), D y su complemento juntos forman una separación en X . Esto contradice la conexidad de X .

• Axioma de Cantor-Dedekind
• Topología de orden
• Propiedad del límite superior mínimo
• Pedido total