Módulo volumétrico

El módulo volumétrico ( o módulo de compresión ) de una sustancia es una medida de la resistencia de una sustancia a la compresión volumétrica . Se define como la relación entre el aumento infinitesimal de la presión y la disminución relativa resultante del volumen . ^[1]${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización k}$

Otros módulos describen la respuesta del material ( deformación ) a otros tipos de tensión : el módulo de corte describe la respuesta a la tensión de corte , y el módulo de Young describe la respuesta a la tensión normal (estiramiento longitudinal). Para un fluido , solo el módulo volumétrico es significativo. Para un sólido anisotrópico complejo como la madera o el papel , estos tres módulos no contienen suficiente información para describir su comportamiento, y se debe utilizar la ley de Hooke generalizada completa. El recíproco del módulo volumétrico a temperatura fija se llama compresibilidad isotérmica .

El módulo volumétrico (que normalmente es positivo) se puede definir formalmente mediante la ecuación ${\estilo de visualización K}$

${\displaystyle K=-V{\frac {dP}{dV}},}$

donde es la presión, es el volumen inicial de la sustancia y denota la derivada de la presión con respecto al volumen. Como el volumen es inversamente proporcional a la densidad, se deduce que ${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización dP/dV}$

${\displaystyle K=\rho {\frac {dP}{d\rho }},}$

donde es la densidad inicial y denota la derivada de la presión con respecto a la densidad. La inversa del módulo volumétrico da la compresibilidad de una sustancia . Generalmente, el módulo volumétrico se define a temperatura constante como el módulo volumétrico isotérmico, pero también se puede definir a entropía constante como el módulo volumétrico adiabático . ${\estilo de visualización \rho}$${\estilo de visualización dP/d\rho}$

En sentido estricto, el módulo volumétrico es una magnitud termodinámica y, para especificarlo, es necesario especificar cómo varía la presión durante la compresión: temperatura constante (isotérmica ), entropía constante ( isoentrópica ) y otras variaciones son posibles. Estas distinciones son especialmente relevantes para los gases . $Estilo de visualización K_{T}}$ $Estilo de visualización K_{S}$

Para un gas ideal , un proceso isentrópico tiene:

${\displaystyle PV^{\gamma }={\text{constante}}\Rightarrow P\propto \left({\frac {1}{V}}\right)^{\gamma }\propto \rho ^{\ gama },}$

donde es la relación de capacidad térmica . Por lo tanto, el módulo volumétrico isentrópico viene dado por ${\estilo de visualización \gamma}$$Estilo de visualización K_{S}$

${\displaystyle K_{S}=\gamma P.}$

De manera similar, un proceso isotérmico de un gas ideal tiene:

${\displaystyle PV={\text{constante}}\Rightarrow P\propto {\frac {1}{V}}\propto \rho ,}$

Por lo tanto, el módulo volumétrico isotérmico viene dado por $Estilo de visualización K_{T}}$

$Estilo de visualización K_{T}=P$.

Cuando el gas no es ideal, estas ecuaciones dan sólo una aproximación del módulo volumétrico. En un fluido, el módulo volumétrico y la densidad determinan la velocidad del sonido ( ondas de presión ), según la fórmula de Newton-Laplace. ${\estilo de visualización K}$ ${\estilo de visualización \rho}$ ${\estilo de visualización c}$

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {K}{\rho }}}.}$

En los sólidos, y tienen valores muy similares. Los sólidos también pueden soportar ondas transversales : para estos materiales se necesita un módulo elástico adicional , por ejemplo el módulo de corte, para determinar las velocidades de las ondas. $Estilo de visualización K_{S}$$Estilo de visualización K_{T}}$

Es posible medir el módulo volumétrico mediante difracción de polvos bajo presión aplicada. Es una propiedad de un fluido que muestra su capacidad de cambiar su volumen bajo presión.

Un material con un módulo volumétrico de 35 GPa pierde el uno por ciento de su volumen cuando se somete a una presión externa de 0,35 GPa (~3500 bar ) (se supone un módulo volumétrico constante o débilmente dependiente de la presión).

Como la elasticidad lineal es un resultado directo de la interacción interatómica, está relacionada con la extensión/compresión de los enlaces. Luego, se puede derivar del potencial interatómico para materiales cristalinos. ^[9] Primero, examinemos la energía potencial de dos átomos que interactúan. Partiendo de puntos muy lejanos, sentirán una atracción mutua. A medida que se acerquen, su energía potencial disminuirá. Por otro lado, cuando dos átomos están muy cerca uno del otro, su energía total será muy alta debido a la interacción repulsiva. Juntos, estos potenciales garantizan una distancia interatómica que alcanza un estado de energía mínima. Esto ocurre a cierta distancia a ₀ , donde la fuerza total es cero:

${\displaystyle F=-{\parcial U \sobre \parcial r}=0}$

Donde U es el potencial interatómico y r es la distancia interatómica. Esto significa que los átomos están en equilibrio.

Para extender el enfoque de los dos átomos al sólido, considere un modelo simple, digamos, una matriz unidimensional de un elemento con una distancia interatómica de a, y la distancia de equilibrio es a _0. Su relación de energía potencial-distancia interatómica tiene una forma similar a la del caso de los dos átomos, que alcanza un mínimo en a _0. La expansión de Taylor para esto es:

${\displaystyle u(a)=u(a_{0})+\left({\partial u \sobre \parcial r}\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})+{1 \sobre 2}\left({\partial ^{2} \sobre \parcial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})^{2}+O\left((a-a_{0})^{3}\right)}$

En el equilibrio, la primera derivada es cero, por lo que el término dominante es el cuadrático. Cuando el desplazamiento es pequeño, se deben omitir los términos de orden superior. La expresión queda así:

${\displaystyle u(a)=u(a_{0})+{1 \sobre 2}\left({\parcial ^{2} \sobre \parcial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})^{2}}$

${\displaystyle F(a)=-{\parcial u \sobre \parcial r}=\left({\parcial ^{2} \sobre \parcial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})}$

Lo cual es claramente una elasticidad lineal.

Nótese que la derivación se realiza considerando dos átomos vecinos, por lo que el coeficiente de Hook es:

${\displaystyle K=a_{0}{dF \sobre dr}=a_{0}\left({\partial ^{2} \sobre \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}}$

Esta forma se puede extender fácilmente al caso 3-D, con volumen por átomo (Ω) en lugar de la distancia interatómica.

${\displaystyle K=\Omega _{0}\left({\parcial ^{2} \sobre \parcial \Omega ^{2}}u\right)_{\Omega =\Omega _{0}}}$

• Tensor de elasticidad
• Deformación volumétrica

• De Jong, Maarten; Chen, Wei (2015). "Gráfico de las propiedades elásticas completas de compuestos cristalinos inorgánicos". Scientific Data . 2 : 150009. Bibcode :2013NatSD...2E0009D. doi :10.1038/sdata.2015.9. PMC  4432655 . PMID  25984348.