Derivada topológica

La derivada topológica se puede aplicar a problemas de optimización de forma en mecánica estructural. ^{[ 3 ]} La derivada topológica puede considerarse como el límite singular de la derivada de forma. Es una generalización de esta herramienta clásica en la optimización de forma. ^{[ 4 ]} La optimización de forma se ocupa de encontrar una forma óptima. Es decir, encontrar${\displaystyle \Omega }$para minimizar alguna función objetivo de valor escalar ,${\displaystyle J(\Omega )}$. La técnica de derivada topológica se puede acoplar con el método de conjunto de nivel . ^{[ 5 ]}

En 2005, se halló la expansión asintótica topológica para la ecuación de Laplace con respecto a la inserción de una pequeña grieta dentro de un dominio plano. Esta permite detectar y localizar grietas para un problema modelo simple: la ecuación de calor en estado estacionario con el flujo de calor impuesto y la temperatura medida en el contorno. ^{[ 6 ]} La derivada topológica se desarrolló completamente para una amplia gama de operadores diferenciales de segundo orden y, en 2011, se aplicó al problema de flexión de placas de Kirchhoff con un operador de cuarto orden. ^{[ 7 ]}

En el campo del procesamiento de imágenes, en 2006, la derivada topológica se utilizó para realizar la detección de bordes y la restauración de imágenes . Se estudia el impacto de una grieta aislante en el dominio. La sensibilidad topológica proporciona información sobre los bordes de la imagen. El algoritmo presentado no es iterativo y, gracias al uso de métodos espectrales, tiene un tiempo de cálculo corto. ^{[ 8 ]} Solo${\displaystyle O(Nlog(N))}$Se necesitan operaciones para detectar bordes, donde${\displaystyle N}$es el número de píxeles. ^{[ 9 ]} Durante los años siguientes, se han considerado otros problemas: clasificación, segmentación , relleno y superresolución . ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]} Este enfoque se puede aplicar a imágenes en escala de grises o en color. ^{[ 14 ]} Hasta 2010, se utilizó la difusión isotrópica para reconstrucciones de imágenes. El gradiente topológico también puede proporcionar orientación de borde y esta información se puede utilizar para realizar difusión anisotrópica . ^{[ 15 ]}

En 2012, se presenta un marco general para reconstruir una imagen.${\displaystyle u\in L^{2}(\Omega )}$dadas algunas observaciones ruidosas${\displaystyle Lu+n}$en un espacio de Hilbert${\displaystyle E}$dónde${\displaystyle \Omega }$es el dominio donde se encuentra la imagen${\displaystyle u}$está definido. ^{[ 13 ]} El espacio de observación${\displaystyle E}$Depende de la aplicación específica, así como del operador de observación lineal.${\displaystyle L:L^{2}(\Omega )\rightarrow E}$. La norma en el espacio${\displaystyle E}$es${\displaystyle \|.\|_{E}}$La idea para recuperar la imagen original es minimizar la siguiente función para${\displaystyle u\in H^{1}(\Omega )}$:

${\displaystyle \|C^{1/2}\nabla u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}+\|Lu-v\|_{E}^{2}}$

dónde${\displaystyle C}$es un tensor definido positivo. El primer término de la ecuación asegura que la imagen recuperada${\displaystyle u}$es regular, y el segundo término mide la discrepancia con los datos. En este marco general, se pueden realizar diferentes tipos de reconstrucción de imágenes, como ^{[ 13 ].}

• eliminación de ruido de imágenes con${\displaystyle E=L^{2}(\Omega )}$y${\displaystyle Lu=u}$,
• eliminación de ruido y desenfoque de imágenes con${\displaystyle E=L^{2}(\Omega )}$y${\displaystyle Lu=\phi \ast u}$con${\displaystyle \phi }$un desenfoque de movimiento o desenfoque gaussiano ,
• Relleno de imágenes con${\displaystyle E=L^{2}(\Omega \backslash \omega )}$y${\displaystyle Lu=u|_{\Omega \backslash \omega }}$, el subconjunto${\displaystyle \omega \subset \Omega }$es la región donde se debe recuperar la imagen.

En este marco, la expansión asintótica de la función de costo${\displaystyle J_{\Omega }(u_{\Omega })={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }u_{\Omega }^{2}}$En el caso de una grieta, proporciona la misma derivada topológica.${\displaystyle g(x,n)=-\pi c(\nabla u_{0}.n)(\nabla p_{0}.n)-\pi (\nabla u_{0}.n)^{2}}$dónde${\displaystyle n}$es lo normal para la grieta y${\displaystyle c}$un coeficiente de difusión constante. Las funciones${\displaystyle u_{0}}$y${\displaystyle p_{0}}$son soluciones de los siguientes problemas directos y adjuntos. ^{[ 13 ]}

${\displaystyle -\nabla (c\nabla u_{0})+L^{*}Lu_{0}=L^{*}v}$en${\displaystyle \Omega }$y${\displaystyle \partial _{n}u_{0}=0}$en${\displaystyle \partial \Omega }$

${\displaystyle -\nabla (c\nabla p_{0})+L^{*}Lp_{0}=\Delta u_{0}}$en${\displaystyle \Omega }$y${\displaystyle \partial _{n}p_{0}=0}$en${\displaystyle \partial \Omega }$

Gracias al gradiente topológico, es posible detectar los bordes y su orientación, y definir un gradiente adecuado.${\displaystyle C}$para el proceso de reconstrucción de la imagen. ^{[ 13 ]}

En el procesamiento de imágenes, también se han estudiado las derivadas topológicas en el caso de un ruido multiplicativo de ley gamma o en presencia de estadística poissoniana. ^{[ 16 ]}

En 2009, el método del gradiente topológico se aplicó a la reconstrucción tomográfica . ^{[ 17 ]} También se investigó el acoplamiento entre la derivada topológica y el conjunto de nivel en esta aplicación. ^{[ 18 ]} En 2023, la derivada topológica se utilizó para optimizar formas para la renderización inversa. ^{[ 19 ]}

En 2025, los investigadores extendieron el enfoque de derivada topológica al problema de optimización de la arquitectura de redes neuronales ^{[ 20 ]} . Desarrollaron un algoritmo con fundamentos matemáticos para aumentar progresivamente la profundidad de una red neuronal durante el proceso de entrenamiento. Su método introdujo una función de forma que depende de la topología de la red neuronal y definió una derivada topológica discreta para redes neuronales. También se investigó la conexión entre esta derivada topológica discreta y el hamiltoniano, desde la perspectiva del control óptimo del entrenamiento de redes neuronales. El enfoque proporcionó expresiones analíticas para la derivada topológica discreta, que luego se utilizaron para determinar dónde insertar una nueva capa en la red y cómo inicializar sus parámetros (pesos y sesgos).