Recta numérica real extendida

En matemáticas , el sistema de números reales extendido ^{[ a ]} se obtiene a partir del sistema de números reales.${\displaystyle \mathbb {R} }$sumando dos elementos denominados${\displaystyle +\infty }$y${\displaystyle -\infty }$^{[ b ]} que son respectivamente mayores y menores que cada número real. Esto permite tratar losinfinitos potencialesde secuencias infinitamente crecientes y series infinitamente decrecientes comoinfinitos reales. Por ejemplo, lasecuencia infinita${\displaystyle (1,2,\ldots )}$de los números naturales aumenta infinitamente y no tiene límite superior en el sistema de números reales (un infinito potencial); en la recta numérica real extendida, la secuencia tiene${\displaystyle +\infty }$como su cota superior mínima y como su límite (un infinito real). En cálculo y análisis matemático , el uso de${\displaystyle +\infty }$y${\displaystyle -\infty }$ya que los límites reales extienden significativamente los cálculos posibles. ^{[ 1 ]} Es la completación de Dedekind-MacNeille de los números reales.

El sistema de números reales extendido se denota${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$, ${\displaystyle [-\infty,+\infty]}$, o${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}}$. ^{[ 2 ]} Cuando el significado es claro por el contexto, el símbolo${\displaystyle +\infty }$a menudo se escribe simplemente como${\displaystyle \infty }$. ^{[ 2 ]}

También hay una línea real extendida proyectivamente distinta donde${\displaystyle +\infty }$y${\displaystyle -\infty }$no se distinguen, es decir, hay un único infinito real tanto para secuencias infinitamente crecientes como para secuencias infinitamente decrecientes que se denota simplemente como${\displaystyle \infty }$o como${\displaystyle \pm \infty }$.

El sistema de números reales extendido${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$, definido como${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$o${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}}$, se puede convertir en un conjunto totalmente ordenado definiendo${\displaystyle -\infty \leq a\leq +\infty }$a pesar de${\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {R} }}}$. Con esta topología de orden ,${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$tiene la propiedad deseable de compacidad : cada subconjunto de${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$tiene un supremo y un ínfimo ^{[ 2 ]} (el ínfimo del conjunto vacío es${\displaystyle +\infty }$y su supremo es${\displaystyle -\infty }$). Además, con esta topología ,${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$es homeomorfo al intervalo unitario${\displaystyle [0,1]}$Por lo tanto, la topología es metrizable , correspondiendo (para un homeomorfismo dado) a la métrica ordinaria en este intervalo. Sin embargo, no existe ninguna métrica que sea una extensión de la métrica ordinaria en${\displaystyle \mathbb {R} }$.

En esta topología, un conjunto${\displaystyle U}$es un barrio de${\displaystyle +\infty }$si y solo si contiene un conjunto${\displaystyle \{x:x>a\}}$para algún número real${\displaystyle a}$. La noción del vecindario de${\displaystyle -\infty }$se puede definir de manera similar. Usando esta caracterización de vecindarios reales extendidos, los límites con${\displaystyle x}$tendiendo a${\displaystyle +\infty }$o${\displaystyle -\infty }$y límites "iguales" a${\displaystyle +\infty }$y${\displaystyle -\infty }$, reducir a la definición topológica general de límites, en lugar de tener una definición especial en el sistema de números reales.

Las operaciones aritméticas de${\displaystyle \mathbb {R} }$puede extenderse parcialmente a${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$de la siguiente manera: ^{[ 3 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}a\pm \infty =\pm \infty +a&=\pm \infty ,&a&\neq \mp \infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty ]\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty )\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&\in (-\infty ,0)\end{aligned}}}$$

Para la exponenciación, consulte Exponenciación §  Límites de potencias . Aquí,${\displaystyle a+\infty }$significa ambos${\displaystyle a+(+\infty )}$y${\displaystyle a-(-\infty )}$, mientras${\displaystyle a-\infty }$significa ambos${\displaystyle a-(+\infty )}$y${\displaystyle a+(-\infty )}$.

Las expresiones${\displaystyle \infty -\infty }$,${\displaystyle 0\times (\pm \infty )}$, y${\displaystyle \pm \infty /\pm \infty }$(llamadas formas indeterminadas ) generalmente se dejan sin definir . Estas reglas se basan en las leyes de los límites infinitos . Sin embargo, en el contexto de la probabilidad o la teoría de la medida,${\displaystyle 0\times \pm \infty }$a menudo se define como 0. ^{[ 4 ]}

Al tratar con números reales extendidos positivos y negativos, la expresión${\displaystyle 1/0}$Por lo general, se deja sin definir, porque, aunque es cierto que para cada secuencia real distinta de cero${\displaystyle f}$que converge a 0, la secuencia recíproca${\displaystyle 1/f}$eventualmente se encuentra contenido en cada vecindario de${\displaystyle \{\infty ,-\infty \}}$, no es cierto que la secuencia${\displaystyle 1/f}$debe converger en sí mismo a cualquiera de los dos${\displaystyle -\infty }$o${\displaystyle \infty .}$Dicho de otra manera, si una función continua${\displaystyle f}$alcanza un cero en un valor determinado${\displaystyle x_{0},}$entonces no tiene por qué ser así que${\displaystyle 1/f}$tiende a o bien${\displaystyle -\infty }$o${\displaystyle \infty }$en el límite como${\displaystyle x}$tiende a${\displaystyle x_{0}}$Este es el caso de los límites de la función identidad .${\displaystyle f(x)=x}$cuando${\displaystyle x}$tiende a 0, y de${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left(1/x\right)}$(para esta última función, ni${\displaystyle -\infty }$ni${\displaystyle \infty }$es un límite de${\displaystyle 1/f(x)}$, incluso si solo valores positivos de${\displaystyle x}$se consideran).

Sin embargo, en contextos donde solo se consideran valores no negativos, a menudo es conveniente definir${\displaystyle 1/0=+\infty }$. Por ejemplo, al trabajar con series de potencias , el radio de convergencia de una serie de potencias con coeficientes${\displaystyle a_{n}}$a menudo se define como el recíproco del límite supremo de la secuencia${\displaystyle \left(|a_{n}|^{1/n}\right)}$Por lo tanto, si uno permite${\displaystyle 1/0}$tomar el valor${\displaystyle +\infty }$, entonces se puede usar esta fórmula independientemente de si el límite supremo es 0 o no.

Con las operaciones aritméticas definidas anteriormente,${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ni siquiera es un semigrupo , y mucho menos un grupo , un anillo o un cuerpo como en el caso de${\displaystyle \mathbb {R} }$Sin embargo, posee varias propiedades convenientes:

• ${\displaystyle a+(b+c)}$y${\displaystyle (a+b)+c}$son iguales o ambas indefinidas.
• ${\displaystyle a+b}$y${\displaystyle b+a}$son iguales o ambas indefinidas.
• ${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)}$y${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c}$son iguales o ambas indefinidas.
• ${\displaystyle a\cdot b}$y${\displaystyle b\cdot a}$son iguales o ambos indefinidos
• ${\displaystyle a\cdot (b+c)}$y${\displaystyle (a\cdot b)+(a\cdot c)}$son iguales si ambas están definidas.
• Si${\displaystyle a\leq b}$y si ambos${\displaystyle a+c}$y${\displaystyle b+c}$se definen, entonces${\displaystyle a+c\leq b+c}$.
• Si${\displaystyle a\leq b}$y${\displaystyle c>0}$y si ambos${\displaystyle a\cdot c}$y${\displaystyle b\cdot c}$se definen, entonces${\displaystyle a\cdot c\leq b\cdot c}$.

En general, todas las leyes de la aritmética son válidas en${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$siempre y cuando todas las expresiones que aparezcan estén definidas.

Varias funciones pueden extenderse continuamente a${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$tomando límites. Por ejemplo, se pueden definir los puntos extremos de las siguientes funciones como:

${\displaystyle \exp(-\infty )=0}$,

${\displaystyle \ln(0)=-\infty }$,

${\displaystyle \tanh(\pm \infty )=\pm 1}$,

${\displaystyle \arctan(\pm \infty )=\pm {\frac {\pi }{2}}}$.

Algunas singularidades pueden eliminarse adicionalmente. Por ejemplo, la función${\displaystyle 1/x^{2}}$puede extenderse continuamente a${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$(según algunas definiciones de continuidad), estableciendo el valor en${\displaystyle +\infty }$para${\displaystyle x=0}$y 0 para${\displaystyle x=+\infty }$y${\displaystyle x=-\infty }$. Por otro lado, la función${\displaystyle 1/x}$no se puede extender continuamente, porque la función se acerca${\displaystyle -\infty }$como${\displaystyle x}$se aproxima a 0 desde abajo y${\displaystyle +\infty }$como${\displaystyle x}$se aproxima a 0 desde arriba, es decir, la función no converge al mismo valor que su variable independiente cuando se aproxima al mismo elemento del dominio tanto desde el lado de los valores positivos como negativos.

Un sistema de recta real similar pero diferente, la recta real extendida proyectivamente , no distingue entre${\displaystyle +\infty }$y${\displaystyle -\infty }$(es decir, infinito no tiene signo). ^{[ 4 ]} Como resultado, una función puede tener límite${\displaystyle \infty }$en la recta real extendida proyectivamente, mientras que en el sistema de números reales extendido solo el valor absoluto de la función tiene un límite, por ejemplo en el caso de la función${\displaystyle 1/x}$en${\displaystyle x=0}$. Por otro lado, en la recta real extendida proyectivamente,${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{f(x)}}$y${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{f(x)}}$corresponden a un límite por la derecha y otro por la izquierda, respectivamente, existiendo el límite completo solo cuando ambos son iguales. Por lo tanto, las funciones${\displaystyle e^{x}}$y${\displaystyle \arctan(x)}$no se puede hacer continuo en${\displaystyle x=\infty }$en la recta real extendida proyectivamente.

• División por cero
• Plano complejo extendido
• Números naturales extendidos
• Integral impropia
• Infinidad
• semianillo de tronco
• Series (matemáticas)
• Línea real extendida proyectivamente
• Representaciones informáticas de números reales extendidos, véase Aritmética de punto flotante §  Infinitos y punto flotante IEEE

• Aliprantis, Charalambos D.; Burkinshaw, Owen (1998), Principios de análisis real (3.ª  ed.), San Diego, CA: Academic Press, Inc., pág.  29, ISBN 0-12-050257-7, MR 1669668 
• David W. Cantrell. "Números reales extendidos afínmente" . MathWorld .