colector no Hausdorff

La variedad no Hausdorff más conocida es la línea con dos orígenes , ^{[ 1 ]} o línea de ojos saltones . Este es el espacio cociente de dos copias de la línea real, ${\displaystyle \mathbb {R} \times \{a\}}$y${\displaystyle \mathbb {R} \times \{b\}}$(con${\displaystyle a\neq b}$), obtenido mediante la identificación de puntos${\displaystyle (x,a)}$y${\displaystyle (x,b)}$cuando sea${\displaystyle x\neq 0.}$

Una descripción equivalente del espacio consiste en tomar la recta real.${\displaystyle \mathbb {R} }$y reemplazar el origen${\displaystyle 0}$con dos orígenes${\displaystyle 0_{a}}$y${\displaystyle 0_{b}.}$ El subespacio${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$conserva su topología euclidiana habitual. Y una base local de vecindarios abiertos en cada origen.${\displaystyle 0_{i}}$está formado por los conjuntos${\displaystyle (U\setminus \{0\})\cup \{0_{i}\}}$con${\displaystyle U}$un vecindario abierto de${\displaystyle 0}$en${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Para cada origen${\displaystyle 0_{i}}$el subespacio obtenido de${\displaystyle \mathbb {R} }$reemplazando${\displaystyle 0}$con${\displaystyle 0_{i}}$es un vecindario abierto de${\displaystyle 0_{i}}$homeomorfo a${\displaystyle \mathbb {R} .}$^{[ 1 ]} Dado que cada punto tiene un entorno homeomorfo a la recta euclidiana, el espacio eslocalmente euclidiano. En particular, eslocalmente Hausdorff, en el sentido de que cada punto tiene un entorno Hausdorff. Pero el espacio no es Hausdorff, ya que cada entorno de${\displaystyle 0_{a}}$atraviesa todos los barrios de${\displaystyle 0_{b}.}$ Sin embargo, es un espacio T ₁ .

El espacio es segundo contable .

El espacio presenta varios fenómenos que no ocurren en los espacios Hausdorff:

• El espacio está conectado por caminos pero no por arcos . En particular, para obtener un camino de un origen al otro, primero se puede mover hacia la izquierda desde${\displaystyle 0_{a}}$a${\displaystyle -1}$dentro de la línea que pasa por el primer origen, y luego retroceda a la derecha desde${\displaystyle -1}$a${\displaystyle 0_{b}}$dentro de la línea que pasa por el segundo origen. Pero es imposible unir los dos orígenes con un arco, que es una trayectoria inyectiva; intuitivamente, si uno se mueve primero hacia la izquierda, eventualmente tendrá que retroceder y moverse de nuevo hacia la derecha.

• La intersección de dos conjuntos compactos no tiene por qué ser compacta. Por ejemplo, los conjuntos${\displaystyle [-1,0)\cup \{0_{a}\}}$y${\displaystyle [-1,0)\cup \{0_{b}\}}$son compactos, pero su intersección${\displaystyle [-1,0)}$no lo es.

• El espacio es localmente compacto en el sentido de que cada punto tiene una base local de vecindarios compactos. Sin embargo, la recta que pasa por un origen no contiene un vecindario cerrado de ese origen, ya que cualquier vecindario de un origen contiene al otro origen en su clausura. Por lo tanto, el espacio no es un espacio regular , y aunque cada punto tiene al menos un vecindario compacto cerrado, los puntos de origen no admiten una base local de vecindarios compactos cerrados.

El espacio no tiene el tipo de homotopía de un complejo CW , ni de ningún espacio de Hausdorff. ^{[ 2 ]}

La línea con muchos orígenes ^{[ 3 ]} es similar a la línea con dos orígenes, pero con un número arbitrario de orígenes. Se construye tomando un conjunto arbitrario${\displaystyle S}$con la topología discreta y tomando el espacio cociente de${\displaystyle \mathbb {R} \times S}$que identifica puntos${\displaystyle (x,\alpha )}$y${\displaystyle (x,\beta )}$cuando sea${\displaystyle x\neq 0.}$ De forma equivalente, se puede obtener de${\displaystyle \mathbb {R} }$reemplazando el origen${\displaystyle 0}$con muchos orígenes${\displaystyle 0_{\alpha },}$uno para cada${\displaystyle \alpha \in S.}$ Los barrios de cada origen se describen como en el caso de dos orígenes.

Si hay infinitos orígenes, el espacio ilustra que la clausura de un conjunto compacto no tiene por qué ser compacta en general. Por ejemplo, la clausura del conjunto compacto${\displaystyle A=[-1,0)\cup \{0_{\alpha }\}\cup (0,1]}$es el conjunto${\displaystyle A\cup \{0_{\beta }:\beta \in S\}}$obtenido al sumar todos los orígenes a${\displaystyle A}$y ese cierre no es compacto. Al ser localmente euclidiano, dicho espacio es localmente compacto en el sentido de que cada punto tiene una base local de vecindarios compactos. Pero los puntos de origen no tienen ningún vecindario compacto cerrado.

Similar a la línea con dos orígenes es la línea ramificada .

Este es el espacio cociente de dos copias de la recta real. $${\displaystyle \mathbb {R} \times \{a\}\quad {\text{ y }}\quad \mathbb {R} \times \{b\}}$$ con la relación de equivalencia$${\displaystyle (x,a)\sim (x,b)\quad {\text{ si }}\;x<0.}$$

Este espacio tiene un solo punto por cada número real negativo.${\displaystyle r}$y dos puntos${\displaystyle x_{a},x_{b}}$Para cada número no negativo: tiene una "bifurcación" en cero.

El espacio étale de un haz , como el haz de funciones reales continuas sobre una variedad, es una variedad que a menudo no es de Hausdorff. (El espacio étale es de Hausdorff si es un haz de funciones con algún tipo de propiedad de continuación analítica ). ^{[ 4 ]}