Método de asíntotas móviles

El método de asíntotas móviles (MMA) es un algoritmo de optimización desarrollado por Krister Svanberg en la década de 1980. Se utiliza principalmente para resolver problemas de programación no lineal , en particular aquellos relacionados con el diseño estructural y la optimización topológica . ^{[ 1 ]}

El método de asíntotas móviles (MMA) fue introducido por Krister Svanberg en un artículo de 1987 titulado "El método de asíntotas móviles: un nuevo método para la optimización estructural". ^{[ 2 ]} El método se propuso como una alternativa a los métodos de optimización tradicionales, ofreciendo un enfoque que podía manejar problemas a gran escala, especialmente en el ámbito del diseño estructural. En 1993, Svanberg publicó otro artículo que añadía algunas extensiones al método, incluyendo formulaciones minimax y métodos duales de primer y segundo orden para resolver subproblemas. ^{[ 3 ]} Zillober propuso otra versión que converge globalmente. ^{[ 4 ]}

El método de asíntotas móviles funciona como un esquema iterativo. La idea clave detrás del MMA es aproximar las restricciones no lineales originales y la función objetivo con una aproximación convexa más simple. Esta aproximación se representa mediante restricciones lineales y una función objetivo convexa. ^{[ 2 ]}

Partiendo de una estimación inicial, cada iteración consta de los siguientes pasos:

Paso I

Dado un punto de iteración${\displaystyle x^{(k)}}$calcular${\displaystyle f_{i}(x^{(k)})}$y los gradientes${\displaystyle \nabla f_{i}(x^{(k)})}$para${\displaystyle i=0,1,\dots ,m}$.

Paso II

Generar un subproblema${\displaystyle P^{(k)}}$reemplazando, en${\displaystyle P}$, las funciones (generalmente implícitas)${\displaystyle f_{i}}$mediante la aproximación de funciones explícitas${\displaystyle f_{i}^{(k)}}$, basándose en los cálculos del Paso I.

Paso III

Resolver${\displaystyle P^{(k)}}$y sea la solución óptima de este subproblema el siguiente punto de iteración.${\displaystyle x^{(k+1)}}$. Dejar${\displaystyle k=k+1}$y volver al Paso I hasta la convergencia.

Las asíntotas móviles funcionan como un mecanismo adaptativo. Se desplazan y cambian con cada iteración, acercándose progresivamente a la solución óptima. Esto garantiza que las aproximaciones sean cada vez más precisas a medida que avanza el algoritmo. ^{[ 2 ]}

El método de las asíntotas móviles se ha aplicado ampliamente en diversos campos, entre ellos: ^{[ 1 ]}

1. Optimización estructural : Diseño de estructuras de celosía, vigas, placas y láminas.
2. Optimización aeroelástica : Diseño de alas de aeronaves y otros componentes para reducir la resistencia aerodinámica, el peso y garantizar la integridad estructural.
3. Diseño de materiales : Optimización topológica para el diseño de materiales con las propiedades mecánicas deseadas.
4. Diseño de componentes mecánicos : Optimización de las piezas de la máquina para reducir el peso, aumentar la durabilidad y mejorar el rendimiento.

• Programación cuadrática secuencial
• Optimización topológica