División sintética

En álgebra , la división sintética es un método para realizar manualmente la división euclidiana de polinomios , con menos escritura y menos cálculos que la división larga .

Se enseña principalmente para la división por polinomios mónicos lineales (conocida como regla de Ruffini ), pero el método se puede generalizar a la división por cualquier polinomio .

Las ventajas de la división sintética son que permite realizar cálculos sin escribir variables, utiliza pocos cálculos y ocupa mucho menos espacio en el papel que la división larga. Además, las restas en la división larga se convierten en sumas cambiando los signos desde el principio, lo que ayuda a evitar errores de signo.

El primer ejemplo es la división sintética con sólo un denominador lineal mónico . ${\estilo de visualización xa}$

$Estilo de visualización: x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}$

El numerador se puede escribir como . $p(x)=x^{3}-12x^{2}+0x-42}$

El cero del denominador es . ${\estilo de visualización g(x)}$${\estilo de visualización 3}$

Los coeficientes de se organizan de la siguiente manera, con el cero de a la izquierda: ${\estilo de visualización p(x)}$${\estilo de visualización g(x)}$

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}\ 1&-12&0&-42\\&&&\\\hline \end{array}}\end{array}}}$

El primer coeficiente después de la barra se "elimina" a la última fila.

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}\color {azul}1&-12&0&-42\\&&&\\\hline \color {azul}1&&&\\\end{array}}\end{array}}}$

El número eliminado se multiplica por el número antes de la barra y se coloca en la siguiente columna .

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\\color {gris}3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&\color {marrón}3&&\\\hline \color {azul}1&&&\\\end{array}}\end{array}}}$

Se realiza una adición en la siguiente columna.

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{c}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&\color {verde}-12&0&-42\\&\color {verde}3&&\\\hline 1&\color {verde}-9&&\\\end{array}}\end{array}}}$

Se repiten los dos pasos anteriores y se obtiene lo siguiente:

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{c}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&3&-27&-81\\\hline 1&-9&-27&-123\end{array}}\end{array}}}$

Aquí, el último término (-123) es el resto mientras que el resto corresponde a los coeficientes del cociente.

Los términos se escriben con grado creciente de derecha a izquierda comenzando con grado cero para el resto y el resultado.

${\displaystyle {\begin{array}{rrr|r}1x^{2}&-9x&-27&-123\end{array}}}$

Por lo tanto el cociente y el resto son:

$estilo de visualización q(x)=x^{2}-9x-27}$

${\displaystyle r(x)=-123}$

La forma anterior de división sintética es útil en el contexto del teorema del resto polinómico para evaluar polinomios univariados . En resumen, el valor de at es igual al resto de la división de por${\estilo de visualización p(x)}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización p(x)}$${\estilo de visualización xa.}$

La ventaja de calcular el valor de esta manera es que requiere un poco más de la mitad de los pasos de multiplicación que la evaluación simple. Una estrategia de evaluación alternativa es el método de Horner .

Este método se generaliza a la división por cualquier polinomio mónico con solo una ligera modificación con los cambios en negrita . Tenga en cuenta que, si bien es posible que no se muestre en el siguiente ejemplo, el divisor también debe escribirse con coeficientes detallados. (Por ejemplo, con ) Siguiendo los mismos pasos que antes, realice la siguiente división: $Estilo de visualización 2x^{3}+0x^{2}-4x+8}$

$Estilo de visualización: x^{3}-12x^{2}-42}{x^{2}+x-3}$

Nos ocuparemos únicamente de los coeficientes. Escriba los coeficientes del polinomio que se va a dividir en la parte superior.

${\displaystyle {\begin{array}{|rrrr}\ 1&-12&0&-42\end{array}}}$

Niega los coeficientes del divisor.

${\displaystyle {\begin{array}{rrr}-1x^{2}&-1x&+3\end{array}}}$

Escriba todos los coeficientes excepto el primero de la izquierda en diagonal hacia arriba a la derecha (ver el siguiente diagrama).

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}\ 1&-12&0&-42\\&&\\&&&\\\hline \end{array}}\end{array}}}$

Nótese el cambio de signo de 1 a −1 y de −3 a 3. "Deje caer" el primer coeficiente después de la barra en la última fila.

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&&\\&&&\\\hline 1&&&\\\end{array}}\end{array}}}$

Multiplica el número eliminado por la diagonal antes de la barra y coloca las entradas resultantes en diagonal a la derecha de la entrada eliminada.

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&3&\\&-1&&\\\hline 1&&&\\\end{array}}\end{array}}}$

Realizar una suma en la siguiente columna.

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&3&\\&-1&&\\\hline 1&-13&&\\\end{array}}\end{array}}}$

Repite los dos pasos anteriores hasta que pases las entradas de la parte superior con la siguiente diagonal .

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&3&-39\\&-1&13&\\\hline 1&-13&16&\\\end{array}}\end{array}}}$

Luego, simplemente sume las columnas restantes.

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&3&-39\\&-1&13&\\\hline 1&-13&16&-81\\\end{array}}\end{array}}}$

Cuente los términos a la izquierda de la barra. Como hay dos, el resto tiene grado uno y estos son los dos términos que están más a la derecha debajo de la barra. Marque la separación con una barra vertical.

${\displaystyle {\begin{array}{rr|rr}1&-13&16&-81\end{array}}}$

Los términos se escriben con grado creciente de derecha a izquierda comenzando con grado cero tanto para el resto como para el resultado.

${\displaystyle {\begin{array}{rr|rr}1x&-13&16x&-81\end{array}}}$

El resultado de nuestra división es:

${\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x^{2}+x-3}}=x-13+{\frac {16x-81}{x^{2}+x-3}}}$

Con un poco de insistencia, la técnica expandida se puede generalizar aún más para que funcione con cualquier polinomio, no solo con los mónicos . La forma habitual de hacerlo sería dividir el divisor por su coeficiente principal (llamémoslo a ): ${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle h(x)={\frac {g(x)}{a}}}$

Luego, se utiliza la división sintética con como divisor y luego se divide el cociente por a para obtener el cociente de la división original (el resto permanece igual). Pero esto a menudo produce fracciones antiestéticas que se eliminan más tarde y, por lo tanto, son más propensas a errores. Es posible hacerlo sin reducir primero los coeficientes de . ${\displaystyle h(x)}$${\displaystyle g(x)}$

Como se puede observar al realizar primero una división larga con un divisor no mónico, los coeficientes de se dividen por el coeficiente principal de después de "eliminar" y antes de multiplicar. ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$

Ilustremos esto realizando la siguiente división:

${\displaystyle {\frac {6x^{3}+5x^{2}-7}{3x^{2}-2x-1}}}$

Se utiliza una tabla ligeramente modificada:

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&&\\&&&\\\hline &&&\\&&&\\\end{array}}\end{array}}}$

Observe la fila adicional en la parte inferior. Se utiliza para escribir los valores que se obtienen al dividir los valores "eliminados" por el coeficiente principal de (en este caso, indicado por /3 ; observe que, a diferencia del resto de los coeficientes de , el signo de este número no cambia). ${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle g(x)}$

A continuación, se elimina el primer coeficiente de la forma habitual:${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&&\\&&&\\\hline 6&&&\\&&&\\\end{array}}\end{array}}}$

y luego el valor descartado se divide por 3 y se coloca en la fila de abajo:

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&&\\&&&\\\hline 6&&&\\2&&&\\\end{array}}\end{array}}}$

A continuación, el nuevo valor (dividido) se utiliza para llenar las filas superiores con múltiplos de 2 y 1, como en la técnica expandida:

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&2&\\&4&&\\\hline 6&&&\\2&&&\\\end{array}}\end{array}}}$

A continuación se elimina el 5, con la adición obligatoria del 4 que está debajo, y la respuesta se divide nuevamente:

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&2&\\&4&&\\\hline 6&9&&\\2&3&&\\\end{array}}\end{array}}}$

Luego se utiliza el 3 para llenar las filas superiores:

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&2&3\\&4&6&\\\hline 6&9&&\\2&3&&\\\end{array}}\end{array}}}$

En este punto, si, después de obtener la tercera suma, intentáramos usarla para llenar las filas superiores, nos "caeríamos" del lado derecho, por lo que la tercera suma es el primer coeficiente del resto, como en la división sintética regular. Pero los valores del resto no se dividen por el coeficiente principal del divisor:

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&2&3\\&4&6&\\\hline 6&9&8&-4\\2&3&&\\\end{array}}\end{array}}}$

Ahora podemos leer los coeficientes de la respuesta. Como en la división sintética desarrollada, los dos últimos valores (2 es el grado del divisor) son los coeficientes del resto, y los valores restantes son los coeficientes del cociente:

${\displaystyle {\begin{array}{rr|rr}2x&+3&8x&-4\end{array}}}$

y el resultado es

${\displaystyle {\frac {6x^{3}+5x^{2}-7}{3x^{2}-2x-1}}=2x+3+{\frac {8x-4}{3x^{2}-2x-1}}}$

Sin embargo, el formato diagonal anterior se vuelve menos eficiente en términos de espacio cuando el grado del divisor excede la mitad del grado del dividendo. Considere la siguiente división:

${\displaystyle {\dfrac {a_{7}x^{7}+a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}{b_{4}x^{4}-b_{3}x^{3}-b_{2}x^{2}-b_{1}x-b_{0}}}}$

Es fácil ver que tenemos total libertad para escribir cada producto en cualquier fila siempre que esté en la columna correcta, por lo que el algoritmo se puede compactar mediante una estrategia codiciosa , como se ilustra en la división a continuación:

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\\\\\\\b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\\&&&&/b_{4}\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&&&&q_{0}b_{3}&&&\\&&&q_{1}b_{3}&q_{1}b_{2}&q_{0}b_{2}&&\\&&q_{2}b_{3}&q_{2}b_{2}&q_{2}b_{1}&q_{1}b_{1}&q_{0}b_{1}&\\&q_{3}b_{3}&q_{3}b_{2}&q_{3}b_{1}&q_{3}b_{0}&q_{2}b_{0}&q_{1}b_{0}&q_{0}b_{0}\\a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline a_{7}&q_{2}'&q_{1}'&q_{0}'&r_{3}&r_{2}&r_{1}&r_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&&&&\\\end{array}}\end{array}}}$

A continuación se describe cómo realizar el algoritmo; este algoritmo incluye pasos para dividir divisores no mónicos:

El siguiente fragmento implementa la división sintética expandida en Python para polinomios univariados arbitrarios:

def  distributed_synthetic_division ( dividendo ,  divisor ): 
"División polinómica rápida mediante división sintética expandida.     También funciona con polinomios no monómicos.    


    Dividendo y divisor son ambos polinomios, que aquí son simplemente listas de coeficientes. 
    Por ejemplo: x**2 + 3*x + 5 se representará como [1, 3, 5] 
    """ 
    out  =  list ( dividendo )   # Copiar el 
    normalizador de dividendos  =  divisor [ 0 ] 
    for  i  in  range ( len ( dividendo )  -  len ( divisor )  +  1 ): 
        # Para la división polinómica general (cuando los polinomios no son mónicos), 
        # necesitamos normalizar dividiendo el coeficiente por el primer coeficiente del divisor 
        out [ i ]  /=  normalizer

        coef  =  out [ i ] 
        si  coef  !=  0 :   # No sirve para multiplicar si coef es 0 
            # En la división sintética, siempre omitimos el primer coeficiente del divisor, 
            # porque solo se usa para normalizar los coeficientes del dividendo 
            para  j  en  el rango ( 1 ,  len ( divisor )): 
                out [ i  +  j ]  +=  - divisor [ j ]  *  coef

    # El resultado resultante contiene tanto el cociente como el resto, 
    # siendo el resto el tamaño del divisor (el resto 
    # tiene necesariamente el mismo grado que el divisor ya que es 
    # lo que no pudimos dividir del dividendo), por lo que calculamos el índice 
    # donde está esta separación, y devolvemos el cociente y el resto. 
    separator  =  1  -  len ( divisor ) 
    return  out [: separator ],  out [ separator :]   # Devuelve cociente, resto.

• Dominio euclidiano
• Máximo común divisor de dos polinomios
• Base de Gröbner
• Esquema de Horner
• Teorema del resto del polinomio
• La regla de Ruffini

• Fan, Lianghuo (junio de 2003). "Una generalización de la división sintética y un teorema general de división de polinomios" (PDF) . Mathematical Medley . 30 (1): 30–37. Archivado (PDF) desde el original el 7 de septiembre de 2015.
• Li, Zhou (enero de 2009). "División corta de polinomios" (PDF) . College Mathematics Journal . 40 (1): 44–46. JSTOR  27646720. Archivado (PDF) desde el original el 9 de julio de 2020.

• Goodman, Len ; Stover, Christopher y Weisstein, Eric W. "División sintética". MathWorld .
• Stover, Christopher. "Regla de Ruffini". MathWorld .