Método de contacto con el tercer medio

TMC se basa en un modelo de material para el tercer medio, que se rigidiza bajo compresión. Los modelos de material más comúnmente aplicados son de tipo neo-Hookeano , caracterizados por una función de densidad de energía de deformación:

${\displaystyle W({\mathbf {u}})={\frac {K}{2}}({\text{ln}}|{\mathbf {F}}|)^{2}+{\frac {G}{2}}\left(|{\mathbf {F}}|^{-2/3}||{\mathbf {F}}||^{2}-3\right)}$,

dónde${\displaystyle K}$es el módulo de compresibilidad ,${\displaystyle G}$es el módulo de corte y${\displaystyle {\mathbf {F}}=\nabla {\mathbf {u}}+{\mathbf {I}}}$es el tensor gradiente de deformación del campo de desplazamiento${\displaystyle {\mathbf {u}}}$.

A medida que el volumen de material actual${\displaystyle |{\mathbf {F}}|}$Cuando el módulo de Young se aproxima a cero, este modelo de material se caracteriza por volverse infinitamente rígido. Por consiguiente, al comprimir el tercer medio, su volumen permanece positivo y finito. Esto garantiza que, si dos sólidos se encuentran incrustados en un tercer medio con módulos de compresibilidad y de cizallamiento significativamente menores, dicho tercer medio aún puede transferir fuerzas sustanciales para deformar los sólidos al comprimirse lo suficiente, ya que su rigidez se vuelve comparable a la de los sólidos incrustados.

Si bien el modelo de material neo-Hookeano puede ser estable para el contacto sin deslizamiento, este último suele provocar inestabilidad. Para solucionar este problema, se aplican técnicas de regularización a la función de densidad de energía de deformación.

La regularización se suele lograr añadiendo un término de regularización a la función de densidad de energía de deformación del modelo de material. Un enfoque común es la regularización de HuHu, ^{[ 1 ]} expresada como:

${\displaystyle \Psi ({\mathbf {u}})=W({\mathbf {u}})+\mathbb {H} {\mathbf {u}}\,{\boldsymbol {\scriptstyle {\vdots }}}\,\mathbb {H} {\mathbf {u}}}$,

dónde${\textstyle \Psi ({\mathbf {u}})}$representa la densidad de energía de deformación aumentada del tercer medio,${\textstyle \mathbb {H} {\mathbf {u}}\,{\boldsymbol {\scriptstyle {\vdots }}}\,\mathbb {H} {\mathbf {u}}}$es el término de regularización que representa el producto interno del Hessiano espacial de${\displaystyle {\mathbf {u}}}$por sí mismo y${\textstyle W({\mathbf {u}})}$es la densidad de energía de deformación subyacente del tercer medio, por ejemplo, un sólido neo-Hookeano u otro material hiperelástico .

La regularización HuHu fue el primer método de regularización desarrollado específicamente para TMC. Un refinamiento posterior se conoce como la regularización HuHu-LuLu, ^{[ 4 ]} expresada como:

${\displaystyle \Psi ({\mathbf {u}})=W({\mathbf {u}})+\mathbb {H} {\mathbf {u}}\,{\boldsymbol {\scriptstyle {\vdots }}}\,\mathbb {H} {\mathbf {u}}-{\dfrac {1}{\mathrm {Tr} ({\mathbf {I}})}}\mathbb {L} {\mathbf {u}}\cdot \mathbb {L} {\mathbf {u}}}$,

dónde${\displaystyle \mathbb {L} {\mathbf {u}}}$es el laplaciano del campo de desplazamiento${\displaystyle {\mathbf {u}}}$, y${\displaystyle {\text{Tr}}({\mathbf {I}})}$es la traza de la matriz identidad correspondiente a la dimensión del problema (2D o 3D). ^{[ 4 ]} El término LuLu está diseñado para mitigar la penalización de las deformaciones de flexión y compresión cuadrática, manteniendo al mismo tiempo la penalización de las deformaciones de sesgo excesivas, preservando así las propiedades estabilizadoras de la regularización HuHu. Esta penalización reducida en las deformaciones de flexión mejora la precisión del modelado de contactos curvos, particularmente beneficiosa cuando se utilizan mallas de elementos finitos gruesas. De manera similar, la penalización reducida en la compresión cuadrática es ventajosa en aplicaciones de optimización topológica, donde los elementos finitos con densidades de material variables experimentan una compresión no uniforme.

Un enfoque de regularización alternativo y más complejo implica penalizar el cambio de volumen y las rotaciones, propuesto inicialmente por Faltus et al. ^{[ 9 ].} Este enfoque requiere una mayor extensión a aplicaciones 3D. Una mejora posterior de Wriggers et al. ^{[ 15 ]} utiliza directamente el tensor de rotación.${\displaystyle {\mathbf {R}}}$en lugar de la aproximación utilizada en Faltus et al. ^{[ 9 ]} .

La integración de la fricción en el método TMC representa un avance significativo en la simulación de condiciones de contacto realistas, superando las limitaciones previas para replicar escenarios del mundo real. Actualmente, solo existe un método para añadir fricción. Este método introduce tensión cortante en el contacto y la libera mediante deslizamiento plástico si este se está deslizando.

Cuando se utiliza un modelo de material neo-Hookeano para representar el tercer medio, este presenta una rigidez mucho mayor en compresión que en cizallamiento durante el contacto. Para solucionar esto y proporcionar resistencia al cizallamiento, se incorpora un término anisotrópico al modelo de material neo-Hookeano. Esta modificación genera rápidamente esfuerzos cortantes en las regiones comprimidas del tercer medio, lo cual es crucial para modelar con precisión el contacto por fricción.

En esta formulación, la expresión de la densidad de energía de deformación extendida con el término de corte añadido es:

${\displaystyle W_{ext}({\mathbf {u}})=W({\mathbf {u}})+{\dfrac {\beta }{2}}\left({\mathbf {C}}_{e}:({\mathbf {s}}_{0}\otimes {\mathbf {n}}_{0})\right)^{2}}$,

dónde:

• ${\displaystyle \beta }$es un parámetro de escala,
• ${\displaystyle {\mathbf {s}}_{0}}$es un vector unitario paralelo a la dirección de deslizamiento,
• ${\displaystyle {\mathbf {n}}_{0}}$es un vector unitario perpendicular a la interfaz de contacto, y
• ${\displaystyle {\mathbf {C}}_{e}={\mathbf {F}}_{e}^{T}\cdot {\mathbf {F}}_{e}}$es el tensor de Cauchy-Green derecho de la deformación elástica.

La extensión de corte funciona penalizando la contribución en${\displaystyle {\mathbf {C}}_{e}}$asociado con el corte en la dirección del deslizamiento${\displaystyle {\mathbf {s}}_{0}}$.

Para liberar las tensiones de corte al inicio del deslizamiento, se emplea un marco teórico inspirado en la plasticidad cristalina . Este incluye un criterio de fluencia diseñado específicamente para replicar los efectos de la fricción de Coulomb. Este marco permite que el modelo simule el inicio del deslizamiento cuando la tensión de corte, proporcionada por el término anisotrópico añadido, supera un cierto umbral, imitando eficazmente el comportamiento friccional del mundo real. El criterio de fluencia, basado en el modelo de fricción de Coulomb, determina cuándo se produce el deslizamiento, que comienza cuando la tensión de corte supera un valor crítico.