Teorema del factor

Encuentra los factores de${\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2.}$

Solución : Dejemos${\displaystyle p(x)}$sea ​​el polinomio anterior

término constante = 2

Coeficiente de${\displaystyle x^{3}=1}$

Todos los factores posibles de 2 son${\displaystyle \pm 1}$y${\displaystyle \pm 2}$Sustituyendo${\displaystyle x=-1}$, obtenemos:

${\displaystyle (-1)^{3}+7(-1)^{2}+8(-1)+2=0}$

Entonces,${\displaystyle (x-(-1))}$, es decir,${\displaystyle (x+1)}$es un factor de${\displaystyle p(x)}$. Al dividir${\displaystyle p(x)}$por${\displaystyle (x+1)}$, obtenemos

Cociente =${\displaystyle x^{2}+6x+2}$

Por eso,${\displaystyle p(x)=(x^{2}+6x+2)(x+1)}$

De estos, el factor cuadrático se puede factorizar aún más utilizando la fórmula cuadrática , que da como raíces de la fórmula cuadrática${\displaystyle -3\pm {\sqrt {7}}.}$Así, los tres factores irreducibles del polinomio original son:${\displaystyle x+1,}$${\displaystyle x-(-3+{\sqrt {7}}),}$y${\displaystyle x-(-3-{\sqrt {7}}).}$

Esta prueba comienza verificando la afirmación para${\displaystyle a=0}$. Es decir, demostrará que para cualquier polinomio${\displaystyle f(x)}$para qué${\displaystyle f(0)=0}$, existe un polinomio${\displaystyle g(x)}$de tal manera que${\displaystyle f(x)=x\cdot g(x)}$. Para ello, escribe${\displaystyle f(x)}$explícitamente como${\displaystyle c_{0}+c_{1}x^{1}+\dotsc +c_{n}x^{n}}$Ahora observe que${\displaystyle 0=f(0)=c_{0}}$, entonces${\displaystyle c_{0}=0}$. De este modo,${\displaystyle f(x)=x(c_{1}+c_{2}x^{1}+\dotsc +c_{n}x^{n-1})=x\cdot g(x)}$Este caso ya está probado.

Lo que resta es demostrar el teorema para general.${\displaystyle a}$reduciendo a la${\displaystyle a=0}$caso. Para ello, observe que${\displaystyle f(x+a)}$es un polinomio con una raíz en${\displaystyle x=0}$De lo expuesto anteriormente se deduce que${\displaystyle f(x+a)=x\cdot g(x)}$para algún polinomio${\displaystyle g(x)}$. Finalmente,${\displaystyle f(x)=f((xa)+a)=(xa)\cdot g(xa)}$.

Primero, observe que siempre que${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$Si pertenecen a cualquier anillo conmutativo (el mismo), entonces la identidad${\displaystyle x^{n}-y^{n}=(xy)(y^{n-1}+x^{1}y^{n-2}+\dotsc +x^{n-2}y^{1}+x^{n-1})}$Es cierto. Esto se demuestra multiplicando los paréntesis.

Dejar${\displaystyle f(X)\in R\left[X\right]}$dónde${\displaystyle R}$es cualquier anillo conmutativo. Escribe${\displaystyle f(X)=\sum _{i}c_{i}X^{i}}$para una secuencia de coeficientes${\displaystyle (c_{i})_{i}}$. Asumir${\displaystyle f(a)=0}$para algunos${\displaystyle a\in R}$. Observe entonces que${\displaystyle f(X)=f(X)-f(a)=\sum _{i}c_{i}(X^{i}-a^{i})}$. Observe que cada sumando tiene${\displaystyle Xa}$como factor mediante la factorización de expresiones de la forma${\displaystyle x^{n}-y^{n}}$Eso se discutió anteriormente. Por lo tanto, concluimos que${\displaystyle Xa}$es un factor de${\displaystyle f(X)}$.

El teorema se puede demostrar utilizando la división euclidiana de polinomios : Realizar una división euclidiana de${\displaystyle f(x)}$por${\displaystyle (xa)}$para obtener${\displaystyle f(x)=(xa)Q(x)+R(x)}$dónde${\displaystyle \deg(R)<\deg(xa)}$. Desde${\displaystyle \deg(R)<\deg(xa)}$De ello se deduce que${\displaystyle R}$es constante. Finalmente, observe que${\displaystyle 0=f(a)=R}$. Entonces${\displaystyle f(x)=(xa)Q(x)}$.

La división euclidiana anterior es posible en todo anillo conmutativo ya que${\displaystyle (xa)}$es un polinomio mónico y, por lo tanto, el algoritmo de división larga de polinomios no implica ninguna división de coeficientes.

También es un corolario del teorema del resto de un polinomio , pero a la inversa puede usarse para demostrarlo.

Cuando los polinomios son multivariados pero los coeficientes forman un cuerpo algebraicamente cerrado , el Nullstellensatz es una generalización significativa y profunda.