Optimización topológica

La optimización topológica es un método matemático que optimiza la disposición de los materiales dentro de un espacio de diseño determinado, para un conjunto específico de cargas , condiciones de contorno y restricciones , con el objetivo de maximizar el rendimiento del sistema. La optimización topológica se diferencia de la optimización de forma y de la optimización de tamaño en que el diseño puede adoptar cualquier forma dentro del espacio de diseño, en lugar de trabajar con configuraciones predefinidas.

La formulación convencional de optimización topológica utiliza el método de elementos finitos (MEF) para evaluar el rendimiento del diseño. El diseño se optimiza mediante técnicas de programación matemática basadas en gradientes, como el algoritmo de criterios de optimalidad y el método de asíntotas móviles , o mediante algoritmos no basados ​​en gradientes, como los algoritmos genéticos .

La optimización topológica tiene una amplia gama de aplicaciones en ingeniería aeroespacial, mecánica, bioquímica y civil. Actualmente, los ingenieros la utilizan principalmente en la fase conceptual del proceso de diseño . Debido a las formas libres que surgen de forma natural, el resultado suele ser difícil de fabricar. Por ello, el resultado obtenido mediante la optimización topológica se suele ajustar para facilitar su fabricación. Añadir restricciones a la formulación para mejorar la fabricabilidad es un campo de investigación activo. En algunos casos, los resultados de la optimización topológica pueden fabricarse directamente mediante fabricación aditiva ; por lo tanto, la optimización topológica es una parte fundamental del diseño para la fabricación aditiva .

Un problema de optimización topológica puede escribirse en la forma general de un problema de optimización como:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underset {\rho }{\operatorname {minimizar} }}&&F=F(\mathbf {u(\rho ),\rho } )=\int _{\Omega }f(\mathbf {u(\rho ),\rho } )\mathrm {d} V\\&\operatorname {sujeto\;a} &&G_{0}(\rho )=\int _{\Omega }\rho \mathrm {d} V-V_{0}\leq 0\\&&&G_{j}(\mathbf {u} (\rho ),\rho )\leq 0{\text{ con }}j=1,...,m.\end{aligned}}}$

El enunciado del problema incluye lo siguiente:

• Una función objetivo . Esta función representa la cantidad que se minimiza para obtener el mejor rendimiento. La función objetivo más común es la flexibilidad , donde minimizarla conlleva maximizar la rigidez de una estructura.${\displaystyle F(\mathbf {u(\rho ),\rho } )}$
• La distribución del material como variable del problema. Esto se describe mediante la densidad del material en cada ubicación, . El material está presente, indicado por un 1, o ausente, indicado por un 0. es un campo de estado que satisface una ecuación de estado lineal o no lineal dependiendo de .${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} (\mathbf {\rho } )}$${\displaystyle \rho }$
• El espacio de diseño indica el volumen admisible dentro del cual puede existir el diseño. Los requisitos de ensamblaje y embalaje, así como la accesibilidad para personas y herramientas, son algunos de los factores que deben considerarse para identificar este espacio. Al definir el espacio de diseño, las regiones o componentes del modelo que no pueden modificarse durante el proceso de optimización se consideran regiones que no forman parte del diseño.${\displaystyle (\Omega )}$
• ${\displaystyle m}$Las restricciones son características que debe satisfacer la solución. Algunos ejemplos son la cantidad máxima de material a distribuir (restricción de volumen) o los valores máximos de tensión.${\displaystyle G_{j}(\mathbf {u} (\rho ),\rho )\leq 0}$

La evaluación suele implicar la resolución de una ecuación diferencial . Esto se realiza con mayor frecuencia mediante el método de elementos finitos , ya que estas ecuaciones no tienen ninguna solución analítica conocida. ${\displaystyle \mathbf {u(\rho )} }$

Existen diversas metodologías de implementación que se han utilizado para resolver problemas de optimización topológica.

La resolución de problemas de optimización topológica en un sentido discreto se realiza discretizando el dominio de diseño en elementos finitos. Las densidades de material dentro de estos elementos se tratan entonces como las variables del problema. En este caso, una densidad de material de 1 indica la presencia de material, mientras que 0 indica su ausencia. Debido a que la complejidad topológica alcanzable del diseño depende del número de elementos, se prefiere un número grande. Un gran número de elementos finitos aumenta la complejidad topológica alcanzable, pero tiene un costo. En primer lugar, resolver el sistema de elementos finitos se vuelve más costoso. En segundo lugar, no existen algoritmos que puedan manejar un gran número (varios miles de elementos no es raro) de variables discretas con múltiples restricciones. Además, son impracticablemente sensibles a las variaciones de los parámetros. ^{[ 1 ]} En la literatura, se han reportado problemas con hasta 30 000 variables. ^{[ 2 ]}

The aforementioned complexities with solving topology optimization problems using binary variables has caused the community to search for other options. One is the modelling of the densities with continuous variables. The material densities can now also attain values between 0 and 1. Gradient-based algorithms that handle large amounts of continuous variables and multiple constraints are available. But the material properties have to be modelled in a continuous setting. This is done through interpolation. One of the most implemented interpolation methodologies is the Solid Isotropic Material with Penalisation method (SIMP).^[3][4] This interpolation is essentially a power law: ${\displaystyle E\;=\;E_{0}\,+\,\rho ^{p}(E_{1}-E_{0})}$. It interpolates the Young's modulus of the material to the scalar selection field. The value of the penalisation parameter ${\displaystyle p}$ is generally taken between ${\displaystyle [1,\,3]}$. This has been shown to confirm the micro-structure of the materials.^[5] In the SIMP method, a lower bound on the Young's modulus is added, ${\displaystyle E_{0}}$, to make sure that the derivatives of the objective function are non-zero when the density becomes zero. The higher the penalisation factor, the more SIMP penalises the algorithm in the use of non-binary densities. Unfortunately, the penalisation parameter also introduces non-convexities.^[6]

There are several commercial topology-optimization softwares on the market. Most of them use topology optimization as a hint to how the optimal design should look, and manual geometry re-construction is required. There are a few solutions which produce optimal designs ready for additive manufacturing.^[7]

Una estructura rígida es aquella que presenta el menor desplazamiento posible bajo ciertas condiciones de contorno. Una medida global de los desplazamientos es la energía de deformación (también llamada compliancia ) de la estructura bajo dichas condiciones. Cuanto menor sea la energía de deformación, mayor será la rigidez de la estructura. Por lo tanto, la función objetivo del problema es minimizar la energía de deformación.

En términos generales, se puede observar que a mayor cantidad de material, menor será la deflexión, ya que habrá más material para resistir las cargas. Por lo tanto, la optimización requiere una restricción opuesta: la restricción de volumen. En realidad, esto representa un factor de costo, ya que no se desea gastar mucho dinero en el material. Para obtener el material total utilizado, se puede realizar una integración del campo de selección sobre el volumen.

Finalmente, se sustituyen las ecuaciones diferenciales que rigen la elasticidad para obtener el enunciado final del problema:

${\displaystyle \min _{\rho }\;\int _{\Omega }{\frac {1}{2}}\mathbf {\sigma } :\mathbf {\varepsilon } \,\mathrm {d} \Omega }$

sujeto a:

• ${\displaystyle \rho \,\in \,[0,\,1]}$
• ${\displaystyle \int _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} \Omega \;\leq \;V^{*}}$
• ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {\sigma } \,+\,\mathbf {F} \;=\;{\mathbf {0} }}$
• ${\displaystyle \mathbf {\sigma } \;=\;{\mathsf {C}}:\mathbf {\varepsilon } }$

Sin embargo, una implementación directa de dicho problema en el marco de elementos finitos sigue siendo inviable debido a problemas como los siguientes:

1. Dependencia de la malla: El diseño obtenido en una malla puede ser muy diferente del obtenido en otra. Las características del diseño se vuelven más complejas a medida que la malla se refina. ^{[ 8 ]}
2. Inestabilidades numéricas : un pequeño cambio en un parámetro de entrada puede producir un gran cambio en la solución calculada. ^{[ 9 ]}

Algunas técnicas, como el filtrado basado en el procesamiento de imágenes ^{[ 10 ]} , se utilizan actualmente para mitigar algunos de estos problemas. Si bien durante mucho tiempo pareció que se trataba de un enfoque puramente heurístico, se han establecido conexiones teóricas con la elasticidad no local para respaldar el sentido físico de estos métodos. ^{[ 11 ]}

La interacción fluido-estructura es un fenómeno fuertemente acoplado que se refiere a la interacción entre un fluido estacionario o en movimiento y una estructura elástica. Numerosas aplicaciones de ingeniería y fenómenos naturales están sujetos a interacciones fluido-estructura, por lo que considerar estos efectos es fundamental en el diseño de muchas aplicaciones de ingeniería. La optimización topológica para problemas de interacción fluido-estructura se ha estudiado, por ejemplo, en las referencias ^{[ 12 ] , [ 13 ], [ 14 ]} y ^{[ 15 ]} . A continuación se muestran las soluciones de diseño obtenidas para diferentes números de Reynolds . Estas soluciones dependen del flujo del fluido, lo que indica que el acoplamiento entre el fluido y la estructura se resuelve en los problemas de diseño.

Solución de diseño y campo de velocidad para Re=1

Solución de diseño y campo de velocidad para Re=5

Solución de diseño y campo de presión para Re=10

Solución de diseño y campo de presión para Re=40

Soluciones de diseño para diferentes números de Reynolds para una pared insertada en un canal con un fluido en movimiento.

La termoelectricidad es un fenómeno multifísico que concierne a la interacción y el acoplamiento entre la energía eléctrica y térmica en materiales semiconductores. La conversión de energía termoeléctrica puede describirse mediante dos efectos identificados por separado: el efecto Seebeck y el efecto Peltier . El efecto Seebeck se refiere a la conversión de energía térmica en energía eléctrica, y el efecto Peltier a la conversión de energía eléctrica en energía térmica. ^{[ 16 ]} Al distribuir espacialmente dos materiales termoeléctricos en un espacio de diseño bidimensional con una metodología de optimización topológica, ^{[ 17 ]} es posible superar el rendimiento de los materiales termoeléctricos constitutivos para refrigeradores y generadores termoeléctricos . ^{[ 18 ]}

La actual proliferación de la tecnología de impresión 3D ha permitido a diseñadores e ingenieros utilizar técnicas de optimización topológica en el diseño de nuevos productos. La optimización topológica combinada con la impresión 3D puede resultar en menor peso, mejor rendimiento estructural y un ciclo de diseño a fabricación más corto, ya que los diseños, si bien eficientes, podrían no ser viables con técnicas de fabricación más tradicionales.

El contacto interno puede incluirse en la optimización topológica mediante la aplicación del método de contacto de tercer medio . ^{[ 20 ] [ 21 ]} El método de contacto de tercer medio (TMC) es una formulación de contacto implícita que es continua y diferenciable. Esto hace que el TMC sea adecuado para su uso con enfoques basados ​​en gradientes para la optimización topológica. Los enfoques monolíticos ^{[ 22 ]} , así como los escalonados, ^{[ 19 ] [ 23 ]} que son más comunes en la optimización topológica, se han utilizado para crear varios diseños con contacto interno. Recientemente, el contacto térmico se ha incluido en el marco de optimización topológica TMC. ^{[ 24 ]}

• Diseño generativo

• Pedersen, Claus BW; Allinger, Peter (2006). «Implementación industrial y aplicaciones de la optimización topológica y necesidades futuras». Simposio IUTAM sobre optimización del diseño topológico de estructuras, máquinas y materiales . Mecánica de sólidos y sus aplicaciones. Vol. 137. Springer. pp.  229–238 . doi : 10.1007/1-4020-4752-5_23 . ISBN 978-1-4020-4729-9.
• Schramm, Uwe; Zhou, Ming (2006). «Desarrollos recientes en la implementación comercial de la optimización topológica». Simposio IUTAM sobre optimización del diseño topológico de estructuras, máquinas y materiales . Mecánica de sólidos y sus aplicaciones. Vol. 137. Springer. pp.  239–248 . doi : 10.1007/1-4020-4752-5_24 . ISBN 978-1-4020-4729-9.
• Mahdavi, A.; Balaji, R.; Frecker, M.; Mockensturm, EM (2006). "Optimización topológica de continuos 2D para cumplimiento mínimo mediante computación paralela". Optimización estructural y multidisciplinaria . 32 (2): 121– 132. doi : 10.1007/s00158-006-0006-1 . S2CID  61564700 .
• Leiva, Juan; Watson, Brian; Kosaka, Iku (1999). "Conceptos modernos de optimización estructural aplicados a la optimización topológica". 40.ª Conferencia y Exposición sobre Estructuras, Dinámica Estructural y Materiales . Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica. doi : 10.2514/6.1999-1388 .

• animaciones de optimización topológica