p -derivación

En matemáticas , más concretamente en álgebra diferencial , una p- derivación (donde p es un número primo ) en un anillo R es una aplicación de R a R que satisface ciertas condiciones que se describen a continuación. La noción de p -derivación está relacionada con la de derivación en álgebra diferencial.

Sea p un número primo. Una p -derivación o derivada de Buium en un anillo${\displaystyle R}$es un mapa${\displaystyle \delta :R\to R}$que satisface la siguiente " regla del producto ":

${\displaystyle \delta _{p}(ab)=\delta _{p}(a)b^{p}+a^{p}\delta _{p}(b)+p\delta _{p}(a)\delta _{p}(b)}$

y "regla de suma":

${\displaystyle \delta _{p}(a+b)=\delta _{p}(a)+\delta _{p}(b)+{\frac {a^{p}+b^{p}-(a+b)^{p}}{p}},}$

así como

${\displaystyle \delta _ {p}(1)=0.}$

Nótese que en la "regla de la suma" en realidad no estamos dividiendo por p , ya que todos los coeficientes binomiales relevantes en el numerador son divisibles por p , por lo que esta definición se aplica en el caso en que${\displaystyle R}$tiene p - torsión .

Un mapa${\displaystyle \sigma :R\to R}$es una elevación del endomorfismo de Frobenius proporcionado${\displaystyle \sigma (x)=x^{p}{\pmod {pR}}}$Un ejemplo de este tipo de elevación podría encontrarse en el mapa de Artin .

Si${\displaystyle (R,\delta )}$es un anillo con una p -derivación, entonces el mapa${\displaystyle \sigma (x):=x^{p}+p\delta (x)}$define un endomorfismo de anillos que es una elevación del endomorfismo de Frobenius. Cuando el anillo R es p - libre de torsión, la correspondencia es una biyección .

• Para${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$La p -derivación única es el mapa

${\displaystyle \delta (x)={\frac {xx^{p}}{p}}.}$

El cociente está bien definido gracias al pequeño teorema de Fermat .

• Si R es cualquier anillo libre de torsión p y${\displaystyle \sigma :R\to R}$es una elevación del endomorfismo de Frobenius entonces

${\displaystyle \delta (x)={\frac {\sigma (x)-x^{p}}{p}}}$

define una p -derivación.

• Vector de Witt
• Derivada aritmética
• Derivación
• Cociente de Fermat

• Buium, Alex (1989), Ecuaciones diferenciales aritméticas , Encuestas y monografías matemáticas, Springer-Verlag, ISBN 0-8218-3862-8.
• Jack Jeffries: "Diferenciación mediante números primos", Notices of AMS, (dic., 2023)

• Proyecto Euclides