Subderivada

En matemáticas , la subderivada (o subgradiente ) generaliza la derivada a funciones convexas que no son necesariamente diferenciables . El conjunto de subderivadas en un punto se denomina subgradiente en ese punto. ^{[ 1 ]} Las subderivadas surgen en el análisis convexo , el estudio de las funciones convexas , a menudo en relación con la optimización convexa .

Dejar${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$Sea una función convexa de valores reales definida en un intervalo abierto de la recta real. Dicha función no necesita ser diferenciable en todos los puntos: por ejemplo, la función de valor absoluto .${\displaystyle f(x)=|x|}$no es diferenciable cuando${\displaystyle x=0}$. Sin embargo, como se ve en el gráfico de la derecha (donde${\displaystyle f(x)}$en azul tiene kinks no diferenciables similares a la función de valor absoluto), para cualquier${\displaystyle x_{0}}$En el dominio de la función se puede trazar una línea que pasa por el punto${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$y que está en todas partes tocando o por debajo de la gráfica de f . La pendiente de dicha línea se llama subderivada .

Rigurosamente, una subderivada de una función convexa${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$en un punto${\displaystyle x_{0}}$en el intervalo abierto${\displaystyle I}$es un número real${\displaystyle c}$de tal manera que$${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq c(x-x_{0})}$$a pesar de${\displaystyle x\in I}$. Por el recíproco del teorema del valor medio , el conjunto de subderivadas en${\displaystyle x_{0}}$para una función convexa es un intervalo cerrado no vacío${\displaystyle [a,b]}$, dónde${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son los límites unilaterales$${\displaystyle a=\lim _{x\to x_{0}^{-}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}},}$$$${\displaystyle b=\lim _{x\to x_{0}^{+}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}.}$$El intervalo${\displaystyle [a,b]}$de todas las subderivadas se llama subgradiente de la función${\displaystyle f}$en${\displaystyle x_{0}}$, denotado por${\displaystyle \partial f(x_{0})}$. Si${\displaystyle f}$es convexa, entonces su subgradiente en cualquier punto no es vacío. Además, si su subgradiente en${\displaystyle x_{0}}$contiene exactamente una subderivada, entonces${\displaystyle f}$es diferenciable en${\displaystyle x_{0}}$y${\displaystyle \partial f(x_{0})=\{f'(x_{0})\}}$. ^{[ 2 ]}

Consideremos la función${\displaystyle f(x)=|x|}$que es convexa. Entonces, el subgradiente en el origen es el intervalo${\displaystyle [-1,1]}$. El subgradiente en cualquier punto${\displaystyle x_{0}<0}$es el conjunto unitario${\displaystyle \{-1\}}$, mientras que el subgradiente en cualquier punto${\displaystyle x_{0}>0}$es el conjunto unitario${\displaystyle \{1\}}$. Esto es similar a la función signo , pero no es unívoca en${\displaystyle 0}$, incluyendo en su lugar todas las subderivadas posibles.

En términos más generales, si${\displaystyle f(x)=\|x\|}$es una norma en un espacio normado${\displaystyle X}$, entonces para${\displaystyle x\neq 0}$,

${\displaystyle \partial f(x)=\{x^{*}\in X^{*}:\langle x^{*},x\rangle =\|x\|,\ \|x^{*}\|_{*}=1\},}$

mientras

${\displaystyle \partial f(0)=\{x^{*}\in X^{*}:\|x^{*}\|_{*}\leq 1\}.}$

• Una función convexa${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$es diferenciable en${\displaystyle x_{0}}$si y solo si el subgradiente es un conjunto unitario, que es${\displaystyle \{f'(x_{0})\}}$.
• Un punto${\displaystyle x_{0}}$es un mínimo global de una función convexa${\displaystyle f}$si y solo si el cero está contenido en el subgradiente. Por ejemplo, en la figura anterior, se puede trazar una "línea subtangente" horizontal a la gráfica de${\displaystyle f}$en${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$Esta última propiedad es una generalización del hecho de que la derivada de una función diferenciable en un mínimo local es cero.
• Si${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$son funciones convexas con subgradientes${\displaystyle \partial f(x)}$y${\displaystyle \partial g(x)}$con${\displaystyle x}$siendo el punto interior de una de las funciones, entonces el subgradiente de${\displaystyle f+g}$es${\displaystyle \partial (f+g)(x)=\partial f(x)+\partial g(x)}$(donde el operador de suma denota la suma de Minkowski ). Esto se lee como "el subgradiente de una suma es la suma de los subgradientes". ^{[ 3 ]}

Los conceptos de subderivada y subgradiente pueden generalizarse a funciones de varias variables. Si${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$es una función convexa de valores reales definida en un conjunto abierto convexo en el espacio euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, un vector${\displaystyle v}$en ese espacio se llama subgradiente en${\displaystyle x_{0}\in U}$si por alguna razón${\displaystyle x\in U}$uno tiene eso

${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq v\cdot (x-x_{0}),}$

donde el punto denota el producto escalar . El conjunto de todos los subgradientes en${\displaystyle x_{0}}$se llama subgradiente en${\displaystyle x_{0}}$y se denota${\displaystyle \partial f(x_{0})}$. El subgradiente es siempre un conjunto compacto convexo no vacío .

Estos conceptos se generalizan aún más a las funciones convexas.${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$en un conjunto convexo en un espacio localmente convexo${\displaystyle V}$. Un funcional${\displaystyle v^{*}}$en el espacio dual${\displaystyle V^{*}}$se denomina subgradiente en${\displaystyle x_{0}}$en${\displaystyle U}$si para todos${\displaystyle x\in U}$,

${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq v^{*}(x-x_{0}).}$

El conjunto de todos los subgradientes en${\displaystyle x_{0}}$se llama subgradiente en${\displaystyle x_{0}}$y se denota nuevamente${\displaystyle \partial f(x_{0})}$El subgradiente es siempre un conjunto cerrado convexo . Puede ser un conjunto vacío; considérese, por ejemplo, un operador no acotado , que es convexo, pero no tiene subgradiente. Si${\displaystyle f}$es continua, el subgradiente no es vacío.

Para una función convexa propia${\displaystyle f:X\to (-\infty ,+\infty ]}$En un espacio localmente convexo, el subgradiente se puede caracterizar utilizando el conjugado convexo . La desigualdad de Fenchel-Young establece que

${\displaystyle f(x)+f^{*}(x^{*})\geq \langle x^{*},x\rangle }$

a pesar de${\displaystyle x\in X}$y${\displaystyle x^{*}\in X^{*}}$La igualdad se cumple si y solo si${\displaystyle x^{*}}$es un subgradiente de${\displaystyle f}$en${\displaystyle x}$; eso es,

${\displaystyle x^{*}\in \partial f(x)}$

si y solo si

${\displaystyle f(x)+f^{*}(x^{*})=\langle x^{*},x\rangle .}$

De forma equivalente,

${\displaystyle \partial f(x)=\{x^{*}\in X^{*}:\langle x^{*},x\rangle -f(x)=f^{*}(x^{*})\}.}$

Geométricamente, esto dice que la función afín

${\displaystyle z\mapsto \langle x^{*},z\rangle -f^{*}(x^{*})}$

apoya${\displaystyle f}$desde abajo en${\displaystyle x}$. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

El subgradiente en funciones convexas fue introducido por Jean Jacques Moreau y R. Tyrrell Rockafellar a principios de la década de 1960. El subgradiente generalizado para funciones no convexas fue introducido por Francis H. Clarke y R. Tyrrell Rockafellar a principios de la década de 1980. ^{[ 6 ]}

• Derivada débil
• Método de subgradiente
• Derivada generalizada de Clarke

• Borwein, Jonathan; Lewis, Adrian S. (2010). Análisis convexo y optimización no lineal  : teoría y ejemplos (2.ª  ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-31256-9.
• Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude (2001). Fundamentos del análisis convexo . Saltador. ISBN 3-540-42205-6.
• Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970], Análisis convexo , Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-01586-6.
• Zălinescu, C. (2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . World Scientific Publishing  Co.,  Inc. pp.  xx+367. ISBN 981-238-067-1. SR 1921556 . 

• "Usos de${\displaystyle \lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}}$Stack Exchange . 18 de septiembre de 2011 .