Espacio bien encadenado

En matemáticas , un espacio bien encadenado es un espacio métrico en el que dos puntos arbitrarios pueden conectarse mediante una cadena de puntos arbitrariamente cercanos. Está estrechamente relacionado con la noción de conexidad .

Un espacio métrico${\displaystyle (X,d)}$Se dice que está bien encadenado si por cada${\displaystyle x,y\in X}$y cada${\displaystyle \varepsilon >0}$existe${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$y${\displaystyle z_{0},z_{1},\dotsc ,z_{n}\in X}$de tal manera que${\displaystyle z_{0}=x}$,${\displaystyle z_{n}=y}$y por cada${\displaystyle j\in \{1,\dotsc ,n-1\}}$, uno tiene ${\displaystyle d(z_{j-1},z_{j})<\varepsilon }$. ^{[ 1 ] : Cap. I §8 [ 2 ]} .

Un conjunto${\displaystyle A\subsetequ X}$está bien encadenado si está bien encadenado como un espacio métrico con la distancia${\displaystyle d}$restringido a${\displaystyle A}$.

Un conjunto${\displaystyle A\subsetequ X}$está bien encadenado si y solo si su cierre topológico está bien encadenado.

Si${\displaystyle X}$está bien encadenado y si${\displaystyle f\colon X\to Y}$es uniformemente continuo entonces el conjunto${\displaystyle f(X)}$está bien encadenado ^{[ 2 ]} .

Las siguientes propiedades son equivalentes ^{[ 2 ]} :

1. el espacio${\displaystyle X}$está bien encadenado;
2. si${\displaystyle A\subsetequ X}$y${\displaystyle \emptyset \neq A\neq X}$, entonces${\displaystyle \inf\{d(x,y):x\in A{\text{ y }}y\in X\setminus A\}=0}$;
3. si${\displaystyle f\colon X\to \{0,1\}}$es uniformemente continuo, entonces${\displaystyle f}$es constante.

Cualquier conjunto bien encadenado${\displaystyle X}$está conectado ^{[ 1 ] : Cap. I §8} .

Lo contrario suele fallar:

• el conjunto de números racionales${\displaystyle \mathbb {Q} }$está bien encadenado pero no conectado ^{[ 1 ] : §I.8} ,
• el conjunto${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}y^{2}=xy\}}$está bien encadenado pero no conectado ^{[ 3 ] : § 33} .

Existen algunas situaciones en las que una buena encadenación implica conexión:

• Todo conjunto compacto y bien encadenado está conectado ^{[ 1 ] : (I.9.21)} ;
• si${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$está cerrado y bien encadenado, entonces${\displaystyle A}$está conectado ^{[ 2 ]} .

La definición de espacio bien encadenado fue propuesta como una definición de espacio conectado ( zusammenltiengende Punktmenge ) por Georg Cantor en 1883 ^{[ 4 ] : §11} .

En 1921, Maurice Fréchet denomina a los conjuntos bien encadenados ( seemble bien enchaîné ) conjuntos conexos y demuestra, en la terminología actual, que los espacios conexos son espacios bien encadenados ^{[ 3 ] : §33} .

La definición anterior aparece en 1964 bajo el nombre de espacio bien encadenado en el libro de Gordon Whyburn ^{[ 1 ] : §I.8} .