Función omega principal

En teoría de números , las funciones omega primos y cuentan el número de factores primos de un número natural. Por lo tanto, (omega pequeño) cuenta cada factor primo distinto , mientras que la función relacionada (omega grande) cuenta el número total de factores primos de respetando su multiplicidad (ver función aritmética ). Es decir, si tenemos una factorización prima de de la forma para primos distintos ( ), entonces las respectivas funciones omega primos están dadas por y . Estas funciones de conteo de factores primos tienen muchas relaciones teóricas de números importantes. ${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle \Omega (n)}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle \Omega (n)}$${\estilo de visualización n,}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}}$$estilo de visualización p_{i}}$${\displaystyle 1\leq i\leq k}$${\displaystyle \omega(n)=k}$${\displaystyle \Omega (n)=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{k}}$

La función es aditiva y es completamente aditiva . ${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle \Omega (n)}$

${\displaystyle \omega (n)=\sum _{p\mid n}1}$

Si se divide al menos una vez lo contamos sólo una vez, por ejemplo . ${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega (12)=\omega (2^{2}3)=2}$

${\displaystyle \Omega (n)=\sum _{p^{\alpha }\mid n}1=\sum _{p^{\alpha }\parallel n}\alpha }$

Si se divide por entonces contamos los exponentes, por ejemplo . Como es habitual, la media es la potencia exacta de dividir . ${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha \geq 1}$${\displaystyle \Omega (12)=\Omega (2^{2}3^{1})=3}$${\displaystyle p^{\alpha }\parallel n}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Omega (n)\geq \omega (n)}$

Si entonces es libre de cuadrados y está relacionado con la función de Möbius por ${\displaystyle \Omega (n)=\omega (n)}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}}$

Si entonces es una potencia prima, y ​​si entonces es un número primo. ${\displaystyle \omega (n)=1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Omega (n)=1}$${\displaystyle n}$

Se sabe que la función divisor satisface . ^[1]${\displaystyle 2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n)}}$

Como ocurre con muchas funciones aritméticas, no existe una fórmula explícita para o pero existen aproximaciones. ${\displaystyle \Omega (n)}$${\displaystyle \omega (n)}$

Una serie asintótica para el orden promedio de está dada por ^[2]${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}\omega (k)\sim \log \log n+B_{1}+\sum _{k\geq 1}\left(\sum _{j=0}^{k-1}{\frac {\gamma _{j}}{j!}}-1\right){\frac {(k-1)!}{(\log n)^{k}}},}$

donde es la constante de Mertens y son las constantes de Stieltjes . ${\displaystyle B_{1}\approx 0.26149721}$${\displaystyle \gamma _{j}}$

La función está relacionada con las sumas de los divisores sobre la función de Möbius y la función divisor incluyendo las siguientes sumas. ^[3]${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}|\mu (d)|=2^{\omega (n)}}$es el número de divisores unitarios . OEIS : A034444

${\displaystyle \sum _{d\mid n}|\mu (d)|k^{\omega (d)}=(k+1)^{\omega (n)}}$

${\displaystyle \sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}=d(n^{2})}$

${\displaystyle \sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}d\left({\frac {n}{r}}\right)=d^{2}(n)}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}(-1)^{\omega (d)}=\prod \limits _{p^{\alpha }||n}(1-\alpha )}$

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},\ m_{1},m_{2}{\text{ odd}},m=\operatorname {lcm} (m_{1},m_{2})}$

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\operatorname {gcd} (k,m)=1}}\!\!\!\!1=n{\frac {\varphi (m)}{m}}+O\left(2^{\omega (m)}\right)}$

La función característica de los primos se puede expresar mediante una convolución con la función de Möbius : ^[4]

${\displaystyle \chi _{\mathbb {P} }(n)=(\mu \ast \omega )(n)=\sum _{d|n}\omega (d)\mu (n/d).}$

Una identidad exacta relacionada con la partición para se da por ^[5]${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle \omega (n)=\log _{2}\left[\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}\left(\sum _{d\mid k}\sum _{i=1}^{d}p(d-ji)\right)s_{n,k}\cdot |\mu (j)|\right],}$

donde es la función de partición , es la función de Möbius , y la secuencia triangular se expande por ${\displaystyle p(n)}$${\displaystyle \mu (n)}$${\displaystyle s_{n,k}}$

${\displaystyle s_{n,k}=[q^{n}](q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}=s_{o}(n,k)-s_{e}(n,k),}$

en términos del símbolo q-Pochhammer infinito y las funciones de partición restringidas que denotan respectivamente el número de 's en todas las particiones de en un número impar ( par ) de partes distintas. ^[6]${\displaystyle s_{o/e}(n,k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

Se ha encontrado una continuación de , aunque no es analítica en todas partes. ^[7] Nótese que se utiliza la función normalizada.${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle \operatorname {sinc} }$${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}$

${\displaystyle \omega (z)=\log _{2}\left(\sum _{n=1}^{\lceil Re(z)\rceil }\operatorname {sinc} \left(\prod _{m=1}^{\lceil Re(z)\rceil +1}\left(n^{2}+n-mz\right)\right)\right)}$

Esto está estrechamente relacionado con la siguiente identidad de partición. Considere particiones de la forma

${\displaystyle a={\frac {2}{c}}+{\frac {4}{c}}+\ldots +{\frac {2(b-1)}{c}}+{\frac {2b}{c}}}$

donde , , y son números enteros positivos, y . El número de particiones viene dado por . ^[8]${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a>b>c}$${\displaystyle 2^{\omega (a)}-2}$

Un orden medio de ambos es . Cuando es primo , un límite inferior del valor de la función es . De manera similar, si es primorial , entonces la función es tan grande como en orden medio. Cuando es una potencia de 2 , entonces . ^[9]${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle \Omega (n)}$${\displaystyle \log \log n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega (n)=1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega (n)\sim {\frac {\log n}{\log \log n}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Omega (n)\sim {\frac {\log n}{\log 2}}}$

Las asintóticas para las funciones sumatorias sobre , , y se calculan respectivamente en Hardy y Wright como ^{[10] [11]}${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle \Omega (n)}$${\displaystyle \omega (n)^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\leq x}\omega (n)&=x\log \log x+B_{1}x+o(x)\\\sum _{n\leq x}\Omega (n)&=x\log \log x+B_{2}x+o(x)\\\sum _{n\leq x}\omega (n)^{2}&=x(\log \log x)^{2}+O(x\log \log x)\\\sum _{n\leq x}\omega (n)^{k}&=x(\log \log x)^{k}+O(x(\log \log x)^{k-1}),k\in \mathbb {Z} ^{+},\end{aligned}}}$

donde es la constante de Mertens y la constante está definida por ${\displaystyle B_{1}\approx 0.2614972128}$${\displaystyle B_{2}}$

${\displaystyle B_{2}=B_{1}+\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{p(p-1)}}\approx 1.0345061758.}$

La suma del número de divisores unitarios :

${\displaystyle \sum _{n\leq x}2^{\omega (n)}=(x\log x)/\zeta (2)+O(x)}$^[12] (secuencia A064608 en la OEIS )

Otras sumas que relacionan las dos variantes de las funciones omega principales incluyen ^[13]

${\displaystyle \sum _{n\leq x}\left\{\Omega (n)-\omega (n)\right\}=O(x),}$

y

${\displaystyle \#\left\{n\leq x:\Omega (n)-\omega (n)>{\sqrt {\log \log x}}\right\}=O\left({\frac {x}{(\log \log x)^{1/2}}}\right).}$

En este ejemplo sugerimos una variante de las funciones sumatorias estimadas en los resultados anteriores para valores suficientemente grandes de . Luego demostramos una fórmula asintótica para el crecimiento de esta función sumatoria modificada derivada de la estimación asintótica de proporcionada en las fórmulas de la subsección principal de este artículo anterior. ^[14]${\displaystyle S_{\omega }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S_{\omega }(x)}$

Para ser completamente precisos, definamos la función sumatoria de índice impar como

${\displaystyle S_{\operatorname {odd} }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)[n{\text{ odd}}],}$

donde denota corchete de Iverson . Entonces tenemos que ${\displaystyle [\cdot ]}$

${\displaystyle S_{\operatorname {odd} }(x)={\frac {x}{2}}\log \log x+{\frac {(2B_{1}-1)x}{4}}+\left\{{\frac {x}{4}}\right\}-\left[x\equiv 2,3{\bmod {4}}\right]+O\left({\frac {x}{\log x}}\right).}$

La prueba de este resultado se obtiene observando primero que

${\displaystyle \omega (2n)={\begin{cases}\omega (n)+1,&{\text{if }}n{\text{ is odd; }}\\\omega (n),&{\text{if }}n{\text{ is even,}}\end{cases}}}$

y luego aplicar el resultado asintótico de Hardy y Wright para la función sumatoria sobre , denotada por , en la siguiente forma: ${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle S_{\omega }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{\omega }(x)&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{2}}\right\rfloor }\omega (2n)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor }\left(\omega (4n)+\omega (4n+2)\right)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor }\left(\omega (2n)+\omega (2n+1)+1\right)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+S_{\omega }\left(\left\lfloor {\frac {x}{2}}\right\rfloor \right)+\left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor .\end{aligned}}}$

Los cálculos ampliados en el Capítulo 22.11 de Hardy y Wright proporcionan estimaciones asintóticas para la función sumatoria

${\displaystyle \omega (n)\left\{\omega (n)-1\right\},}$

estimando el producto de estas dos funciones omega componentes como

${\displaystyle \omega (n)\left\{\omega (n)-1\right\}=\sum _{\stackrel {pq\mid n}{\stackrel {p\neq q}{p,q{\text{ prime}}}}}1=\sum _{\stackrel {pq\mid n}{p,q{\text{ prime}}}}1-\sum _{\stackrel {p^{2}\mid n}{p{\text{ prime}}}}1.}$

De manera similar, podemos calcular fórmulas asintóticas de manera más general para las funciones sumatorias relacionadas sobre los denominados momentos factoriales de la función . ${\displaystyle \omega (n)}$

Una serie de Dirichlet conocida que involucra a y la función zeta de Riemann se da por ^[15]${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}},\ \Re (s)>1.}$

También podemos ver que

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {z^{\omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {z}{p^{s}-1}}\right),|z|<2,\Re (s)>1,}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {z^{\Omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1-{\frac {z}{p^{s}}}\right)^{-1},|z|<2,\Re (s)>1,}$

La función es completamente aditiva , donde es fuertemente aditiva (aditiva) . Ahora podemos demostrar un lema breve en la siguiente forma que implica fórmulas exactas para las expansiones de la serie de Dirichlet sobre y : ${\displaystyle \Omega (n)}$${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle \Omega (n)}$

Lema. Supóngase que es una función aritmética fuertemente aditiva definida de modo que sus valores en potencias primos están dados por , es decir, para primos y exponentes distintos . La serie de Dirichlet de se desarrolla por ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(p^{\alpha }):=f_{0}(p,\alpha )}$${\displaystyle f(p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}})=f_{0}(p_{1},\alpha _{1})+\cdots +f_{0}(p_{k},\alpha _{k})}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle \alpha _{i}\geq 1}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\times \sum _{p\mathrm {\ prime} }(1-p^{-s})\cdot \sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns},\Re (s)>\min(1,\sigma _{f}).}$

Prueba. Podemos ver que

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {u^{f(n)}}{n^{s}}}=\prod _{p\mathrm {\ prime} }\left(1+\sum _{n\geq 1}u^{f_{0}(p,n)}p^{-ns}\right).}$

Esto implica que

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}&={\frac {d}{du}}\left[\prod _{p\mathrm {\ prime} }\left(1+\sum _{n\geq 1}u^{f_{0}(p,n)}p^{-ns}\right)\right]{\Biggr |}_{u=1}=\prod _{p}\left(1+\sum _{n\geq 1}p^{-ns}\right)\times \sum _{p}{\frac {\sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns}}{1+\sum _{n\geq 1}p^{-ns}}}\\&=\zeta (s)\times \sum _{p\mathrm {\ prime} }(1-p^{-s})\cdot \sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns},\end{aligned}}}$

dondequiera que las series y productos correspondientes sean convergentes. En la última ecuación, hemos utilizado la representación del producto de Euler de la función zeta de Riemann .

El lema implica que para , ${\displaystyle \Re (s)>1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\omega }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)P(s)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n}}\log \zeta (ns)\\D_{\Omega }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\Omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}P(ns)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\phi (n)}{n}}\log \zeta (ns)\\D_{h}(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {h(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\log \zeta (s)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\varepsilon (n)}{n}}\log \zeta (ns),\end{aligned}}}$

donde es la función zeta prima , donde es el -ésimo número armónico y es la identidad de la convolución de Dirichlet , . ${\displaystyle P(s)}$${\displaystyle h(n)=\sum _{p^{k}|n}{\frac {1}{k}}=\sum _{p^{k}||n}{H_{k}}}$${\displaystyle H_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon (n)=\lfloor {\frac {1}{n}}\rfloor }$

La distribución de los valores enteros distintos de las diferencias es regular en comparación con las propiedades semi-aleatorias de las funciones componentes. Para , defina ${\displaystyle \Omega (n)-\omega (n)}$${\displaystyle k\geq 0}$

${\displaystyle N_{k}(x):=\#(\{n\in \mathbb {Z} ^{+}:\Omega (n)-\omega (n)=k\}\cap [1,x]).}$

Estas cardinalidades tienen una secuencia correspondiente de densidades límite tales que para${\displaystyle d_{k}}$${\displaystyle x\geq 2}$

${\displaystyle N_{k}(x)=d_{k}\cdot x+O\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{k}{\sqrt {x}}(\log x)^{\frac {4}{3}}\right).}$

Estas densidades son generadas por los productos primarios.

${\displaystyle \sum _{k\geq 0}d_{k}\cdot z^{k}=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)\left(1+{\frac {1}{p-z}}\right).}$

Con la constante absoluta , las densidades satisfacen ${\displaystyle {\hat {c}}:={\frac {1}{4}}\times \prod _{p>2}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)^{-1}}$${\displaystyle d_{k}}$

${\displaystyle d_{k}={\hat {c}}\cdot 2^{-k}+O(5^{-k}).}$

Compárese con la definición de los productos primos definidos en la última sección de ^[16] en relación con el teorema de Erdős–Kac .

• Función aditiva
• Función aritmética
• Teorema de Erdös-Kac
• Función omega (desambiguación)
• Número primo
• Número entero sin cuadrados

• GH Hardy y EM Wright (2006). Introducción a la teoría de números (6.ª ed.). Oxford University Press.
• HL Montgomery y RC Vaughan (2007). Teoría de números multiplicativos I. Teoría clásica (1.ª ed.). Cambridge University Press.
• Schmidt, Maxie (2017). "Teoremas de factorización para productos de Hadamard y derivadas de orden superior de funciones generadoras de series de Lambert". arXiv : 1712.00608 [math.NT].
• Weisstein, Eric. «Distinct Prime Factors». MathWorld . Consultado el 22 de abril de 2018 .

• Wiki de la OEIS para números de secuencia y tablas relacionados
• Wiki de la OEIS sobre factores primos