Función de Möbius

La serie de Dirichlet que genera la función de Möbius es la inversa (multiplicativa) de la función zeta de Riemann ; si${\displaystyle s}$es un número complejo con parte real mayor que 1 tenemos

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}.}$

Esto se puede observar en su producto de Euler.

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p{\text{ primo}}}{\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)}=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\cdots }$

También:

• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}};}$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0;}$
• ${\displaystyle \sum \limits _ {n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln n}{n}}=-1;}$
• ${\displaystyle \sum \limits _ {n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln ^{2}n}{n}}=-2\gamma,}$dónde${\displaystyle \gamma }$es la constante de Euler .

La serie de Lambert para la función de Möbius es

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q,}$

que converge para${\displaystyle |q|<1}$Para los mejores${\displaystyle \alpha \geq 2}$, también tenemos

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (\alpha n)q^{n}}{q^{n}-1}}=\sum _{n\geq 0}q^{\alpha ^{n}},|q|<1.}$

Gauss ^{[ 1 ]} demostró que para un número primo${\displaystyle p}$la suma de sus raíces primitivas es congruente con${\displaystyle \mu (p-1)\mod p}$.

Si${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$denota el campo finito de orden${\displaystyle q}$(dónde${\displaystyle q}$es necesariamente una potencia prima ), entonces el número${\displaystyle N}$polinomios irreducibles mónicos de grado${\displaystyle n}$encima${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$está dado por ^{[ 5 ]}

${\displaystyle N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}}.}$

La función de Möbius se utiliza en la fórmula de inversión de Möbius .

La función de Möbius también surge en el modelo de gas de primones o gas de Riemann libre de la supersimetría . En esta teoría, las partículas fundamentales o "primones" tienen energías${\displaystyle \log(p)}$. Bajo la segunda cuantización , se consideran excitaciones de múltiples partículas; estas vienen dadas por${\displaystyle \log(n)}$para cualquier número natural${\displaystyle n}$Esto se deduce del hecho de que la factorización de los números naturales en números primos es única.

En el gas de Riemann libre, puede aparecer cualquier número natural si los primones se toman como bosones . Si se toman como fermiones , entonces el principio de exclusión de Pauli excluye los cuadrados. El operador ${\displaystyle (-1)^{F}}$La función que distingue a los fermiones de los bosones no es otra que la función de Möbius.${\displaystyle \mu (n)}$.

El gas de Riemann libre tiene varias conexiones interesantes con la teoría de números, incluyendo el hecho de que la función de partición es la función zeta de Riemann . Esta idea subyace al intento de demostración de la hipótesis de Riemann de Alain Connes . ^{[ 6 ]}

La fórmula

${\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1,\\0&{\text{if }}n>1\end{cases}}}$

se puede escribir usando convolución de Dirichlet como: ${\displaystyle 1*\mu =\varepsilon }$ dónde${\displaystyle \varepsilon }$es la identidad bajo la convolución .

Una forma de demostrar esta fórmula es observando que la convolución de Dirichlet de dos funciones multiplicativas es nuevamente multiplicativa. Por lo tanto, basta con demostrar la fórmula para potencias de números primos. En efecto, para cualquier número primo ${\displaystyle p}$y para cualquier${\displaystyle k>0}$

${\displaystyle 1*\mu (p^{k})=\sum _{d\mid p^{k}}\mu (d)=\mu (1)+\mu (p)+\sum _{1<m<=k}\mu (p^{m})=1-1+\sum 0=0=\varepsilon (p^{k})}$,

mientras que para${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle 1*\mu (1)=\sum _{d\mid 1}\mu (d)=\mu (1)=1=\varepsilon (1)}$.

El valor medio (en el sentido de órdenes promedio) de la función de Möbius es cero. Esta afirmación es, de hecho, equivalente al teorema de los números primos . ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \mu (n)=0}$si y solo si${\displaystyle n}$es divisible por el cuadrado de un número primo. Los primeros números con esta propiedad son

4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63, ... (secuencia A013929 en el OEIS ) .

Si${\displaystyle n}$es primo, entonces${\displaystyle \mu (n)=-1}$, pero lo contrario no es cierto. El primer no primo${\displaystyle n}$para qué${\displaystyle \mu (n)=-1}$es${\displaystyle 30=2\times 3\times 5}$. Los primeros números de este tipo con tres factores primos distintos ( números esfénicos ) son

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, ... (secuencia A007304 en el OEIS ) .

y los primeros números de este tipo con 5 factores primos distintos son

2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690, ... (secuencia A046387 en el OEIS ) .

En combinatoria , a cada conjunto parcialmente ordenado localmente finito (poset) se le asigna un álgebra de incidencia . Un elemento destacado de esta álgebra es la función de Möbius de dicho poset. La función de Möbius clásica que se trata en este artículo es esencialmente igual a la función de Möbius del conjunto de todos los enteros positivos parcialmente ordenados por divisibilidad . Consulte el artículo sobre álgebras de incidencia para obtener la definición precisa y varios ejemplos de estas funciones de Möbius generales.

Dado que la función de Möbius es multiplicativa, también lo es su convolución de Dirichlet (iterada).${\displaystyle \mu _{k}=\mu *\cdots *\mu }$ser el${\displaystyle k}$Convolución de Dirichlet de orden -ésimo de la función de Möbius consigo misma. Entonces tenemos $${\displaystyle \mu _{k}\left(p^{a}\right)=(-1)^{a}{\binom {k}{a}}}$$ donde el coeficiente binomial se considera cero si${\displaystyle a>k}$. ^{[ 12 ]} La definición puede extenderse a complejos${\displaystyle k}$leyendo el binomio como un polinomio en${\displaystyle k}$. ^{[ 13 ]}