Función aditiva

En teoría de números , unUna función aditiva es una función aritmética f ( n ) de la variable entera positiva n tal que siempre que a y b sean coprimos , la función aplicada al producto ab es la suma de los valores de la función aplicada a a y b : ^{[ 1 ]}$${\displaystyle f(ab)=f(a)+f(b).}$$ De ello se deduce que para cualquier función aditiva,${\displaystyle f(1)=0}$.

Se dice que una función aditiva f ( n ) es completamente aditiva si${\displaystyle f(ab)=f(a)+f(b)}$Se cumple para todos los enteros positivos a y b , incluso cuando no son coprimos. El término «totalmente aditivo» también se utiliza en este sentido por analogía con las funciones totalmente multiplicativas .

Toda función completamente aditiva es aditiva, pero no al revés.

Ejemplos de funciones aritméticas que son completamente aditivas son:

• La restricción de la función logarítmica a${\displaystyle \mathbb {N} .}$
• La multiplicidad de un factor primo p en n , es decir, el mayor exponente m para el cual p ^m divide a n .
• a ₀ ( n ) – la suma de primos que dividen a n contando la multiplicidad, a veces llamada sopfr( n ), la potencia de n o el logaritmo entero de n (secuencia A001414 en la OEIS ) . Por ejemplo:

a ₀ (4) = 2 + 2 = 4

a ₀ (20) = a ₀ (2 ² · 5) = 2 + 2 + 5 = 9

a ₀ (27) = 3 + 3 + 3 = 9

a ₀ (144) = a ₀ (2 ⁴ · 3 ² ) = a ₀ (2 ⁴ ) + a ₀ (3 ² ) = 8 + 6 = 14

a ₀ (2000) = a ₀ (2 ⁴ · 5 ³ ) = a ₀ (2 ⁴ ) + a ₀ (5 ³ ) = 8 + 15 = 23

a ₀ (2003) = 2003

a ₀ (54.032.858.972.279) = 1.240.658

a ₀ (54.032.858.972.302) = 1780417

a ₀ (20.802.650.704.327.415) = 1.240.681

• La función Ω( n ), definida como el número total de factores primos de n , contando múltiples factores varias veces, a veces llamada la "función Omega grande" (secuencia A001222 en la OEIS ) . Por ejemplo;

Ω(1) = 0, ya que 1 no tiene factores primos.

Ω(4) = 2

Ω(16) = Ω(2·2·2·2) = 4

Ω(20) = Ω(2·2·5) = 3

Ω(27) = Ω(3·3·3) = 3

Ω(144) = Ω(2 ⁴ · 3 ² ) = Ω(2 ⁴ ) + Ω(3 ² ) = 4 + 2 = 6

Ω(2000) = Ω(2 ⁴ · 5 ³ ) = Ω(2 ⁴ ) + Ω(5 ³ ) = 4 + 3 = 7

Ω(2001) = 3

Ω(2002) = 4

Ω(2003) = 1

Ω(54.032.858.972.279) = Ω(11 ⋅ 1993 ² ⋅ 1236661) = 4

Ω(54.032.858.972.302) = Ω(2 ⋅ 7 ² ⋅ 149 ⋅ 2081 ⋅ 1778171) = 6

Ω(20,802,650,704,327,415) = Ω(5 ⋅ 7 ⋅ 11 ² ⋅ 1993 ² ⋅ 1236661) = 7.

Ejemplos de funciones aritméticas que son aditivas pero no completamente aditivas son:

• ω( n ), definido como el número total de factores primos distintos de n (secuencia A001221 en la OEIS ) . Por ejemplo:

ω(4) = 1

ω(16) = ω(2 ⁴ ) = 1

ω(20) = ω(2 ² · 5) = 2

ω(27) = ω(3 ³ ) = 1

ω(144) = ω(2 ⁴ · 3 ² ) = ω(2 ⁴ ) + ω(3 ² ) = 1 + 1 = 2

ω(2000) = ω(2 ⁴ · 5 ³ ) = ω(2 ⁴ ) + ω(5 ³ ) = 1 + 1 = 2

ω(2001) = 3

ω(2002) = 4

ω(2003) = 1

ω(54.032.858.972.279) = 3

ω(54.032.858.972.302) = 5

ω(20.802.650.704.327.415) = 5

• a ₁ ( n ) – la suma de los números primos distintos que dividen a n , a veces llamada sopf( n ) (secuencia A008472 en la OEIS ) . Por ejemplo:

a ₁ (1) = 0

a ₁ (4) = 2

a ₁ (20) = 2 + 5 = 7

a ₁ (27) = 3

a ₁ (144) = a ₁ (2 ⁴ · 3 ² ) = a ₁ (2 ⁴ ) + a ₁ (3 ² ) = 2 + 3 = 5

a ₁ (2000) = a ₁ (2 ⁴ · 5 ³ ) = a ₁ (2 ⁴ ) + a ₁ (5 ³ ) = 2 + 5 = 7

a ₁ (2001) = 55

a ₁ (2002) = 33

a ₁ (2003) = 2003

a ₁ (54.032.858.972.279) = 1.238.665

a ₁ (54.032.858.972.302) = 1780410

a ₁ (20.802.650.704.327.415) = 1.238.677

De cualquier función aditiva${\displaystyle f(n)}$es posible crear una función multiplicativa relacionada${\displaystyle g(n),}$que es una función con la propiedad de que siempre que${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son coprimos entonces: $${\displaystyle g(ab)=g(a)\times g(b).}$$ Un ejemplo de ello es${\displaystyle g(n)=2^{f(n)}.}$Igualmente si${\displaystyle f(n)}$es completamente aditivo, entonces${\displaystyle g(n)=2^{f(n)}}$es completamente multiplicativa. De forma más general, podríamos considerar la función${\displaystyle g(n)=c^{f(n)}}$, dónde${\displaystyle c}$es una constante real distinta de cero.

Dada una función aditiva${\displaystyle f}$, sea su función sumativa definida por${\textstyle {\mathcal {M}}_{f}(x):=\sum _{n\leq x}f(n)}$. El promedio de${\displaystyle f}$se da exactamente como $${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}(x)=\sum _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha })\left(\left\lfloor {\frac {x}{p^{\alpha }}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {x}{p^{\alpha +1}}}\right\rfloor \right).}$$

Las funciones sumativas sobre${\displaystyle f}$puede expandirse como${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}(x)=xE(x)+O({\sqrt {x}}\cdot D(x))}$dónde $${\displaystyle {\begin{aligned}E(x)&=\sum _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha })p^{-\alpha }(1-p^{-1})\\D^{2}(x)&=\sum _{p^{\alpha }\leq x}|f(p^{\alpha })|^{2}p^{-\alpha }.\end{aligned}}}$$

El promedio de la función${\displaystyle f^{2}}$También se expresa mediante estas funciones como $${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f^{2}}(x)=xE^{2}(x)+O(xD^{2}(x)).}$$

Siempre hay una constante absoluta${\displaystyle C_{f}>0}$de tal manera que para todos los números naturales${\displaystyle x\geq 1}$, $${\displaystyle \sum _{n\leq x}|f(n)-E(x)|^{2}\leq C_{f}\cdot xD^{2}(x).}$$

Dejar $${\displaystyle \nu (x;z):={\frac {1}{x}}\#\!\left\{n\leq x:{\frac {f(n)-A(x)}{B(x)}}\leq z\right\}\!.}$$

Supongamos que${\displaystyle f}$es una función aditiva con${\displaystyle -1\leq f(p^{\alpha })=f(p)\leq 1}$ de tal manera que como${\displaystyle x\rightarrow \infty }$, $${\displaystyle B(x)=\sum _{p\leq x}f^{2}(p)/p\rightarrow \infty .}$$

Entonces${\displaystyle \nu (x;z)\sim G(z)}$dónde${\displaystyle G(z)}$es la función de distribución gaussiana$${\displaystyle G(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z}e^{-t^{2}/2}dt.}$$

Ejemplos de este resultado relacionados con la función omega prima y los números de divisores primos de primos desplazados incluyen los siguientes para fijos${\displaystyle z\in \mathbb {R} }$donde las relaciones se mantienen para${\displaystyle x\gg 1}$: $${\displaystyle \#\{n\leq x:\omega (n)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim xG(z),}$$$${\displaystyle \#\{p\leq x:\omega (p+1)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim \pi (x)G(z).}$$

• Aditividad sigma
• Función omega principal
• Función multiplicativa
• Función aritmética