Derivada aritmética

En teoría de números , la derivada aritmética de Lagarias o derivada de número es una función definida para números enteros , basada en la factorización prima , por analogía con la regla del producto para la derivada de una función que se utiliza en el análisis matemático .

Existen muchas versiones de "derivadas aritméticas", incluida la analizada en este artículo (la derivada aritmética de Lagarias), como la derivada aritmética de Ihara y las derivadas aritméticas de Buium.

La derivada aritmética fue introducida por el matemático español José Mingot Shelley en 1911. ^{[1] [2]} La derivada aritmética también apareció en el Concurso Putnam de 1950. ^[3]

Para los números naturales n , la derivada aritmética D ( n ) ^{[nota 1]} se define de la siguiente manera:

• D ( p ) = 1 para cualquier primo p .
• D ( mn ) = D ( m ) n + mD ( n ) para cualquier( regla de Leibniz ).${\displaystyle m,n\in \mathbb {N}}$

Edward J. Barbeau extendió el dominio a todos los números enteros al demostrar que la opción D (− n ) = − D ( n ) extiende de manera única el dominio a los números enteros y es consistente con la fórmula del producto. Barbeau también lo extendió a los números racionales , al demostrar que la conocida regla del cociente da una derivada bien definida en : ${\displaystyle \mathbb {Q}}$

${\displaystyle D\!\left({\frac {m}{n}}\right)={\frac {D(m)n-mD(n)}{n^{2}}}.}$^{[4] [5]}

Victor Ufnarovski y Bo Åhlander lo ampliaron a los irracionales que pueden escribirse como el producto de primos elevados a potencias racionales arbitrarias, lo que permite calcular expresiones como . ^[6]${\displaystyle D({\sqrt {3}}\,)}$

La derivada aritmética también puede extenderse a cualquier dominio de factorización único (UFD), ^[6] como los enteros de Gauss y los enteros de Eisenstein , y su cuerpo asociado de fracciones . Si el UFD es un anillo polinomial , entonces la derivada aritmética es la misma que la derivación sobre dicho anillo polinomial. Por ejemplo, la derivada regular es la derivada aritmética para los anillos de funciones polinomiales y racionales reales y complejas univariadas , lo que puede demostrarse utilizando el teorema fundamental del álgebra .

La derivada aritmética también se ha extendido al anillo de números enteros módulo n . ^[7]

La regla de Leibniz implica que D (0) = 0 (tome m = n = 0 ) y D (1) = 0 (tome m = n = 1 ).

La regla de la potencia también es válida para la derivada aritmética. Para cualquier número entero k y n ≥ 0 :

${\displaystyle D(k^{n})=nk^{n-1}D(k).}$

Esto permite calcular la derivada de la factorización prima de un entero (en la que es la valoración p -ádica de x ): ${\textstyle x=\prod \limits _{p\in \mathbb {P} }p^{n_{p}}}$${\textstyle n_{p}=\nu _{p}(x)}$

${\displaystyle D(x)=\sum \limits _{p\in \mathbb {P} }n_{p}\,p^{n_{p}-1}D(p)=\sum _{\stackrel {p\vert x}{p\in \mathbb {P} }}n_{p}{\frac {x}{p}}D(p)=x\sum _{\stackrel {p\vert x}{p\in \mathbb {P} }}{\frac {n_{p}}{p}}D(p)}$.

Esto demuestra que si se conoce la derivada de todos los números primos, entonces la derivada se conoce completamente. De hecho, la familia de derivadas parciales aritméticas relativas al número primo , definida por para todos los primos , excepto para para el cual es una base del espacio de derivadas. Nótese que, para esta derivada, tenemos . ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial p}}}$${\textstyle p}$${\textstyle {\frac {\partial }{\partial p}}(q)=0}$${\textstyle q}$${\textstyle q=p}$${\textstyle {\frac {\partial }{\partial p}}(p)=1}$${\displaystyle {\frac {\parcial x}{\parcial p}}=n_{p}{\frac {x}{p}}}$

Generalmente, se toma la derivada tal que para todos los primos p , de modo que ${\textstyle D(p)=1}$

${\displaystyle D=\suma \límites _{p\in \mathbb {P} }{\frac {\parcial }{\parcial p}}{\text{, y }}D(x)=x\suma \límites _{p\in \mathbb {P} }{\frac {n_{p}}{p}}}$.

Con esta derivada tenemos por ejemplo:

${\displaystyle D(60)=D(2^{2}\cdot 3\cdot 5)=60\cdot \left({\frac {2}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)=92,}$

o

${\displaystyle D(81)=D(3^{4})=4\cdot 3^{3}\cdot D(3)=4\cdot 27\cdot 1=108.}$

Y comienza la secuencia de derivadas de números para x = 0, 1, 2, … (secuencia A003415 en la OEIS ):

${\displaystyle 0,0,1,1,4,1,5,1,12,6,7,1,16,1,9,\lpuntos}$

La derivada logarítmica es una función totalmente aditiva :${\displaystyle \operatorname {ld} (x)={\frac {D(x)}{x}}=\sum _{\stackrel {p\,\mid \,x}{p\in \mathbb {P} }}{\frac {\nu _{p}(x)}{p}}}$${\displaystyle \operatorname {ld} (x\cdot y)=\operatorname {ld} (x)+\operatorname {ld} (y).}$

La derivada parcial aritmética de con respecto a se define como Por lo tanto, la derivada aritmética de se da como${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$${\displaystyle D_{p}(x)={\frac {\nu _{p}(x)}{p}}x.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle D(x)=\sum _{\stackrel {p\,\mid \,x}{p\in \mathbb {P} }}D_{p}(x).}$

Una función aritmética es aditiva según Leibniz si existe una función totalmente multiplicativa tal que para todos los números enteros positivos y . Una motivación para este concepto es el hecho de que las funciones aditivas según Leibniz son generalizaciones de la derivada aritmética ; es decir, es aditiva según Leibniz con . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h_{f}}$${\displaystyle f(mn)=f(m)h_{f}(n)+f(n)h_{f}(m)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle h_{D}(n)=n}$

La función dada en la Sección 3.5 del libro de Sandor y Atanassov es, de hecho, exactamente la misma que la derivada aritmética habitual . ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle D}$

EJ Barbeau examinó los límites de la derivada aritmética ^[8] y encontró que

${\displaystyle D(n)\leq {\frac {n\log _{2}n}{2}}}$

y

${\displaystyle D(n)\geq \Omega (n)\,n^{\frac {\Omega (n)-1}{\Omega (n)}}}$

donde Ω( n ) , una función omega prima , es el número de factores primos en n . En ambos límites anteriores, la igualdad siempre ocurre cuando n es una potencia de 2 .

Dahl, Olsson y Loiko encontraron que la derivada aritmética de los números naturales está limitada por ^[9]

${\displaystyle D(n)\leq {\frac {n\log _{p}n}{p}}}$

donde p es el menor primo en n y la igualdad se cumple cuando n es una potencia de p .

Alexander Loiko, Jonas Olsson y Niklas Dahl descubrieron que es imposible encontrar límites similares para la derivada aritmética extendida a números racionales al demostrar que entre dos números racionales cualesquiera hay otros racionales con derivadas arbitrarias grandes o pequeñas (nótese que esto significa que la derivada aritmética no es una función continua de a ). ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Tenemos

${\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {D(n)}{n}}=T_{0}x+O(\log x\log \log x)}$

y

${\displaystyle \sum _{n\leq x}D(n)=\left({\frac {1}{2}}\right)T_{0}x^{2}+O(x^{1+\delta })}$

para cualquier δ  > 0, donde

${\displaystyle T_{0}=\sum _{p}{\frac {1}{p(p-1)}}.}$

Victor Ufnarovski y Bo Åhlander han detallado la conexión de la función con famosas conjeturas de teoría de números como la conjetura de los primos gemelos , la conjetura de los triples primos y la conjetura de Goldbach . Por ejemplo, la conjetura de Goldbach implicaría, para cada k > 1 la existencia de un n tal que D ( n ) = 2 k . La conjetura de los primos gemelos implicaría que hay infinitos k para los cuales D ² ( k ) = 1 . ^[6]

• Función aritmética
• Derivación (álgebra diferencial)
• p -derivación

• Barbeau, EJ (1961). "Observaciones sobre una derivada aritmética". Canadian Mathematical Bulletin . 4 (2): 117–122. doi : 10.4153/CMB-1961-013-0 . Zbl  0101.03702.
• Ufnarovski, Victor; Åhlander, Bo (2003). "Cómo diferenciar un número". Journal of Integer Sequences . 6 . Artículo 03.3.4. ISSN  1530-7638. Zbl  1142.11305.
• Derivada aritmética , Planet Math , consultado el 9 de abril de 2008 a las 04:15 (UTC)
• L. Westrick (2003). Investigaciones de la derivada de números .
• Peterson, I. Math Trek: Derivación de la estructura de los números .
• Stay, Michael (2005). "Derivadas de números generalizados". Journal of Integer Sequences . 8 . Artículo 05.1.4. arXiv : math/0508364 . ISSN  1530-7638. Zbl  1065.05019.
• Dahl N., Olsson J., Loiko A., Investigación de las propiedades de la derivada aritmética .
• Balzarotti, Giorgio; Lava, Paolo Pietro (2013). La derivata aritmetica. Allascoperta di un nuovo appproccio alla teoria dei numeri . Milán: Hoepli. ISBN 978-88-203-5864-8.
• Sandor, Jozsef; Atanassov, Krassimir (2021). Funciones aritméticas, Sección 3.5 . Nova Science Publishers.

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