Teorema de la raíz racional

En álgebra , el teorema de la raíz racional (o criterio de la raíz racional , teorema del cero racional , criterio del cero racional o teorema p / q ) establece una restricción sobre las soluciones racionales de una ecuación polinómica con coeficientes enteros y . Las soluciones de la ecuación también se denominan raíces o ceros del polinomio del lado izquierdo. $${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0}$$${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle a_{0},a_{n}\neq 0}$

El teorema establece que cada solución racional x  =  ^p ⁄ _q , escrita en términos más bajos de modo que p y q sean primos entre sí , satisface:

• p es un factor entero del término constante a ₀ , y
• q es un factor entero del coeficiente principal a _n .

El teorema de la raíz racional es un caso especial (para un único factor lineal) del lema de Gauss sobre la factorización de polinomios. El teorema de _la raíz integral es el caso especial del teorema de la raíz racional cuando el coeficiente principal es  n  = 1 .

El teorema se utiliza para encontrar todas las raíces racionales de un polinomio, si las hay. Proporciona un número finito de fracciones posibles que se pueden comprobar para ver si son raíces. Si se encuentra una raíz racional x = r , se puede factorizar un polinomio lineal ( x – r ) a partir del polinomio mediante la división larga de polinomios , lo que da como resultado un polinomio de grado inferior cuyas raíces también son raíces del polinomio original.

La ecuación cúbica general con coeficientes enteros tiene tres soluciones en el plano complejo . Si la prueba de la raíz racional no encuentra soluciones racionales, entonces la única forma de expresar las soluciones algebraicamente es usar raíces cúbicas . Pero si la prueba encuentra una solución racional r , entonces al factorizar ( x – r ) se obtiene un polinomio cuadrático cuyas dos raíces, halladas con la fórmula cuadrática , son las dos raíces restantes de la cúbica, evitando las raíces cúbicas. $${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$$

Dejar con${\displaystyle P(x)\ =\ a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {Z} .}$

Supongamos que P ( p / q ) = 0 para algún coprimo p , q ∈ ℤ : $${\displaystyle P({\tfrac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)+a_{0}=0.}$$

Para despejar los denominadores, multiplica ambos lados por q ⁿ : $${\displaystyle a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots +a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}=0.}$$

Desplazando el término a ₀ al lado derecho y factorizando p en el lado izquierdo se obtiene: $${\displaystyle p\left(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1}\right)=-a_{0}q^{n}.}$$

Por lo tanto, p divide a ₀ q ⁿ . Pero p es coprimo con q y, por lo tanto, con q ⁿ , por lo que, por el lema de Euclides, p debe dividir al factor restante a ₀ .

Por otra parte, desplazar el término a _n hacia el lado derecho y factorizar q en el lado izquierdo produce: $${\displaystyle q\left(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1}\right)=-a_{n}p^{n}.}$$

Razonando como antes, se deduce que q divide a _n . ^[1]

Si existe un factor no trivial que divida todos los coeficientes del polinomio, entonces se puede dividir por el máximo común divisor de los coeficientes para obtener un polinomio primitivo en el sentido del lema de Gauss ; esto no altera el conjunto de raíces racionales y solo refuerza las condiciones de divisibilidad. Ese lema dice que si el polinomio factoriza en Q [ X ] , entonces también factoriza en Z [ X ] como un producto de polinomios primitivos. Ahora bien, cualquier raíz racional p / q corresponde a un factor de grado 1 en Q [ X ] del polinomio, y su representante primitivo es entonces qx − p , suponiendo que p y q son coprimos. Pero cualquier múltiplo en Z [ X ] de qx − p tiene un término principal divisible por q y un término constante divisible por p , lo que prueba la afirmación. Este argumento muestra que, de manera más general, se puede suponer que  cualquier factor irreducible de P tiene coeficientes enteros y coeficientes principales y constantes que dividen los coeficientes correspondientes de P.

En el polinomio, cualquier raíz racional completamente reducida debe tener un numerador que divida a 1 y un denominador que divida a 2. Por lo tanto, las únicas raíces racionales posibles son ±1/2 y ±1; como ninguna de estas equivale al polinomio a cero, no tiene raíces racionales. $${\displaystyle 2x^{3}+x-1,}$$

En el polinomio las únicas raíces racionales posibles tendrían un numerador que divida a 6 y un denominador que divida a 1, lo que limita las posibilidades a ±1, ±2, ±3 y ±6. De estas, 1, 2 y –3 igualan el polinomio a cero y, por lo tanto, son sus raíces racionales (de hecho, estas son sus únicas raíces, ya que un polinomio cúbico tiene solo tres raíces). $${\displaystyle x^{3}-7x+6}$$

Cada raíz racional del polinomio debe ser uno de los 8 números. Estos 8 valores posibles para x se pueden comprobar evaluando el polinomio. Resulta que hay exactamente una raíz racional, que es$${\displaystyle P=3x^{3}-5x^{2}+5x-2}$$$${\displaystyle \pm 1,\pm 2,\pm {\tfrac {1}{3}},\pm {\tfrac {2}{3}}.}$$${\textstyle x=2/3.}$

Sin embargo, estos ocho cálculos pueden ser bastante tediosos y algunos trucos permiten evitar algunos de ellos.

En primer lugar, si todos los términos de P se vuelven negativos, y su suma no puede ser 0; entonces, cada raíz es positiva, y una raíz racional debe ser uno de los cuatro valores${\displaystyle x<0,}$${\textstyle 1,2,{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}}.}$

Se tiene Entonces, 1 no es una raíz. Además, si se establece x = 1 + t , se obtiene sin cálculo que es un polinomio en t con el mismo primer coeficiente 3 y término constante 1 . ^[2] El teorema de la raíz racional implica entonces que una raíz racional de Q debe pertenecer a y por lo tanto que las raíces racionales de P satisfacen Esto demuestra nuevamente que cualquier raíz racional de P es positiva, y los únicos candidatos restantes son 2 y 2\3 . ${\displaystyle P(1)=3-5+5-2=1.}$${\displaystyle Q(t)=P(t+1)}$${\textstyle \{\pm 1,\pm {\frac {1}{3}}\},}$${\textstyle x=1+t\in \{2,0,{\tfrac {4}{3}},{\tfrac {2}{3}}\}.}$

Para demostrar que 2 no es raíz, basta observar que si y son múltiplos de 8 , mientras que no lo es. Por lo tanto, su suma no puede ser cero. ${\displaystyle x=2,}$${\displaystyle 3x^{2}}$${\displaystyle 5x-2}$${\displaystyle -rx^{2}}$

Finalmente, solo es necesario calcular para verificar que es una raíz del polinomio. ${\displaystyle P(2/3)}$

• Teorema fundamental del álgebra
• Dominio integralmente cerrado
• La regla de los signos de Descartes
• Teorema de Gauss-Lucas
• Propiedades de las raíces polinómicas
• Contenido (álgebra)
• El criterio de Eisenstein

• Weisstein, Eric W. "Teorema del cero racional". MathWorld .
• Teorema de la raíz racional en PlanetMath
• Otra prueba de que las raíces n-ésimas de los números enteros son irracionales, excepto las potencias n-ésimas perfectas, por Scott E. Brodie
• La prueba de raíces racionales en purplemath.com