Generalizaciones de la derivada

En matemáticas , la derivada es una construcción fundamental del cálculo diferencial y admite muchas generalizaciones posibles dentro de los campos del análisis matemático , la combinatoria , el álgebra , la geometría , etc.

La derivada de Fréchet define la derivada para espacios vectoriales normados generales.${\displaystyle V,W}$. Brevemente, una función${\displaystyle f:U\to W}$, dónde${\displaystyle U}$es un subconjunto abierto de${\displaystyle V}$, se denomina diferenciable de Fréchet en${\displaystyle x\in U}$si existe un operador lineal acotado${\displaystyle A:V\to W}$de tal manera que $${\displaystyle \lim _{\|h\|\to 0}{\frac {\|f(x+h)-f(x)-Ah\|_{W}}{\|h\|_{V}}}=0.}$$

Las funciones se definen como diferenciables en algún entorno abierto de${\displaystyle x}$, en lugar de en puntos individuales, ya que no hacerlo tiende a conducir a muchos contraejemplos patológicos .

La derivada de Fréchet es bastante similar a la fórmula de la derivada que se encuentra en el cálculo elemental de una variable.$${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=A,}$$ y simplemente mueve A al lado izquierdo. Sin embargo, la derivada de Fréchet A denota la función${\displaystyle t\mapsto f'(x)\cdot t}$.

En cálculo multivariable , en el contexto de ecuaciones diferenciales definidas por una función vectorial R ⁿ a R ^m , la derivada de Fréchet A es un operador lineal en R considerado como un espacio vectorial sobre sí mismo, y corresponde a la mejor aproximación lineal de una función. Si tal operador existe, entonces es único y puede representarse mediante una matriz m × n conocida como la matriz jacobiana J _x (ƒ) de la aplicación ƒ en el punto x . Cada entrada de esta matriz representa una derivada parcial , que especifica la tasa de cambio de una coordenada de rango con respecto a un cambio en una coordenada de dominio. Por supuesto, la matriz jacobiana de la composición g _° f es un producto de matrices jacobianas correspondientes: J _x ( g _° f ) =J _{ƒ( x )} ( g )J _x (ƒ). Esta es una formulación de mayor dimensión de la regla de la cadena .

Para funciones de valor real de R ⁿ a R ( campos escalares ), la derivada de Fréchet corresponde a un campo vectorial llamado derivada total . Esto puede interpretarse como el gradiente , pero es más natural usar la derivada exterior .

La derivada convectiva tiene en cuenta los cambios debidos a la dependencia temporal y al movimiento a través del espacio a lo largo de un campo vectorial, y es un caso especial de la derivada total.

Para funciones vectoriales de R a R ⁿ (es decir, curvas paramétricas ), la derivada de Fréchet corresponde a derivar cada componente por separado. La derivada resultante se puede transformar en un vector. Esto resulta útil, por ejemplo, si la función vectorial representa el vector de posición de una partícula en el tiempo; en ese caso, la derivada representa el vector de velocidad de la partícula en el tiempo.

En el análisis complejo , los objetos centrales de estudio son las funciones holomorfas , que son funciones de valores complejos definidas sobre los números complejos donde existe la derivada de Fréchet.

En cálculo geométrico , la derivada geométrica satisface una forma más débil de la regla de Leibniz (del producto). Especializa la derivada de Fréchet a los objetos del álgebra geométrica. El cálculo geométrico es un formalismo poderoso que ha demostrado abarcar marcos similares a los de las formas diferenciales y la geometría diferencial. ^{[ 1 ]}

En el álgebra exterior de formas diferenciales sobre una variedad diferenciable , la derivada exterior es la única aplicación lineal que satisface una versión graduada de la ley de Leibniz y cuyo cuadrado es cero. Es una derivación de grado 1 en el álgebra exterior. En R ³ , el gradiente , el rotacional y la divergencia son casos especiales de la derivada exterior. Una interpretación intuitiva del gradiente es que apunta "hacia arriba": en otras palabras, apunta en la dirección de mayor incremento de la función. Se puede usar para calcular derivadas direccionales de funciones escalares o direcciones normales. La divergencia proporciona una medida de la cantidad de "fuente" o "sumidero" cerca de un punto. Se puede usar para calcular el flujo mediante el teorema de la divergencia . El rotacional mide la cantidad de " rotación " que tiene un campo vectorial cerca de un punto.

La derivada de Lie es la tasa de cambio de un campo vectorial o tensorial con respecto al flujo de otro campo vectorial. En campos vectoriales, es un ejemplo de corchete de Lie (los campos vectoriales forman el álgebra de Lie del grupo de difeomorfismos de la variedad). Es una derivación de grado 0 en el álgebra.

Junto con el producto interior (una derivación de grado -1 en el álgebra exterior definida por contracción con un campo vectorial), la derivada exterior y la derivada de Lie forman una superálgebra de Lie .

En topología diferencial , un campo vectorial puede definirse como una derivación en el anillo de funciones suaves sobre una variedad , y un vector tangente puede definirse como una derivación en un punto. Esto permite la abstracción de la noción de derivada direccional de una función escalar a variedades generales. Para variedades que son subconjuntos de R ⁿ , este vector tangente coincidirá con la derivada direccional .

El diferencial o avance de un mapa entre variedades es el mapa inducido entre los espacios tangentes de esas variedades. Abstrae la matriz jacobiana .

En geometría diferencial , la derivada covariante permite elegir la forma de calcular las derivadas direccionales de campos vectoriales a lo largo de curvas . Esto extiende la derivada direccional de funciones escalares a secciones de fibrados vectoriales o fibrados principales . En geometría riemanniana , la existencia de una métrica determina una única derivada covariante sin torsión preferida, conocida como la conexión de Levi-Civita . Véase también derivada covariante de gauge para un tratamiento orientado a la física.

La derivada covariante exterior extiende la derivada exterior a formas con valores vectoriales.

Dada una función${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$que es localmente integrable , pero no necesariamente diferenciable clásicamente, una derivada débil puede definirse mediante integración por partes . Primero definimos funciones de prueba, que son funciones infinitamente diferenciables y con soporte compacto.${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$y multiíndices , que son de longitud${\displaystyle n}$listas de números enteros${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$con${\textstyle |\alpha |:=\sum _ {1}^{n}\alpha _ {i}}$. Aplicado a funciones de prueba,${\textstyle D^{\alpha }\varphi$ :={\frac {\partial ^{|\alpha |}\varphi }{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dotsm x_{n}^{\alpha _{n}}}}} . Entonces el${\textstyle \alpha ^{\text{th}}}$derivada débil de${\displaystyle u}$existe si hay una función${\displaystyle v:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$de tal manera que para todas las funciones de prueba${\displaystyle \varphi }$, tenemos

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}u\ D^{\alpha }\!\varphi \ dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\mathbb {R} ^{n}}v\ \varphi \ dx}$

Si existe tal función, entonces${\displaystyle D^{\alpha }u:=v}$, que es única en casi todas partes . Esta definición coincide con la derivada clásica para funciones${\displaystyle u\in C^{|\alpha |}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$y pueden extenderse a un tipo de funciones generalizadas llamadas distribuciones , el espacio dual de funciones de prueba. Las derivadas débiles son particularmente útiles en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales y en ciertas áreas del análisis funcional.

En los números reales se puede iterar el proceso de diferenciación, es decir, aplicar derivadas más de una vez, obteniendo derivadas de segundo orden y de orden superior. También se pueden definir derivadas de orden superior para funciones de varias variables, estudiadas en el cálculo multivariable . En este caso, en lugar de aplicar repetidamente la derivada, se aplican repetidamente derivadas parciales con respecto a diferentes variables. Por ejemplo, las derivadas parciales de segundo orden de una función escalar de n variables se pueden organizar en una matriz de n × n , la matriz hessiana . Uno de los puntos sutiles es que las derivadas de orden superior no están intrínsecamente definidas y dependen de la elección de las coordenadas de una manera compleja (en particular, la matriz hessiana de una función no es un tensor ). Sin embargo, las derivadas de orden superior tienen aplicaciones importantes en el análisis de extremos locales de una función en sus puntos críticos . Para una aplicación avanzada de este análisis a la topología de variedades , véase la teoría de Morse .

Además de las derivadas de orden n para cualquier número natural n , existen diversas formas de definir derivadas de órdenes fraccionarios o negativos, las cuales se estudian en el cálculo fraccionario . La derivada de orden −1 corresponde a la integral, de donde proviene el término diferintegral .

En el análisis cuaterniónico , las derivadas se pueden definir de manera similar a las funciones reales y complejas. Dado que los cuaterniones${\displaystyle \mathbb {H} }$Como no son conmutativas, el límite del cociente de diferencias produce dos derivadas diferentes: una derivada por la izquierda.

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left[h^{-1}\left(f(a+h)-f(a)\right)\right]}$

y una derivada derecha

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left[\left(f(a+h)-f(a)\right)h^{-1}\right].}$

La existencia de estos límites son condiciones muy restrictivas. Por ejemplo, si${\displaystyle f:\mathbb {H} \to \mathbb {H} }$tiene derivadas izquierdas en cada punto de un conjunto abierto conexo${\displaystyle U\subset \mathbb {H} }$, entonces${\displaystyle f(q)=a+qb}$para${\displaystyle a,b\in \mathbb {H} }$.

• La q-derivada de una función se define mediante la fórmula$${\displaystyle D_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.}$$Para x distinto de cero, si f es una función diferenciable de x, entonces en el límite cuando q → 1 obtenemos la derivada ordinaria; por lo tanto, la q -derivada puede considerarse como su q-deformación . Un gran número de resultados del cálculo diferencial ordinario, como la fórmula binomial y la expansión de Taylor , tienen q -análogos naturales que se descubrieron en el siglo XIX, pero que permanecieron relativamente desconocidos durante gran parte del siglo XX, fuera de la teoría de funciones especiales . El progreso de la combinatoria y el descubrimiento de los grupos cuánticos han cambiado drásticamente la situación, y la popularidad de los q -análogos está en aumento.
• El operador de diferencias de las ecuaciones en diferencias es otro análogo discreto de la derivada estándar.$${\displaystyle \Delta f(x)=f(x+1)-f(x)}$$
• La q-derivada, el operador de diferencia y la derivada estándar pueden considerarse como lo mismo en diferentes escalas de tiempo . Por ejemplo, tomando${\displaystyle \varepsilon =(q-1)x}$, podemos tener$${\displaystyle {\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}={\frac {f(x+\varepsilon )-f(x)}{\varepsilon }}.}$$La q-derivada es un caso especial de la diferencia de Hahn , ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\frac {f(qx+\omega )-f(x)}{qx+\omega -x}}.}$$La diferencia de Hahn no es solo una generalización de la q-derivada, sino también una extensión de la diferencia hacia adelante.
• También tenga en cuenta que la q-derivada no es más que un caso especial de la derivada conocida. Por ejemplo:${\displaystyle z=qx}$. Luego tenemos,$${\displaystyle \lim _{z\to x}{\frac {f(z)-f(x)}{zx}}=\lim _{q\to 1}{\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}=\lim _{q\to 1}{\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.}$$

En álgebra, se pueden obtener generalizaciones de la derivada imponiendo la regla de diferenciación de Leibniz en una estructura algebraica, como un anillo o un álgebra de Lie .

Un operador diferencial combina varias derivadas, posiblemente de diferentes órdenes, en una expresión algebraica. Esto es especialmente útil al considerar ecuaciones diferenciales lineales ordinarias con coeficientes constantes. Por ejemplo, si f ( x ) es una función dos veces diferenciable de una variable, la ecuación diferencial${\displaystyle f''+2f'-3f=4x-1}$puede ser reescrito en la forma ${\displaystyle L(f)=4x-1}$, dónde $${\displaystyle L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+2{\frac {d}{dx}}-3}$$ es un operador diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes que actúa sobre funciones de x . La idea clave aquí es que consideramos una combinación lineal particular de derivadas de orden cero, primero y segundo "a la vez". Esto nos permite pensar en el conjunto de soluciones de esta ecuación diferencial como una "antiderivada generalizada" de su lado derecho 4 x  − 1, por analogía con la integración  ordinaria , y escribir formalmente $${\displaystyle f(x)=L^{-1}(4x-1).}$$

La combinación de derivadas de diferentes variables da lugar a la noción de operador diferencial parcial . El operador lineal que asigna a cada función su derivada es un ejemplo de operador diferencial en un espacio de funciones . Mediante la transformada de Fourier , se pueden definir operadores pseudodiferenciales que permiten el cálculo fraccional.

Algunos de estos operadores son tan importantes que tienen sus propios nombres:

• El operador de Laplace o laplaciano en R ³ es un operador diferencial parcial de segundo orden Δ dado por la divergencia del gradiente de una función escalar de tres variables, o explícitamente como$${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.}$$Se pueden definir operadores análogos para funciones de cualquier número de variables.
• El operador d'Alembertiano u operador de onda es similar al laplaciano, pero actúa sobre funciones de cuatro variables. Su definición utiliza el tensor métrico indefinido del espacio de Minkowski , en lugar del producto escalar euclidiano de R³ ^:$${\displaystyle \square ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}.}$$
• La derivada de Schwarz es un operador diferencial no lineal que describe cómo una función compleja se aproxima mediante una aplicación lineal fraccionaria , de forma muy similar a como una derivada normal describe cómo una función se aproxima mediante una aplicación lineal.
• Las derivadas de Wirtinger son un conjunto de operadores diferenciales que permiten la construcción de un cálculo diferencial para funciones complejas que es totalmente análogo al cálculo diferencial ordinario para funciones de variables reales.

En análisis funcional , la derivada funcional define la derivada con respecto a una función de un funcional en un espacio de funciones. Esta es una extensión de la derivada direccional a un espacio vectorial de dimensión infinita . Un caso importante es la derivada variacional en el cálculo de variaciones .

La subderivada y el subgradiente son generalizaciones de la derivada a funciones convexas utilizadas en el análisis convexo.

En álgebra conmutativa , las diferenciales de Kähler son derivaciones universales de un anillo o módulo conmutativo . Se pueden usar para definir un análogo de la derivada exterior de la geometría diferencial que se aplica a variedades algebraicas arbitrarias , en lugar de solo a variedades diferenciables.

En el análisis p-ádico , la definición habitual de derivada no es lo suficientemente fuerte, y en su lugar se requiere una diferenciabilidad estricta .

La derivada de Gateaux extiende la derivada de Fréchet a espacios vectoriales topológicos localmente convexos . La diferenciabilidad de Fréchet es una condición estrictamente más fuerte que la diferenciabilidad de Gateaux, incluso en dimensiones finitas. Entre los dos extremos se encuentra la cuasi-derivada .

En la teoría de la medida , la derivada de Radon-Nikodym generaliza el jacobiano , utilizado para variables cambiantes, a medidas. Expresa una medida μ en términos de otra medida ν (bajo ciertas condiciones).

La H -derivada es una noción de derivada en el estudio de espacios de Wiener abstractos y el cálculo de Malliavin . Se utiliza en el estudio de procesos estocásticos .

Los laplacianos y las ecuaciones diferenciales que utilizan el laplaciano pueden definirse en fractales . No existe un análogo completamente satisfactorio de la derivada de primer orden o del gradiente. ^{[ 5 ]}

La derivada de Carlitz es una operación similar a la diferenciación usual, pero con el contexto habitual de números reales o complejos cambiado a campos locales de característica positiva en forma de series de Laurent formales con coeficientes en algún campo finito F _q (se sabe que cualquier campo local de característica positiva es isomorfo a un campo de series de Laurent). Junto con análogos adecuadamente definidos para la función exponencial , logaritmos y otros, la derivada puede usarse para desarrollar nociones de suavidad, analicidad, integración, series de Taylor, así como una teoría de ecuaciones diferenciales. ^{[ 6 ]}

Es posible combinar dos o más de las nociones de extensión o abstracción de la derivada original mencionadas anteriormente. Por ejemplo, en la geometría de Finsler se estudian espacios que se asemejan localmente a espacios de Banach . Por lo tanto, se podría desear una derivada con algunas de las características de una derivada funcional y de la derivada covariante .

El cálculo multiplicativo reemplaza la suma por la multiplicación, y por lo tanto, en lugar de trabajar con el límite de una razón de diferencias, trabaja con el límite de una exponenciación de razones. Esto permite el desarrollo de la derivada geométrica y la derivada bigeométrica. Además, al igual que el operador diferencial clásico tiene un análogo discreto, el operador de diferencias, también existen análogos discretos de estas derivadas multiplicativas .

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