Conjunto vacío

Al hablar de la suma de los elementos de un conjunto finito, inevitablemente se recurre a la convención de que la suma de los elementos del conjunto vacío (la suma vacía ) es cero. Esto se debe a que el cero es el elemento neutro de la suma. De manera similar, el producto de los elementos del conjunto vacío (el producto vacío ) debe considerarse igual a uno , ya que uno es el elemento neutro de la multiplicación. ^{[ 6 ]}

Un desorden es una permutación de un conjunto sin puntos fijos . El conjunto vacío puede considerarse un desorden de sí mismo, porque tiene solo una permutación (${\displaystyle 0!=1}$), y es una verdad trivial que no se puede encontrar ningún elemento (del conjunto vacío) que conserve su posición original.

Dado que el conjunto vacío no tiene ningún miembro cuando se considera como un subconjunto de cualquier conjunto ordenado , cada miembro de ese conjunto será un límite superior y un límite inferior para el conjunto vacío. Por ejemplo, cuando se considera como un subconjunto de los números reales, con su ordenación usual, representado por la recta numérica real , cada número real es tanto un límite superior como un límite inferior para el conjunto vacío. ^{[ 7 ]} Cuando se considera como un subconjunto de los reales extendidos formados al agregar dos "números" o "puntos" a los números reales (a saber, menos infinito , denotado${\displaystyle -\infty \!\,,}$que se define como menor que cualquier otro número real extendido, e infinito positivo , denotado${\displaystyle +\infty \!\,,}$que se define como mayor que cualquier otro número real extendido), tenemos que: $${\displaystyle \sup \varnothing =\min(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=-\infty ,}$$ y $${\displaystyle \inf \varnothing =\max(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=+\infty .}$$

Es decir, el límite superior mínimo (sup o supremo ) del conjunto vacío es infinito negativo, mientras que el límite inferior máximo (inf o ínfimo ) es infinito positivo. Por analogía con lo anterior, en el dominio de los números reales extendidos, infinito negativo es el elemento neutro para los operadores máximo y supremo, mientras que infinito positivo es el elemento neutro para los operadores mínimo e ínfimo.

En cualquier espacio topológico${\displaystyle X}$, el conjunto vacío es abierto por definición, como lo es${\displaystyle X}$. Dado que el complemento de un conjunto abierto es cerrado y el conjunto vacío y${\displaystyle X}$Como son complementarios entre sí, el conjunto vacío también es cerrado, lo que lo convierte en un conjunto abierto y cerrado . Además, el conjunto vacío es compacto debido a que todo conjunto finito es compacto.

Un espacio topológico${\displaystyle X}$Se dice que tiene la topología indiscreta si los únicos conjuntos abiertos son${\displaystyle \varnothing }$y todo el espacio.

El cierre del conjunto vacío es vacío. Esto se conoce como "preservación de uniones nulas ". ^{[ 8 ]}

Si${\displaystyle A}$es un conjunto, entonces existe precisamente una función${\displaystyle f}$de${\displaystyle \varnothing }$a${\displaystyle A,}$la función vacía . Como resultado, el conjunto vacío es el único objeto inicial de la categoría de conjuntos y funciones.

El conjunto vacío se puede convertir en un espacio topológico , llamado espacio vacío, de una sola manera: definiéndolo como abierto . Este espacio topológico vacío es el único objeto inicial en la categoría de espacios topológicos con aplicaciones continuas . De hecho, es un objeto inicial estricto : solo el conjunto vacío tiene una función sobre el conjunto vacío.

En la construcción de von Neumann de los ordinales , 0 se define como el conjunto vacío, y el sucesor de un ordinal se define como${\displaystyle S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}}$. Por lo tanto, tenemos${\displaystyle 0=\varnothing }$,${\displaystyle 1=0\cup \{0\}=\{\varnothing \}}$,${\displaystyle 2=1\cup \{1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}}$y así sucesivamente. La construcción de von Neumann, junto con el axioma del infinito , que garantiza la existencia de al menos un conjunto infinito, puede utilizarse para construir el conjunto de los números naturales,${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$, de modo que se satisfagan los axiomas de Peano de la aritmética.

En el contexto de conjuntos de números reales, Cantor utilizó${\displaystyle P\equiv O}$para denotar "${\displaystyle P}$No contiene ningún punto único".${\displaystyle \equiv O}$La notación se utilizó en las definiciones; por ejemplo, Cantor definió dos conjuntos como disjuntos si su intersección tiene ausencia de puntos; sin embargo, es discutible si Cantor consideraba${\displaystyle O}$como un conjunto existente por sí mismo, o si Cantor simplemente usó${\displaystyle \equiv O}$como predicado de vacuidad. Zermelo aceptó${\displaystyle O}$sí mismo como un conjunto, pero lo consideró un "conjunto impropio". ^{[ 9 ]}

En la teoría de conjuntos de Zermelo , la existencia del conjunto vacío está asegurada por el axioma del conjunto vacío , y su unicidad se deduce del axioma de extensionalidad . Sin embargo, se puede demostrar que el axioma del conjunto vacío es redundante de al menos dos maneras:

• La lógica estándar de primer orden implica, simplemente a partir de los axiomas lógicos , que algo existe, y en el lenguaje de la teoría de conjuntos, ese algo debe ser un conjunto. Ahora bien, la existencia del conjunto vacío se deduce fácilmente del axioma de separación .
• Incluso utilizando la lógica libre (que no implica lógicamente que algo exista), ya existe un axioma que implica la existencia de al menos un conjunto, a saber, el axioma del infinito .

Si bien el conjunto vacío es un concepto matemático estándar y ampliamente aceptado, sigue siendo una curiosidad ontológica , cuyo significado y utilidad son objeto de debate entre filósofos y lógicos.

El conjunto vacío no es lo mismo que la nada ; más bien, es un conjunto sin nada dentro , y un conjunto siempre es algo . Este problema se puede superar considerando un conjunto como una bolsa: sin duda, una bolsa vacía sigue existiendo. Darling (2004) explica que el conjunto vacío no es la nada, sino más bien «el conjunto de todos los triángulos de cuatro lados, el conjunto de todos los números mayores que nueve pero menores que ocho, y el conjunto de todas las aperturas de ajedrez que involucran a un rey ». ^{[ 10 ]}

El silogismo popular

Nada es mejor que la felicidad eterna; un sándwich de jamón es mejor que nada; por lo tanto, un sándwich de jamón es mejor que la felicidad eterna.

Se utiliza a menudo para demostrar la relación filosófica entre el concepto de nada y el conjunto vacío. Darling escribe que el contraste se puede ver reescribiendo las afirmaciones "Nada es mejor que la felicidad eterna" y "[Un] sándwich de jamón es mejor que nada" en un tono matemático. Según Darling, la primera es equivalente a "El conjunto de todas las cosas que son mejores que la felicidad eterna es${\displaystyle \varnothing }$" y este último a "El conjunto {sándwich de jamón} es mejor que el conjunto${\displaystyle \varnothing }$"El primero compara elementos de conjuntos, mientras que el segundo compara los conjuntos mismos. ^{[ 10 ]}

Jonathan Lowe argumenta que, si bien el conjunto vacío

Sin duda fue un hito importante en la historia de las matemáticas,  … no debemos suponer que su utilidad en el cálculo depende de que realmente denote algún objeto.

También es cierto que:

"Lo único que sabemos del conjunto vacío es que (1) es un conjunto, (2) no tiene miembros y (3) es único entre los conjuntos por no tener miembros. Sin embargo, hay muchísimas cosas que 'no tienen miembros', en el sentido de la teoría de conjuntos ; es decir, todos los no conjuntos. Es perfectamente claro por qué estas cosas no tienen miembros, ya que no son conjuntos. Lo que no está claro es cómo puede existir, de forma única entre los conjuntos, un conjunto que no tenga miembros. No podemos crear tal entidad mediante una mera estipulación." ^{[ 11 ]}

George Boolos argumentó que gran parte de lo que se ha obtenido hasta ahora mediante la teoría de conjuntos puede obtenerse igualmente bien mediante la cuantificación plural sobre individuos, sin reificar los conjuntos como entidades singulares que tienen otras entidades como miembros. ^{[ 12 ]}