polinomio ciclotómico

En matemáticas , el $n$ polinomio ciclotómico -ésimo , para cualquier entero positivo $n$ es el único polinomio irreducible con coeficientes enteros que es divisor de $x^{n}-1$ y no es un divisor de $x^{k}-1$ para cualquier $k<n$ Sus raíces son todas $n$ -raíces primitivas de la unidad $e^{2i\pi {\frac {k}{n}}}$ , dónde $k$ recorre los enteros positivos hasta $n$ y coprimo a $n$ (dónde $i$ es la unidad imaginaria ). En otras palabras, la $n$ El polinomio ciclotómico -ésimo es igual a

\Phi _{n}(x)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\left(xe^{2i\pi {\frac {k}{n}}}\right).

También puede definirse como el polinomio mónico con coeficientes enteros que es el polinomio mínimo sobre el campo de los números racionales de cualquier raíz n -ésima primitiva de la unidad ( $e^{2i\pi /n}$ es un ejemplo de dicha raíz).

Una relación importante que vincula los polinomios ciclotómicos y las raíces primitivas de la unidad es

\prod _{d\mid n}\Phi _{d}(x)=x^{n}-1,

demostrando que $\alpha$ es una raíz de $x^{n}-1$ si y solo si es un $d$ -raíz primitiva de la unidad para algunos $d$ que divide $n$ . ^{[ 1 ]}

Ejemplos

Si n es un número primo , entonces

\Phi _{n}(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}x^{k}.

Si n = 2 p donde p es un número primo distinto de 2, entonces

\Phi _{2p}(x)=1-x+x^{2}-\cdots +x^{p-1}=\sum _{k=0}^{p-1}(-x)^{k}.

Para n hasta 30, los polinomios ciclotómicos son: ^{[ 2 ]}

{\begin{aligned}\Phi _{1}(x)&=x-1\\\Phi _{2}(x)&=x+1\\\Phi _{3}(x)&=x^{2}+x+1\\\Phi _{4}(x)&=x^{2}+1\\\Phi _{5}(x)&=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{6}(x)&=x^{2}-x+1\\\Phi _{7}(x)&=x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{8}(x)&=x^{4}+1\\\Phi _{9}(x)&=x^{6}+x^{3}+1\\\Phi _{10}(x)&=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi _{11}(x)&=x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{12}(x)&=x^{4}-x^{2}+1\\\Phi _{13}(x)&=x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{14}(x)&=x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi _{15}(x)&=x^{8}-x^{7}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1\\\Phi _{16}(x)&=x^{8}+1\\\Phi _{17}(x)&=x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{18}(x)&=x^{6}-x^{3}+1\\\Phi _{19}(x)&=x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{20}(x)&=x^{8}-x^{6}+x^{4}-x^{2}+1\\\Phi _{21}(x)&=x^{12}-x^{11}+x^{9}-x^{8}+x^{6}-x^{4}+x^{3}-x+1\\\Phi _{22}(x)&=x^{10}-x^{9}+x^{8}-x^{7}+x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi _{23}(x)&=x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}\\&\qquad \quad +x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{24}(x)&=x^{8}-x^{4}+1\\\Phi _{25}(x)&=x^{20}+x^{15}+x^{10}+x^{5}+1\\\Phi _{26}(x)&=x^{12}-x^{11}+x^{10}-x^{9}+x^{8}-x^{7}+x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi _{27}(x)&=x^{18}+x^{9}+1\\\Phi _{28}(x)&=x^{12}-x^{10}+x^{8}-x^{6}+x^{4}-x^{2}+1\\\Phi _{29}(x)&=x^{28}+x^{27}+x^{26}+x^{25}+x^{24}+x^{23}+x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}\\&\qquad \quad +x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{30}(x)&=x^{8}+x^{7}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1.\end{aligned}}

El caso del polinomio ciclotómico 105 es interesante porque 105 es el entero positivo más pequeño que es producto de tres números primos impares distintos (3×5×7) y este polinomio es el primero que tiene un coeficiente distinto de 1, 0 o −1: ^{[ 3 ]}

{\begin{aligned}\Phi _{105}(x)={}&x^{48}+x^{47}+x^{46}-x^{43}-x^{42}-2x^{41}-x^{40}-x^{39}+x^{36}+x^{35}+x^{34}\\&{}+x^{33}+x^{32}+x^{31}-x^{28}-x^{26}-x^{24}-x^{22}-x^{20}+x^{17}+x^{16}+x^{15}\\&{}+x^{14}+x^{13}+x^{12}-x^{9}-x^{8}-2x^{7}-x^{6}-x^{5}+x^{2}+x+1.\end{aligned}}

Propiedades

Herramientas fundamentales

Los polinomios ciclotómicos son polinomios mónicos con coeficientes enteros que son irreducibles sobre el cuerpo de los números racionales. Excepto para n igual a 1 o 2, son palíndromos de grado par.

El grado de $\Phi _{n}$ , o en otras palabras, el número de raíces primitivas n- ésimas de la unidad, es $\varphi (n)$ , dónde $\varphi$ es la función totiente de Euler .

El hecho de que $\Phi _{n}$ es un polinomio irreducible de grado $\varphi (n)$ en el ring $\mathbb {Z} [x]$ es un resultado no trivial debido a Gauss . ^{[ 4 ]} Dependiendo de la definición elegida, es el valor del grado o la irreducibilidad lo que es un resultado no trivial. El caso de n primo es más fácil de demostrar que el caso general, gracias al criterio de Eisenstein .

Una relación fundamental que involucra polinomios ciclotómicos es

{\begin{aligned}x^{n}-1&=\prod _{1\leqslant k\leqslant n}\left(x-e^{2i\pi {\frac {k}{n}}}\right)\\&=\prod _{d\mid n}\prod _{1\leqslant k\leqslant n \atop \gcd(k,n)=d}\left(x-e^{2i\pi {\frac {k}{n}}}\right)\\&=\prod _{d\mid n}\Phi _{\frac {n}{d}}(x)=\prod _{d\mid n}\Phi _{d}(x).\end{aligned}}

lo que significa que cada raíz n -ésima de la unidad es una raíz d -ésima primitiva de la unidad para un único d que divide a n .

La fórmula de inversión de Möbius permite $\Phi _{n}(x)$ debe expresarse como una fracción racional explícita:

\Phi _{n}(x)=\prod _{d\mid n}(x^{d}-1)^{\mu \left({\frac {n}{d}}\right)},

dónde $\mu$ es la función de Möbius .

Esto proporciona una fórmula recursiva para el polinomio ciclotómico. $\Phi _{n}(x)$ , que se puede calcular dividiendo $x^{n}-1$ mediante los polinomios ciclotómicos $\Phi _{d}(x)$ para los divisores propios d que dividen a n , comenzando desde $\Phi _{1}(x)=x-1$ :

\Phi _{n}(x)={\frac {x^{n}-1}{\prod _{\stackrel {d|n}{{}_{d<n}}}\Phi _{d}(x)}}.

Esto proporciona un algoritmo para calcular cualquier $\Phi _{n}(x)$ siempre que se disponga de la factorización entera y la división de polinomios . Muchos sistemas de álgebra computacional , como SageMath , Maple , Mathematica y PARI/GP , tienen una función integrada para calcular los polinomios ciclotómicos.

Casos sencillos para el cálculo

Como se indicó anteriormente, si $n = p$ es un número primo, entonces

\Phi _{p}(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{p-1}=\sum _{k=0}^{p-1}x^{k}\;.

Si n es un entero impar mayor que uno, entonces

\Phi _{2n}(x)=\Phi _{n}(-x)\;.

En particular, si $n = 2p es$ el doble de un primo impar, entonces (como se indicó anteriormente)

\Phi _{2p}(x)=1-x+x^{2}-\cdots +x^{p-1}=\sum _{k=0}^{p-1}(-x)^{k}\;.

Si $n = p m$ es una potencia prima (donde p es primo), entonces

\Phi _{p^{m}}(x)=\Phi _{p}(x^{p^{m-1}})=\sum _{k=0}^{p-1}x^{kp^{m-1}}\;.

De forma más general, si $n = p m r$ con $r$ relativamente primo a $p$ , entonces

\Phi _{p^{m}r}(x)=\Phi _{pr}(x^{p^{m-1}})\;.

Estas fórmulas se pueden aplicar repetidamente para obtener una expresión simple para cualquier polinomio ciclotómico. $\Phi _{n}(x)$ en términos de un polinomio ciclotómico de índice libre de cuadrados : Si $q$ es el producto de los divisores primos de $n$ (su radical ), entonces ^{[ 5 ]}

\Phi _{n}(x)=\Phi _{q}(x^{n/q})\;.

Esto permite dar fórmulas para el $n$ -ésimo polinomio ciclotómico cuando $n$ tiene como máximo un factor primo impar: Si $p$ es un número primo impar, y $\ell$ Si $m$ yson enteros positivos, entonces

\Phi _{2^{m}}(x)=x^{2^{m-1}}+1\;,

\Phi _{p^{m}}(x)=\sum _{j=0}^{p-1}x^{jp^{m-1}}\;,

\Phi _{2^{\ell }p^{m}}(x)=\sum _{j=0}^{p-1}(-1)^{j}x^{j2^{\ell -1}p^{m-1}}\;.

Para otros valores de $n$ , el cálculo del $n$ -ésimo polinomio ciclotómico se reduce de manera similar al de $\Phi _{q}(x),$ donde $q$ es el producto de los distintos divisores primos impares de $n$ . Para tratar este caso, se tiene que, para $p$ primo y no divisor $de n$ , ^{[ 6 ]}

\Phi _{np}(x)=\Phi _{n}(x^{p})/\Phi _{n}(x)\;.

Números enteros que aparecen como coeficientes

El problema de acotar la magnitud de los coeficientes de los polinomios ciclotómicos ha sido objeto de numerosos trabajos de investigación. ^{[ 7 ]}

Si n tiene como máximo dos factores primos impares distintos, entonces Migotti demostró que los coeficientes de $\Phi _{n}$ todos están en el conjunto {1, −1, 0}. ^{[ 8 ]}

El primer polinomio ciclotómico para un producto de tres factores primos impares diferentes es $\Phi _{105}(x);$ Tiene un coeficiente de −2 (véase más arriba ). Lo contrario no es cierto: $\Phi _{231}(x)=\Phi _{3\times 7\times 11}(x)$ solo tiene coeficientes en {1, −1, 0}.

Si n es producto de varios factores primos impares diferentes, los coeficientes pueden aumentar a valores muy altos. Por ejemplo: $\Phi _{15015}(x)=\Phi _{3\times 5\times 7\times 11\times 13}(x)$ tiene coeficientes que van desde −22 hasta 23; también $\Phi _{255255}(x)=\Phi _{3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17}(x)$ , el n más pequeño con 6 primos impares diferentes, tiene coeficientes de magnitud hasta 532.

Sea A ( n ) el valor absoluto máximo de los coeficientes de $\Phi _{n}(x)$ Se sabe que para cualquier k positivo , el número de n hasta x con A ( n ) > n ^k es al menos c ( k )⋅x para un c ( k ) positivo que depende de k y x suficientemente grande. En sentido contrario, para cualquier función ψ( n ) que tiende a infinito con n, tenemos A ( n ) acotada superiormente por n ^{ψ( n )} para casi todo n . ^{[ 9 ]}

Una combinación de teoremas de Bateman y Vaughan establece que ^{[ 7 ]}^{: 10} por un lado, para cada $\varepsilon >0$ , tenemos

A(n)<e^{\left(n^{(\log 2+\varepsilon )/(\log \log n)}\right)}

para todos los enteros positivos suficientemente grandes $n$ y por otro lado, tenemos

A(n)>e^{\left(n^{(\log 2)/(\log \log n)}\right)}

para infinitos enteros positivos $n$ . Esto implica en particular que los polinomios univariados (concretamente $x^{n}-1$ para infinitos enteros positivos $n$ ) puede tener factores (como $\Phi _{n}$ ) cuyos coeficientes son superpolinómicamente mayores que los coeficientes originales. Esto no está muy lejos del límite general de Landau-Mignotte .

Fórmula de Gauss

Sea n impar, libre de cuadrados y mayor que 3. Entonces: ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

4\Phi _{n}(z)=A_{n}^{2}(z)-(-1)^{\frac {n-1}{2}}nz^{2}B_{n}^{2}(z)

para ciertos polinomios A _n ( z ) y B _n ( z ) con coeficientes enteros, A _n ( z ) de grado φ ( n )/2, y B _n ( z ) de grado φ ( n )/2 − 2. Además, A _n ( z ) es palíndromo cuando su grado es par; si su grado es impar es antipalíndromo. De manera similar, B _n ( z ) es palíndromo a menos que n sea compuesto y n ≡ 3 (mod 4), en cuyo caso es antipalíndromo.

Los primeros casos son

{\begin{aligned}4\Phi _{5}(z)&=4(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\&=(2z^{2}+z+2)^{2}-5z^{2}\\[6pt]4\Phi _{7}(z)&=4(z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\&=(2z^{3}+z^{2}-z-2)^{2}+7z^{2}(z+1)^{2}\\[6pt]4\Phi _{11}(z)&=4(z^{10}+z^{9}+z^{8}+z^{7}+z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\&=(2z^{5}+z^{4}-2z^{3}+2z^{2}-z-2)^{2}+11z^{2}(z^{3}+1)^{2}\end{aligned}}

La fórmula de Lucas

Sea n impar, libre de cuadrados y mayor que 3. Entonces ^{[ 11 ]}

\Phi _{n}(z)=U_{n}^{2}(z)-(-1)^{\frac {n-1}{2}}nzV_{n}^{2}(z)

para ciertos polinomios U _n ( z ) y V _n ( z ) con coeficientes enteros, U _n ( z ) de grado φ ( n )/2, y V _n ( z ) de grado φ ( n )/2 − 1. Esto también se puede escribir

\Phi _{n}\left((-1)^{\frac {n-1}{2}}z\right)=C_{n}^{2}(z)-nzD_{n}^{2}(z).

Si n es par, libre de cuadrados y mayor que 2 (esto obliga a que n /2 sea impar),

\Phi _{\frac {n}{2}}(-z^{2})=\Phi _{2n}(z)=C_{n}^{2}(z)-nzD_{n}^{2}(z)

para C _n ( z ) y D _n ( z ) con coeficientes enteros, C _n ( z ) de grado φ ( n ), y D _n ( z ) de grado φ ( n ) − 1. C _n ( z ) y D _n ( z ) son ambos palíndromos.

Los primeros casos son:

{\begin{aligned}\Phi _{3}(-z)&=\Phi _{6}(z)=z^{2}-z+1\\&=(z+1)^{2}-3z\\[6pt]\Phi _{5}(z)&=z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1\\&=(z^{2}+3z+1)^{2}-5z(z+1)^{2}\\[6pt]\Phi _{6/2}(-z^{2})&=\Phi _{12}(z)=z^{4}-z^{2}+1\\&=(z^{2}+3z+1)^{2}-6z(z+1)^{2}\end{aligned}}

Conjetura de la hermana Beiter

La conjetura de Sister Beiter se refiere al tamaño máximo (en valor absoluto). $A(pqr)$ de coeficientes de polinomios ciclotómicos ternarios $\Phi _{pqr}(x)$ dónde $p\leq q\leq r$ son tres primos impares. ^{[ 12 ]}

Polinomios ciclotómicos sobre un cuerpo finito y sobre los enteros $p -ádicos.$

Sobre un cuerpo finito con un número primo $p$ de elementos, para cualquier entero $n$ que no sea múltiplo de $p$ , el polinomio ciclotómico $\Phi _{n}$ se factoriza en ${\frac {\varphi (n)}{d}}$ polinomios irreducibles de grado $d$ , donde $\varphi (n)$ es la función totiente de Euler y $d$ es el orden multiplicativo de $p$ módulo $n$ . En particular, $\Phi _{n}$ es irreducible si y solo si $p$ es una raíz primitiva módulo $n$ , es decir, $p$ no divide $a n$ , y su orden multiplicativo módulo $n$ es $\varphi (n)$ , el grado de $\Phi _{n}$ . ^{[ 13 ]}

Estos resultados también son válidos sobre los enteros $p$ -ádicos , ya que el lema de Hensel permite elevar una factorización sobre el cuerpo con $p$ elementos a una factorización sobre los enteros $p -ádicos.$

Valores polinómicos

Si $x$ toma cualquier valor real, entonces $\Phi _{n}(x)>0$ para todo $n \geq 3$ (esto se deduce del hecho de que las raíces de un polinomio ciclotómico son todas no reales, para $n \geq 3$ ).

Para estudiar los valores que puede tomar un polinomio ciclotómico cuando $x$ es un valor entero, basta con considerar solo el caso $n \geq 3$ , ya que los casos $n = 1$ y $n = 2$ son triviales (uno tiene $\Phi _{1}(x)=x-1$ y $\Phi _{2}(x)=x+1$ ).

Para $n \geq 2$ , se tiene

\Phi _{n}(0)=1,

\Phi _{n}(1)=1

si

n

no es una potencia prima ,

\Phi _{n}(1)=p

si

n=p^{k}

es una potencia prima con

k \geq 1

.

Los valores que un polinomio ciclotómico $\Phi _{n}(x)$ puede tomar para otros valores enteros de $x$ está fuertemente relacionado con el orden multiplicativo módulo un número primo.

Más precisamente, dado un número primo $p$ y un entero $b$ coprimo con $p$ , el orden multiplicativo de $b$ módulo $p$ es el entero positivo más pequeño $n$ tal que $p$ es un divisor de $b^{n}-1.$ Para $b > 1$ , el orden multiplicativo de $b$ módulo $p$ es también el período más corto de la representación de $1/ p$ en la base numérica $b$ (véase Primo único ; esto explica la elección de la notación).

La definición del orden multiplicativo implica que, si $n$ es el orden multiplicativo de $b$ módulo $p$ , entonces $p$ es un divisor de $\Phi _{n}(b).$ Lo contrario no es cierto, pero se tiene lo siguiente.

Si $n > 0$ es un entero positivo y $b > 1$ es un entero, entonces (ver más abajo para una demostración)

\Phi _{n}(b)=2^{k}gh,

dónde

$k$ es un entero no negativo, siempre igual a 0 cuando $b$ es par. (De hecho, si $n$ no es ni 1 ni 2, entonces $k$ es 0 o 1. Además, si $n$ no es una potencia de 2 , entonces $k$ siempre es igual a 0).
$g$ es 1 o el mayor factor primo impar de $n$ .
$h$ es impar, coprimo con $n$ , y sus factores primos son exactamente los primos impares $p$ tales que $n$ es el orden multiplicativo de $b$ módulo $p$ .

Esto implica que, si $p$ es un divisor primo impar de $\Phi _{n}(b),$ entonces o bien $n$ es divisor de $p - 1$ o bien $p$ es divisor de $n$ . En este último caso, $p^{2}$ no divide $\Phi _{n}(b).$

El teorema de Zsigmondy implica que los únicos casos en los que $b > 1$ y $h = 1$ son

{\begin{aligned}\Phi _{1}(2)&=1\\\Phi _{2}\left(2^{k}-1\right)&=2^{k}&&k>0\\\Phi _{6}(2)&=3\end{aligned}}

De la factorización anterior se deduce que los factores primos impares de

{\frac {\Phi _{n}(b)}{\gcd(n,\Phi _{n}(b))}}

son exactamente los primos impares $p$ tales que $n$ es el orden multiplicativo de $b$ módulo $p$ . Esta fracción puede ser par solo cuando $b$ es impar. En este caso, el orden multiplicativo de $b$ módulo $2$ es siempre $1$ .

Hay muchos pares $(n, b)$ con $b > 1$ tales que $\Phi _{n}(b)$ es primo. De hecho, la conjetura de Bunyakovsky implica que, para cada $n$ , existen infinitos $b > 1$ tales que $\Phi _{n}(b)$ es primo. Véase (secuencia A085398 en el OEIS ) para la lista de los $b > 1$ más pequeños tales que $\Phi _{n}(b)$ es primo (el $b más pequeño > 1$ tal que $\Phi _{n}(b)$ es primo es sobre $\gamma \cdot \varphi (n)$ , dónde $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni y $\varphi$ es la función totiente de Euler ). Véase también (secuencia A206864 en la OEIS ) para la lista de los primos más pequeños de la forma $\Phi _{n}(b)$ con $n > 2$ y $b > 1$ y, más generalmente, (secuencia A206942 en la OEIS ), para los enteros positivos más pequeños de esta forma.

Aplicaciones

Usando $\Phi _{n}$ , se puede dar una demostración elemental de la infinitud de primos congruentes con 1 módulo n , ^{[ 14 ]} que es un caso especial del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas .

Secuencias recursivas periódicas

Las recurrencias lineales periódicas con coeficientes constantes son precisamente los coeficientes de las series de potencias de funciones racionales cuyos denominadores son productos de polinomios ciclotómicos.

En la teoría de las funciones generadoras combinatorias , el denominador de una función racional determina una recurrencia lineal para los coeficientes de su serie de potencias. Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci tiene una función generadora.

$F(x)=F_{1}x+F_{2}x^{2}+F_{3}x^{3}+\cdots ={\frac {x}{1-x-x^{2}}},$

y equiparando los coeficientes en ambos lados de $F(x)(1-x-x^{2})=x$ da $F_{n}-F_{n-1}-F_{n-2}=0$ para $n\geq 2$ .

Cualquier función racional cuyo denominador sea un divisor de $x^{n}-1$ tiene una secuencia recursiva de coeficientes que es periódica con un período como máximo n . Por ejemplo,

$P(x)=-{\frac {1+2x}{\Phi _{6}(x)}}={\frac {1+2x}{1-x+x^{2}}}=\sum _{n\geq 0}P_{n}x^{n}=1+3x+2x^{2}-x^{3}-3x^{4}-2x^{5}+x^{6}+3x^{7}+2x^{8}+\cdots$

tiene coeficientes definidos por la recurrencia $P_{n}-P_{n-1}+P_{n-2}=0$ para $n\geq 2$ , comenzando desde $P_{0}=1,P_{1}=3$ . Pero $1-x^{6}=\Phi _{6}(x)\Phi _{3}(x)\Phi _{2}(x)\Phi _{1}(x)$ , así que podemos escribir

$P(x)={\frac {(1+2x)\Phi _{3}(x)\Phi _{2}(x)\Phi _{1}(x)}{1-x^{6}}}={\frac {1+3x+2x^{2}-x^{3}-3x^{4}-2x^{5}}{1-x^{6}}},$

lo que significa $P_{n}-P_{n-6}=0$ para $n\geq 6$ y la secuencia tiene un período de 6 con valores iniciales dados por los coeficientes del numerador.

Véase también

Referencias

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Lecturas adicionales

El libro de Gauss , Disquisitiones Arithmeticae [ Investigaciones aritméticas ], ha sido traducido del latín al francés, alemán e inglés. La edición alemana incluye todos sus trabajos sobre teoría de números: todas las demostraciones de la reciprocidad cuadrática, la determinación del signo de la suma de Gauss, las investigaciones sobre la reciprocidad bicuadrática y notas inéditas.

Gauss, Carl Friedrich (1801), Disquisitiones Arithmeticae (en latín), Leipzig: Gerh. Fleischer
Gauss, Carl Friedrich (1807) [1801], Recherches Arithmétiques (en francés), traducido por Poullet-Delisle, A.-C.-M., París: Courcier
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Enlaces externos

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